М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 111
Текст из файла (страница 111)
а) Многочленеи Лежандра: р' = О, следовательно, уравнение (8) удовлетворяется прн а(х) = 0; для выполнения (9) достаточно принять р(х) = 1 — хт. Таким образом, для много- членов Лежандра а=О, р= 1 — хт. (1О) х хр б) Многочлены Чебышева: р'=, = — Р, следовательно, (у'"! ха)' ! ха а=х, р=1 — хт.
(11) Условие (9) удовлетворяется. ') Можно докаэать, что этими классамк и исчерпываются многочлены, ортогональные с весом, который удовлетворяет условиям (8) и (9). 614 гл. чп. спнцилльныв отнкции Л р — Л вЂ” (!т+ Л) х в) Миогочлены Якоби: — + р 1+х ! — х ! — хт следовательно, а=()х — Л) — (р+Л)х, [3=1 — хт; (12) при Л> — 1, р ) — 1 условие (9) удовлетворяется. г) Многочлены Чебьииева — Эрмити: — = — 2х, следовательно, Р' Р а= — 2х, р= 1; (13) условие (9) удовлетворяется, ибо р= г-х*-+О при х- -1-оо.
.р' Л вЂ” х д) Многочлены Чебьииева — Лагерра: — = —, следовательно, ' р х а=Л вЂ” х, р=х; (14) условие (9) удовлетворяется прн Л ) — 1. Оказывается, что ортогональные многочлены удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с переменными коэффициентами, к которым часто приводят различные физические задачи е). Мы получим дифференциальное уравнение для произвольной системы ортогональных многочленов, удовлетворяющей условиям (8) и (9).
Пусть 1,)„(х) — произвольный многочлен системы, ортогональной с весом р(х) на интервале (а, Ь) и не обязательно нормированной. Интегрированием по частям получгем 1= ~ [р(х) р(х) ьг'„(х)]'хь с(х= хе [бра]~ — Й ]' хь-![)РКс(х; о О в силу условия (9) первый член справа исчезает, и интегрируя .еще раз по частям (хь-!рр=и, Щс1х=сго), получаем: е 1= — Й [хе-!ар!)„], +Й ~ 1)„[(Й вЂ” 1) хн-Яйр+ хь-!Ртр+ хь-!Рр] с(х. а Пользуясь опять условием (9) и заменяя в силу (8) рр'= ар, будем иметь: Ь ! = Й ~ !ЧхР [(Й вЂ” 1) хе-т[) + хе-! (Р'+ а)] с(х. о В квадратных скобках под знаком интеграла здесь стоит не- ' который миогочлен степени Й, ибо р — многочлен второй сте- *) Это обстоятельство н делает понятным значенне ортотоннльныл многочленоя для прнлонсеннй.
З к огтогонлльныв многочланы сиб пени, а р'+а — первой степени. По теореме 2 мы заключаем отсюда, что при й = О, 1, 2, ..., и — 1 этот интеграл равен О. Вспоминая начальное выражение 1, получим, что при н=О,!,...,и — 1 Р = ] (])рЩ + ])рК + бра) хл йх = ) ((а+ 8) Щ+Щп] х'р ах =0 И а (мы снова воспользовались уравнением (8)). Последнее равенство означает, что многочлен и-й степени, стоящий в квадратных скобках, который по теореме 1 есть линейная комбинация Юг, (гь ..., Р, ортогонален с весом р всем степеням хл для й = О, 1, ..., и — 1. Так как система Я„) получена ортогоналнзацией с весом р степеней (х"), то по замечанию 2 предыдущего пункта мы можем заключить отсюда, что этот многочлен отличается от 1е„лишь постоянным множителем (! 5) (а+ б') !г'„(х) + Яч (х) = у„1;1„(х). Для определения множителя у„достаточно сравнить в (15) коэффициенты при х"; обозначая через а„коэффициент при старшей степени 1е~ и вспоминая обозначения, введенные в условии (8), будем иметь (а~+2рз)па„+ рзи(и — 1)а„= = у„а„ откуда у =п(а~+(п+ 1)нг] (16) Таким образом„доказана Теорема 5.
