М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Примем Л) 0 и условимся рассматривать ту ветвь )/ра+ 1, которая на оси з принимает положительные значения. Тогда функция Х(р) будет стремиться к нул!о при !р)-'+со, Кер = О *) Начальные лаииые ие участвуют в операторном уравнении (2), ибо ! = О является особой точкой уравиеиия (!). 4 х цилиндгичвскив отнкции равномерно относительно агя р и, следовательно, будет служить изображением (см.
теорему 4 п. 79; на проверке остальных условий мы не останавливаемся). Оригинал для Х(р) — частное решение уравнения (1) — мы будем называть цилиндрической функцией 1-го рода, или бесселевой функцией порядка к и обозначать символом ух(() (для целых 7.
= и см. формулу (7) п. 82)). Функцию Ух(() находим по формуле обращения п. 79: ( еж лр 7 !()= (4) х ° зи( ( ~/ ~ ! !( +),е е+!)х где Š— произвольная прямая )сер = а ) О. Перейдем здесь к новой переменной =р+ 'е'р +1 ' (5) тогда р = — (са — — (, = — и линией интегрирования ля будет служить кривая С плоскости со=5+(ц — образ прямой Е при отображении (5). Так как ось а переходит при отображении (5) в со: вокупность лучей $ = О, ~т() ) 1 и полуокружность !со! = 1, $ =» О (см.
свойство отображения Жуковского в и. 7, отображение (5) несущественно от него отличается), а число а сколь угодно мало, то С имеет вид, изобра- .Ъ женный на рис. 197 пунктиром. Интеграл (4) перейдет при этом в интеграл (Н. Я. Сонин, 1870 г.) с с Рис. 197. Не меняя величины интеграла, кривую С можно, очевидно, заменить любой вертикальной прямой !айса = а ) О. Так как на окружности !со)=(( функция е '('"/(ах+' стремится к нулю при )т- оо, то прн (= О по лемме Жордана интеграл (6) вдоль дуг Ся (рис. 197) стремится к нулю. Следовательно, в формуле (6) контур С можно заменить контуром С*, указанным на рис. 197, который идет из точки — оо по нижнему берегу отрицательной полуоси 5, обходит начало координат по окружности и возвращается в — оо по верхнему берегу той же полуоси.
Таким образом, мы получаем еще одно интегральное представление цилиндрических функций, также гл. чп. спинилльныи етпкцин гло принадлежащее Н. Я. Сонину (вместо 1 мы пишем г): (7) с* Интеграл Сонина (7) получен нами для положительных г, однако правая его часть представляет аналитическую в правой полуплоскости г функцию, ибо при Нег ) О интеграл (7) сходится равномерно по г. Таким образом, интеграл Сонина дает аналитическое продолжение Ух(г) в правую полуплоскость.
Кроме того, при Ке г ) О интеграл Сонина сходится не только для положительных, но и для любых комплексных значений параметра ), ибо на горизонтальной части контура С* показательный множитель стремится к нулю быстрее, чем может возрастать )ох+'!. Следовательно, интеграл Сонина определяет в правой полуплоскости бесселевы функции произвольного колпглексного порядка. 2) Аналитические свойства. При целых значениях параметра Х = ~г (и = О, ~1, ~-2, ...) подынтегральная функция интеграла Сонина (7) однозначна, следовательно, интегралы по горизонтальным частям контура С" исчезают и интеграл (7) принимает вид, уже встречавшийся выше (см.
п. 7О): и( 1) (8) 1в 1=! (радиус окружности, входящей в состав контура С", мы принимаем равным 1). Так как интеграл в правой части (8) сходится для любых г и притом равномерно, то мы можем утверждать, что при целочисленных значениях параметра ).=и функции У,(г) являются целыми. Пусть, далее, г — положительное, а Х вЂ” произвольное комплексное число.
Заменяя в интеграле Сонина (7) переменное ы= — ', мы получим интеграл Сонина — Шлеффли: 2й (при такой замене контур С* заменяется подобным ему контуром, имеющим, следовательно, тот же вид, что и С*). Интеграл Сонина — Шлеффли сходится и притом равномерно в любой ограниченной области значений г и при любом комплексном Х и, следовательно, дает аналитическое продолжение цилиндрической функции ух(г) на всю комплексную плоскость г О х цилпндьчщаские Фтнкции он и на все комплексна1е значения параметра Л. Наличие множителя г" перед интегралом показывает, что эта функция, вообще говоря, бесконечнозначна с точкой ветвления г = О.
