М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Зная ь(„и а„, нетрудно определить коэффициент аь при ! старшей степени нормированного многочлена дь (х)== (г„(х)! л ь Ла - ( — !)" аа 11„1т л ! 6„' Для многочленов Якоби формула (16) дает: 1 )А+а 11 1 )а+а ! 2А+Р+ь +1Г (Л+ л+ !) Г Оь+л+ !) Г (Л + р + 2л + 2) Из формул (0) и (10), в частности, получаем для многочленов Лежандра (Л = р = 0): (И) гл чп, спнцихльныв етнкции саО 1мы воспользовались формулой (3) п. 90). На основании (9) и (17) получаем тогда В частности, для многочленов Лежандра и Чебышева отсюда, соответственно, получаем: аа = (2н)1 )/2л ) и+ —, 2 х(н02 1 ю (2н)1 ив аО 2 х +-г г( + — ) (19) Для многочленов Чебь1шева — Эрмита н Чебышева — Лагерра, соответственно, 6„= ~ е-ыдх = у и, б„= ) е "хх+" ~1х = Г (Л + и + 1), 60 о и па основании (13) и (14) получаем: (а) У вЂ” „„1 (а.) 1Г(Л+ +Ц' (20) В литературе обычно рассматриваются ненормированные ортогональные многочлены Я (х).
Для того чтобы однозначно определить эти многочлепы, достаточно, очевидно, задать, кроме веса и интервала, величины их старших коэффициентов а„. Сохраняя принятые выше обозначения, будем иметь: Я„(х) = А„Я„(х) = е(„д"„(х), откуда, сравнивая старшие коэффициенты, найдем: а„= А„а„= д,а"„, Ь„= А„Ь„= г(„Ь„. (21) Так как коэффициенты а„и а~ найдены выше, то, зная а„, мы можем определить отсюда А„и д„. Приведем эти величины для специальных многочленов.
1 Г (Л+ И+ 2н+2) Г (Л+ я+ 2н+ ц (13) (а) ~+я+ +„, г(л+ +ц г(я+ +ц г(л+и+ +ц ' овт огонлльныв многочлины б21) обозно. неоне ан Много ыен (2л)) 2"(л1)' 2 2л+ 1 Рл (х) Лев)анара и 2ел-3 Т„(х) Чебышева 2) +и+) Г )в+о+ И ШИ+н+ И ШГ М+В4 +)) ох+В+2 +) ) Г!Левевн+ И 2 о) Г(Л+В+н+г) Р(т, в) (х) Якоби ( — 1)" Нн (х) Е)о ) (х) ( — 1)" л! Г (Л + л + 1) Зная А„, мы но>кем записать формулу (2) для всех этих многочленов. В качестве примера выпишем ее для многочленов Лежандра ( 1)л !л (22) (она совпадает с известной формулой Родрига) и для много- членов Чебышева — Лагерра но (23) (она часто служит определением ь~„'(х)).
Далее, зная коэффициенты а, а), и ()„ (последний определяется из (21) через А„и найденные выше б„), мы можем записать в окончательной форме рекуррентные соотношения длв таких многочленов (см. формулу (7) предыдущего пункта): а) л)ногочлены Лежандра хР„(х) = — ", Р„.„(х) + " Р„, (х), а ~ 1; (24) (25) 1 1 хТ) = Тг+ — То+ —, хТо= Т). 4 ' Чебышева— Эрмита Чебышсва— Лагерра б) многочлены Чебышева хТ„(х)=Т„+,(х)+ 4 Т„,(х), >1ыэ2*)1 ') При л ( 2 формулы имеют несколько иной вии: 1 ( — 1)"— 2"л) !)л()г !)! (2л-1)1 ( — 1) л 2нл) ГЛ.
УИ, СПЕЦИЛЛЪНЫЕ ФУ!!КЦИИ (вз 622 гдет=уь+рп г) ягногочлены Чебышева — Эржита хол (х) 2 7~«ь! (х) + гтОл-! (х) 1 п) 1; (27) д) жногочлены Чебышева — Лагерра х!'.~~1 (х) = — (~~~~! (х)+ (л+ 2п+1) 11,'"1(х) — п()ь + и) 1(х' ! (х), ) ' 1(28) п)!. В заключение покажем, что многочлены ортогональной системы можно рассматривать как коэффициенты разложения в ряд Тейлора некоторой аналитической функции, которая называется производящей функцией многочленов этой системы *). Как нам сообщили И. Г. Арамановнч и Н. И. Кожевников, производящую функцию можно получить для любого семейства многочленов, ортогональных с весом р, удовлетворяющим условию (1). Мы следуем здесь их изложению.
Для простоты мы рассмотрим многочлеиы б„, нормированные так, что в формуле (2) все коэффициенты Л„= 1. Назовем ироизводягг(ей функцией семейства (ьгл) функцию двух комплексных переменных г и ит, определяемую соотношением лл) Ч' (г, ш) = ~ — гв . 'сч Г)л (з) л «1 (29) «=О Преобразуем выражение (29), пользуясь формулой (2) и формулой Коши для высших производных.
Мы имеем: Ч'(г ге)= — ~ — = — д — —. а Ил ( Рл) 1 чгч „л 1 (' (ь«) Рл (ь«) « — р(е),р( л, Взл — р(з),рй „1 2ги ) (й з)лег л О «=О с *) В и. 70 мы уже прнводнлн прнмеры определенна многочленов с помощью пронзволящей функции. '"1 Радиус сходниостн ряда (29], расположенного по степеням щ, зависят, конечно, от значевня г. В предыдущем нзложеннн ьг„определялся для действнтельпых значений аргумента, но так как б — многочлен, мы можем считать его определенным во всей котщлексной плоскости.
