М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 119
Текст из файла (страница 119)
гл чн спецнлльныв етнкцни '666 На рис. 208 приведен рельеф функции Хс(г), на нем нанесены линии вдоль уровня модуля (через 0,2) и аргумента (через 30'), Рис. 206. Рис. 209. сечение вдоль действительной оси дает график )1с(х)~. Рис. 209 показывает рельеф той ветви Не"(а), которая терпит разрыв вдоль отрицательной действительной оси и стремится к 0 при у - +со. На нем нанесены линии уровня модуля (через 0,2) и $3.
цилиндеические Функции аргумента (Через !5'). На рнс. 210 показана зависимость Ух(х) от двух действительных переменных х и ).; линии на поверхности дают графини Ус(к), Ус(х), ..., Ум(х) и Х„(2), Х1(4), ... Ул(25). Для практики большое значение имеют нули цилиндрических функций. Рассмотрим вопрос о расположении нулей бесселевых 2 к а е ш ч ы м м л7 Рис. 2!О. (3) 00 12) Х ыГ(Л+а+1) 12) действительны, то, очевидно, Х,(2) =Х,(а). (5) Отсюда, в частности, вытекает, что если г — комплексный корень уравнения Ух(з) = О, то н 5 будет корнем того же уравнения. Полагая в формуле (3) а =г, () = г и пользуясь формулой (5), согласно которой Ух(г)ХК(г) = )Хх(г) 1', будем иметь: ) (з~ — аз) ~ ) Ух ((е) ) ! М = О. о функций. Пусть ).— действительное число, 1 ) — 1. Из формулы (ЗЗ) п. 95, которую мы вывели при доказательстве ортогональности этих функций, для любых нулей г = я и функции У„(з) вытекает соотношение 1 (5з — и') У~ Ух(о()УКМ(г(У=О.
о Так как все коэффициенты разложения гл чи. специальные екнкцпи Но так как интеграл здесь не может равняться нулю, то г' — г' = О, откуда либо й = г, либо г = — г. Таким образом, при действительных Л вЂ” 1 функция Ух(г) может иметь лишь действите.тьные или чисто минные нули. Из полученной в предыдущем пункте для Л = 0 асимптотической формулы l 2 7 и п1 Ух(х) = )7 — соз) к — Л вЂ” — — ) пк ), 2 4) (6) вытекает, что У1(х) имеет бесчисленное множество положительных нулей (в самом деле, Ух(х) непрерывна и, как вытекает из (6), бесконечно часто меняет знак).
Но из формулы У ( — г) =еж"Ух(г), (7) непосредственно вытекающей из разложения (4), видно, что нули Ух(г) расположены симметрично относительно начала координат. Следовательно, Ух(г) имеет и бесчисленное множество отриг(отельных нулей. Из (6) вытекает приближенная формула для нулей Уь(х): а181= '4 +Л вЂ” ", +й., (8) тем более точная, чем больше 1й~.
Приведем в качестве примера значения наименьших положительных нулей функции У,(х): 11,74! 5 14,9309 18,0711 21,2128 8,8537 2,4048 ~„~~) 1 Кч(х)ы 1 2х .~4 1 2 l Ы Г (Х + а + 1) А=О (9) Пусть Л вЂ” произвольное действительное число; так как Л + А +' + 1 для всех й, кроме конечного числа, имеет положительные значения, то и все коэффициенты ряда (9), кроме конечного их числа, положительны. Так как, кроме того, знак правой части формулы (9) для больших ~х) определяется знаком высоких Заметим, что приближенная формула (8) дает при й = 6 значение а1'1 = 21,206 (точность 0,01).
Чтобы исследовать вопрос о чисто мнимых корнях Ух(г), положим в формуле (4) г = к1, получим: т 3. цилиндрические Функц1ш и заметим, что эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению ху" + (2Л + 1) у'+ ху = О, (11) которое получается подстановкой Хк = хку в уравнение цилиндрических функций.