Оо отношение У„(г)/гх при любом колтлексном Л оказывается целой функцией. 3) Другие интегральные представления. Пусть Кег ) 0; заменим в интеграле Сонина оо = е'С, отчего контур С* заменится контуром 11, изображенным на рис. !98 (радиус окружности в контуре С" мы считаем равным 1). Интеграл Сонина перейдет в интеграл Шлеффли; у. (г) = —,„р"""'-'"с й~, Г (! 0) и ПрЕдетаВЛяЮщИй цИЛИНдрИЧЕСКуЮ фуНКцИЮ В Рос 1ЭЗ. правой полуплоскостн. При целых значениях параметра Л = и (и = О, ~ 1, ~2,...) в силу периодичности функций еоос и з!п ~ интегралы по вертикальным частям контура П взаимно сокращаются, и мы получаем: У (з) = — ) е'* "" ' ыс сЦ = — ) соз (г з(п ь — пь) йь л — тп,) — и,) — о о (1Ц (МЫ раэпатаЕМ фуНКцИЮ Е'1'Мос-"О1 ПО фОрМуЛЕ Эйяара И ПОЛЬ- зуемся четностью соз н нечетностью з)п).
Это — интеграл Бесселя, который мы уже приводили в п. 70. 4) Предста алена е рядом. Разложим в интеграле Сог 1 вина — Шлеффли (9) множитель е С "~ в ряд по степеням— и переменим порядок суммирования и интегрирования (это законно в силу равномерной сходимости полученного ряда); с' о=о ~~ ( — Во (г)оо+" 1 ~ с -х-~-о о=о с" Вспоминая интегральное представление Ханксля для гамма- функции (см. формулу (24) п. 89)„находим искомое разложение цилиндрической функции в ряд: Х МГ(А+а+1) (2) (12) о-о Гл. !'н, спецг!Альные Функции г9$ Из формулы (12) видно, что при действительных Л и г=х функция Уг(х) принимает действительные значения. Для целочисленных неотрицательных значений Л =и получаем, в частности, разложение 02 л+22 =х „;..., (-.) (! 3) !)2 -и+22 ! !)л+и и+22 ~~а Ы ! — п + гг)! ( 2 ) Х (и + У)! У! ( 2 ) (мы заменили индекс суммирования й индексом ч=й — и), или У-л (г) = ( — 1)л У„(г).
(!4) 5) Производягцая функция. Для целочисленных значений Л = и = О, +1, ~2,... интеграл Сонина (8) совпадает АУ г~ с формулой для коэффициентов разложения функции ез ~ в ряд Лорана по степеням нг. Таким образом, Е2 ~ глУ= ~ Ул(г) игл. (15) лУ !'! Функция е' ~ ФУ называется производящей функцией для Ул(г). В п.
70 мы испольэовали ее для определения цилиндрических функций целочисленного порядка. Заменяя в (15) иг = ега, мы получаем разложение в ряд Фурье функции Егл л'ль = ~Ч', Ул (г) ЕЫЕ (16) Отделяя в (16) (при действительных г и 9) действительные и мнимые части, получаем: л сов(г з!п9) = ~ Ул(г) сов пО, з!п(г з!п 9) = ~2~ У„(г) з1ппО, с которым мы уже встречались (см., например, пп. 70 и 82). Для целочисленных отрицательных значений Л= — и первые и ! слагаемых суммы (12) исчезают, ибо г! „+ я+ !) —— 0 при й= = — О, 1,..., и — 1, и формула (12) прийимает вид: 4 К ЦИЛИНДРИЧЕСКИВ ЕУНКЦПП 95! 643 или, используя соотношения (14), получим ряды Фурье в действительной форме: О соз (г з! и О) = 1„(г) + 2 ~~.'"! У;„(г) соз 2аО, (17) з!и (г з!п 8) = 2 ~"„У,„, (г) з!п (2а — ! ) О, л=! 6) Рекур рентные соотношения.
Из разложения в ряд (!2) находим: Тч (-!)" / г 1~+ы+' г~ ~4 й! р (Л+ й ! 2) ! 2 / (мы заменили индекс суммирования й на й — 1), нли окончательно 1л (г) Ул+, !г) (! 8) дг гх г~ д Ул !г) Ул.ы (2) ( Х Х+1 получаем: Ух (г) л Ул+л (г) — =( — 1)— л)п Л ах+~ (19! При О = †', в частности, будем иметь; 2 ' соз г = Уо (г) — 212 (г) + 214 (г)— з!п г = 21, (г) — 21, (г) + .... УЛ!г) ! С1 ! !)й Лг г 2 ~4 (й — !))Г!Л+й+!) !2/ Последнюю формулу можно переписать в виде откуда видно, что применение к — операции Ул (г) к изменению знака и замене индекса Л на Л+ 1. операцию последовательно и вводя сокращенное и л иа ггиг гиг ''' глг (гИг)" в раз — сводится 2 дг Применяя эту обозначение 194 гл юь специ»льные етнкнии 644 Точно так же получаем: (мы воспользовались рекуррентным соотношением для гамма- функции), или — (гьУь (г)) = г~Уь-~ (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