н) многочлены Якоби (у + 2п) (т + 2и + 1) (тг + 2п + 2) хР! ' "' (х) = =2(и+ 1)(у+ и+ 1)(у+2и) Р'„~+м!!(х)+ + ((хз — йв)(у+ 2п+ 1) Р'„'ю(х)+ + 2 (Х+ и) (р + и) (у + 2п + 2) Р, '' лг! (х), (26) ч а ортогонлльные многочлены где С вЂ” замкнутый контур, охватывающий точку 1= а и лежащий в области аналитичности функции р(Ь)()" (Д. Меняя в последней формуле порядок суммирования и интегрирования и сума!ируя полученную геометрическую прогрессию, мы получаем: с и=в с наши преобразования законны, если для всех Ь на к~!ивой С модуль знаменателя геометрической прогрессии меньй — г ше 1, а это всегда будет для достаточно малых (гв).
Знаменатель подынтегральной функции представляет собой многочлен второй степени относительно ь, причем при малых (ш~ один корень этого многочлена — мы обозначаем его (", — близок к точке ь = г, а другой велик по абсолютной величине. Уменьшая в случае надобности контур С, мы можем считать, что второй корень лежит вне этого контура. Тогда подынтегральная функция имеет внутри С лишь один полюс первого порядка ь = ь с вычетом рК-) мр (ьч) Применяя теорему Коши о вычетах, мы получаем окончательно: Т е о р е м а 2. Для любой систел!ы (4„(х) ) л!ногочленов, ортогональной с весил р(х), удовлетворяющих! условию (1), существует производящая функция Ч'(г,гв) такая, что '1'(г, ш)= т' — "г гв".
е и! (2г)) Эта функция определяется формулой Чт(г, ш) =— ! р(ь) р (г) ! — мр' (~ч) (3О) где с„означает тот корень квадратного уравнения 1 — г — ЯРК) =й, (31) который при гиалых и близок к Ь = г. Приведем несколько примеров. ' 1) Многочлень Лежандра. Уравнение (31) принимает вид гв~'+ Ь вЂ” (г + гь) = О, откуда = — ( — 1 + )Г1 + 4твг + 4и!') гл. гп. спациальныс вкнкцип !9? (зиак перед корнем выбирается с учетом того, что при малых (в) должно быть ~ г), и по формуле (30) мы получаем: Ч'(г, в) = 1 ъз Р. (?) У( + 4в? + 4в' = т в ?=0 Заменяя Р„= — Р„= 2"н! ( — 1)" Р„и в на — —, получим окон- ?( и чательно = "г, Р„(г)в", 171 — 2?в+ в' л=О что совпадает с формулой (8) п.
70. 2) Многочлены Чебьсшева — Эра!ига. Уравнение (31) имеет вид ь — г — в =0 и по формуле (30) Ч (г, в)= — =е-!в -?)=Х в . сс (ьв), , кт Нп (?1 а р (?) ?Ьа сс=а Заменяя Й„=( — 1)" Н„и в на — в, получаем: сев?-в — в ч! Н„(?) 2~ (33) ?=О 3) Многочлены Чебьсшева — Лаеерра.
Уравнение (31) имеет вид й — в — в~ = 0 и по формуле (30) Ч'(г, в)=, е '""! !=У " в". (34) (1 в)х+с С.г а( ?=0 94. Примеры. Приложения. 1) М но го члены Лежандр а играют важную роль в теории потенциала. Рассмотрим в пространстве притягивающую точку Р массы 1, находящуюся на расстоянии а от начала координат О. Потенциал этой массы, вычисленный в точке М, которая отстоит от начала координат на расстоянии г, имеет вид: )с (М) — —— 1 ! М с~~2 где ф — угол между ОР и ОМ. Положим (=а/г, х=созср, тогда 1~ (М) —— / а а' г )С! — 2х1+ !? у 1 — 2 — со?ф+ —, Г гс % Е ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ и еслц разлагать правую часть в ряд по степеням переменного й то согласно формуле (32) предыдущего пункта козффициентами такого ряда будут служить многочлены Лежандра: т (М) л~~з Р (х) 1 ле-И При действительных х, — 1 ( х ( 1, зто разложение сходится при ~1~ ( 1, т.
е. при т ) а, В самом деле, для таких х корни квадратного уравнения !з — 2х!+ 1 = О, Гев = е~*'ч(х=соз~р), которые являются особыми точками )т, рассматриваемой как функция 1, и лежат на единичной окружности. 2) Рекуррснтные формулы для многочленов Л е ж а и др а. Кроме основной рекуррентной формулы (2) для многочленоа Лежандра можно получить и другие формулы, связывающие Р„(х) различной степени. Прежде всего, дифференцируя разложение , = ~ Рл(х)!л (3) л 0 по х, находим: = (1 — 2х! + Р) ~ Р„'(х) !", л=О откуда, пользуясь снова разложением (3) и сравнивая коэффициенты прн одинаковых степенях 1, получаем вторую ре«уррентную формулу Рл (х) = Р'„+~ (х) — 2хр'„(х) + Р„'1 (х).
(4) Дифференцируя (2) по х и исключая из полученного соотнощения и формулы (4) производную Р„'(х), получим третью ре«уррентную формулу (2н + 1) Рл (х) = Р'„+~ (х) — Р„'1 (х). (5) 3) Интегральные представления многочленов Лежандра. По формуле Родрига (22) предыдущего пункта имеем: Ил Р.() = — '„, — „",. (( е- !)"). ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