Пусть а будет любой положительный нуль производной у', тогда уравнение (11) при х = а принимает вид д" (а) + д(а) = = О. Но у(а) ие может равняться нулю, ибо тогда из условий у(а) = О, у'(а) = О по теореме единственности *) решения начальной задачи дифференциального уравнения (11) следовало бы, что у(х) =†О. Поэтому у(а) и у"(а) имеют различные знаки. Пусть теперь а и р(р ) а) будут два соседних положительных нуля у'(х), так что у'(х) ~ О на интервале (а, р), По известной теореме Ролля на интервале (а, ))) лежит хотя бы один нуль у"(х), точнее, нечетное число таких нулей. Отсюда следует, что у"(а) и у"(б), а значит у(а) и д(р), имеют разные знаки, т. е.
что на 1пчтервале (а, ))) лежит хотя бы один нуль у(х). Но больше чем один нуль у(х) на (а, р) лежать не может, ибо тогда на этом интервале лежал хотя бы один нуль у'(х), что противоречит принятому нами условию. Таким образом, можно утверждать, что положительные корни у(х) и у'(х) взаимно разделяют друт друга. То же самое справедливо и для отрицательных нулей.
Далее заметим, что рекуррентное соотношение (1В) п, 95 переписывается в виде Хь+~ (х) к (12) ') Точка к = и является правильной точкой урввиення (!1). Хл (2) степеней, то мы можем утверждать, что ь( ) ) О для достая точно больших )г), т. е. Уь(х) Ф О. Но на конечном отрезке мниХ~ (2) мой оси целая функция "ь может иметь лишь конечное число нулей, следовательно, для любого действительного Л функция Уь(г) может иметь лишь конечное число чисто мнимых нулей.
В частности, при Л ) — 1 все коэффициенты ряда (9) положительны, следовательно, функция Хк(х) при Л ) — 1 вовсе не имеет чисто мнимых нулей. Выясним некоторые особенности распределения нулей бесселевых функций. Для этого, прежде всего, обозначим у(х) =— Хь (х) гл.
чп, спвцилльные оинкции (зч 670 Следовательно, нули у'(х) совпадают с нулями Ух >(х); с другой стороны, из (1О) видяо, что нули у(х) совпадают с нулями Хх(х). Таким образом, полученное выше утверждение можно формулировать так: нули бесселевых 4ункг(ий порядков, отличающихся на 1, взаимно разделяют друг друга. Мы снова обнаруживаем сходство между бесселевыми и тригонометрическими функциями.
нули соз (х+)г — ) н соз ~х+ ()г+!) — 1, очевидно, также разделяют друг друга. 99. Примеры. Приложения. !) Теорема сложения для бесселевых функций. Для л>обого целого л и комплексных г> и зз Ул (х> + х>) = ~~~ Уь (г>) Уз — ь (з,). з=-« Доказательство вытекает из теоремы сложения для показательной функ-, ции н определения У с помощью производящей функции. Имеем> разложим теперь в ряды функции и=-«« а= «« н перемножим разложення, располагая произведение по степеням ы. Будем нметхс Вь~ «) ' х (уь««ь-ь«) « «= -! а= откуда в силу единственности разложения в ряд Лорана для любого я О, ~!, ~2, ... получаем формулу (!). 2) При меры д иф фере нци а льны х уравнений, решаемых в цилиндрических функциях. Важный класс примеров линейных дифференциальных уравнений второго порялка, решаемых в цглнндрических функциях, лает уравнение хзу" + лху +(Ь+сх")у= О, . (2) где о, Ь, с и а — неноторые постоянные, причем с н а отличны от нуля").
Действительно, перейдем в уравнении (2) к новой независимой переменной Г и новой искомой функции и, положив «) Если с или о равно нулю, го уравнение (2) решается в злементарньж функциях. $ 3. ЕО!ЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКШ1И 671 где )г, т н Ь вЂ” некоторые постоянные. Заменим бр у" бт (х ~й бд Дг ' бх ' г(1 и вычислим производные в правой части этих формул, используя соотношения (3).