Для любой системы многочленов Я„(х)), ортогональных с весолс р(х), удовлетворяющим условиям (8) и (9), .нногочлен СС,(х) является решением линейного дифференциального уравнения С переменными коэффициентами ]) у" + (а + 6') у — у„у = О, (17) где у„определяется форл~улой (16). В качестве примеров приведем дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют специальные многочлепы.
Из формул (10) — (14) и уравнения (17) имеем: а) многочлены Лежандра (1 — хз) у" — 2ху'+ п (п + 1) у = 0 (18) б) многочлены Чебышева (1 — хг) у" — ху' + игу = 0; (19) в) многочлены Якоби (1-х ) у" + (1л — Л-(1л + Л + 2) х) у'+ и (1л + Л+и+1) у = 0; (20) гл. чп. спвцихльныв фтнкпии 61б г) многочлены Чебышева — Эрлшта (21) у" — 2ху'+ 2пу = О; д) многочлены Чебышева — Лагерра ху" + (Х вЂ” 1 — х) у'+ пу = О.
(22) 93. Выражение через вес. Производящие функции. Мы по- прежнему будем рассматривать произвольную систему много- членов Я,(х)), ортогональную на интервале (а, Ь) с весом р(х), удовлетворяющим условиям а +а а(х) О 1 р ро+ р,х+ р.,х' р (х) ' ! н не обязательно нормированную. Для таких систем оказывается возможным получить формулу, непосредственно выражающую многочлен (>„(х) через вес р(х) и функцию р(х).
Имеет место Т е о р е м а !. Для любой системьч многочленов Я„(х) ), ортогональных с весом р(х), удовлетворяющим условиям (!), многочлен Я„(х) представляется в виде ч1„(х) = А„+ „(р (х) В" (х)), (2) где А„— постоянный коэффиииент, зависящий от нормировки многочленов. Для многочленов Лежандра эта формула была доказана Р одр и том (1814 г.), аналогичные формулы получены и для др>гих специальных многочленов. Мы приведем вывод этой формулы, который нам сообщил И. Г. Арам а н о в ич.
Докажем прежде всего, что выражение Я„(х) = — — „(р (х) р" (х)) (3) представляет собой многочлен и-й степени. Имеем: (рй")'=р'В" + рр" 'пй'=уй" 4„, о где Ц„,, = а+ар' — многочлен первой степени (мы воспользовались дифференциальным уравнением (1) ). 'Аналогично где 4„,э=[а+(и — 1) р') Я„,, + ф„', — многочлен второй сте- пени. % г ОРтогон«лъные многочлены б!7 яи Имея в виду применение метода полной индукции, предположим, что справедлива формула И )~ ~=(рр «г«г,«-~) =р6 ~()~,« (4) где (г, « = [а + (и — /г + 1) 5'] Я„, «, + Я'„, « ~ (5) — многочлен й-й степени. Тогда снова используя уравнение (!), получим: (рВ")' +"=(р]!" Я„«) = рб" ' [[а+ (и — (г) и'] г;1„«+ !)17„' «].
Мы видим, что эта формула содержит в себе формулы (4) и (5), записанные для й+ 1. Таким образом, по принципу полной индукции можно утверждать, что (4) и (5) справедливы для всех й = 1, 2, ..., и. Заметим, что (4) остается в силе и для (г = 1, если считать «г„, е = 1. Формулы (4) и (5) для й = и дают (р[)")еп = ~4.