Подставим эти выражения в уравнение (2). После сокрашений придем к уравнению вида 1 ил+ [2т+ (и — !) р+ Ц (н~+ [е)гайатап+ (а — !) Мт+ Ьрз -1- тт) и =О, где и' н ил обозначают производные по 1. Если подобрать постоянные р, т н Й так, чтобы ' 2т+(а — 1)И=О, ар=2, ср й~=! (4) (это всегда возможно, если и и с отличны от 0), то ваше уравнение примет вид Ии" + тн' + (П вЂ” А') и = 0 (5) где Хг = — [(а — !) Ит+ Ьрт+ эл) = т' — Ь)гз (б) т. е. будет совпадать с уравнением цилиндрических функций с индексом Х, 3) Интегралы, содержащие бесселевы функцки.
Применен теорему подобна п. 80 к формуле (7) п. 82 для изображения цилиндрической функции, найдем: ул (Ы) . (7) ° )г г+ г (рг т+ г+ )л ° По формуле для преобразования Лапласа (заыення в ней для симметрии р на а) будем нметгп е агул (Ы) и! е Уа' + Ь' ( о' + Ь' + а) (8) При я = 0 получим, в частности, интеграл (Лип ш ни) О ! е «'уа(Ы) о(= .;; — —, > р а' + Ь' е (8) который сходится при йе а;м О. Заменяя в (8') а на а(, получаем: (можно проследить, что т' означает здесь ветвь, принимающую положительные значения при действительных о и Ь). Прн действительных а н Ь, 60 е апра (Ы) б( е ! [п[<[Ь[, [о[>[Ь[ гл, щ!.
спвцнлльныи пункции !99 672 отделив действительные и чнимые часта, найден интегралы (В е б е р) (верхняя строка относится к случаю а ) Ь, нижяяя — к случаю и ( Ь). Пусть а ) Ь; интегрируя первую из формул (9) по Ь, найдем: 5(п Ы ! г(Ь Ь Уз (а!) л(! = л( агсз(п — (О ( Ь < а). Уа' — ьз а о о Интеграл слева сходится также при Ь = а, и в пределе при Ь ч-а иы получаелл длп любого а ) 0 3!и иг, и Уе (а!) — Н = агсз(п 1 =— г 2 о (10) (законность предельного перехода можно обосновать).
С другой стороны, интегрируя ту же формулу (9) на отрезке (Ьл, Ь), а ( Ьз (Ь, получаем; з!п Ы Ып Ьз( ! Уз(и/) ! — — — УД(=0, о откуда, переходя еще к пределу при Ьл — а (законность предельного перехода также можно обосновать), находим с учетом (1О) з!п Ы и у (аг) ! 2 о (Ь) а). Таким образом, объединяя найденные результаты, мы получаем: Уз (а/) бг = о агсюп —, а' где первая строка относится к случаю 0~ (Ь(а, а вторая — к случаю Ь-ла Ыы имели таклке формулу е аттвЪУа (2Ут) г(т = е пе! о (! 2) (см.
(3) п. 82 и формулу Лапласа для преобразования); полагая и ней =азгл/4 и р=4Ь /а', получаем еще одни интеграл (В е бе р) У (а!) е-Ь ! !и+! г(! = еамь (2Ь')" + о 1 ч О, о У, (и!) сов Ы б! =!! Уа' — Ь' ~ Уо(а!) з1п Ы л(! = ~ 1 (9) 0 о )' Ь' — а' $ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 4) г!н тег ралы Сони на.
Из представления Ут(х) в виде ряда находим: а т+2а У (х тп /) зсп / соз / = У „5!нет+22+1/ 2и+!/ +,,„+, С~ ( !)х 2т+ ~Ь! Г (т+ Й+ 1) Ут [ха/п/) 5!пт+'/со52"+' /с//= о ( 1) Е т+2а 1,.„2,„Г( +, е=о = Г (и + 1) — „ хи+ lг! Г (си е=о ! Г (и!+ /с+ 1) Г(и+!) 2 Г(т+и+/г+2) ( !)а У /; ')т.!-П.1-22+1 +и+в+2) (2/ 2и = Г (и + 1) „+, Ут+„+, (х), х" + ' нли и+1 Утеие! (х) = „, — ~ Уси (х 51п /) 51п / соз / с// (!4) ч (т, и > — !).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