6„= Щ~, „= (а + [т') 1;1„, „, + Я'„,, г где Е«= [ х (;г„рг(х = ~ хетаг(ря„„,), пользуясь все время формулой (4) и условием (1) для р[). На (Й вЂ” 1)-м шаге получим: ь Т«=( — 1)«-г й! 3 хг((р[!«д„,„«), (6) а а на (г-м ( — !) й() г!(р[) Я.,,-~-~) — О Последняя формула имеет место для й = О, 1, 2, ..., и — 1 (при Й = и — 1 мы считаем Ц„,« — — 1), и ортогональность доказана.
— многочлен и-й степени. Отсюда и вытекает утверждение о выражении (3). Покажем теперь, что многочлен Я, ортогонален с весом и любой степени х" (й = О, 1, ..., и — 1). Для этого будем последовательно Применять формулу интегрирования по частям к интегралу гл. и!!. специллы!ые Функции 618 По замечанию 2 п. 91 мы можем теперь утверждать, что многочлен Я„ отличается от ортогонального многочлена ()„ лишь постоянным множителем: с)„=А„ее„, а это и дает искомую формулу (2). Как угке отмечалось, величина коэффициента А„зависит от нормировки многочлена.
В частности, например, многочлен сс, нормирован так, что А„= 1. Найдем коэффициент а„при старшей степени такого многочлена. Для этого сравним сначала коэффициенты прн старшей степени х в формуле (б): а„в =[а, + (2и — й+ 1) [)з[а„ь ь Отсюда получаем: а„= а„„= [а, + (л + 1) ре[ [а, + (и + 2) рз[... [а! + 2ирз) а„, о, где а„,о — — 1, или короче а„= Ц (а, + ййз). (7) а=а+! Совершенно аналогичным образом найдем и коэффициент при х" ' в выражении многочлена ()„: тл-! Ь„=и(ао+ир!) Ц (а, +йрз)= ' " ' ийяэ).
(8) а=о+! В качестве примеров отметим значения а„ и Ь„ для специальных многочленов, нормированнык так, что в формуле (2) коэффициенты А„= 1. Для иногочленов Якоби а=(р — )) — (и+А)х, 8=1 — хт, следовательно: — ( — 1)" И (),+р+й) — ( 1) '('+И+У + ) () а=я+ ! ибо в силу функционального уравнения для гамма-функции (см. (!4) п. 89) Г(г+ 2и+ 1) =(г+2и) (г+ 2и — 1)... (г+и+ 1) Г(г+и+ 1) и ') для получення формулы (8) нужно сравнить коэффициенты прн хь-' в формуле (5), что дает Ьл, а = [а! + (2н — Ь) Рз] Ь„, е ! + (аз+ пй!) а„, е — ! (обозначення аналогнчны предыдущим), н затем последовательно применять эту формулу, начиная от Ь„,, = а,+ ой! до тек пор, пока не получится Б,,, = Ь„прн этом надо пользоваться полученными выше выраженнямн для а,ы эз! 9 а ОРтогонАльные многочлены 6!9 и для многочленов Чебышева (Л= р= — 1/2)! а =( — 1); Ь =О.
(2л — !) ! . а (л-!)! ' (12) Для многочленов Чебышева — Эрмита (а= — 2х, ()=1) имеем: а„= ( — 1)" 2"; Ь„= О, (13) а для многочленов Чебышева — Лагерра (а=Л вЂ” х, р=х)! а„=( — 1)"; Ь„=( — 1)"ь1(Л+ и) и. (14) Найдем теперь взвешенную норму д„многочлена ф„. Имеем: ь ь ь ба = )Г Ф',Р дх = )Г (а„х" + ...) Аг„Р дх = ал ~ х "(га Р ь(х, а а а ибо по теореме 2 предыдушего пункта (г„ортогонален с весом р любому многочлену степени ниже н. Применяя теперь фор- мулу (6) для )ь =о и интегрируя по частям, находим: ь й„=( — 1)" и! а„) рр" ь(х, а или окончательно Ы„= )т( — 1)" н! а„б„„ (15) где Ь„= 1 рй" дх а (16) — величина, определяемая весом р и функцией 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
