М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 117
Текст из файла (страница 117)
е ""тх(л) — х 1(е) „) е)"кт),(г) — у ) (г) Строго говоря, формулы (7) получены для Х, отличных от целых чисел, однако они остаются справедливыми и в случае целых 7., если в правых частях раскрыть неопределенность О вида — по правилу Лопнталя. Мы можем тогда утверждать, О что формулы (7) дают аналитическое продолжение Н).') (2) и Н)и(2) на всю плоскость комплексного переменного з. Как и !. 2) бесселевы функции Н)х' '(г) оказываются, вообще говоря, многозничными функциями с точкой ветвления з = О. Из формул (7) для ханкелевых функций получаются соотношения, аналогичные таким же соотношениям с бесселевыми функциями, Например, пользуясь рекуррентной формулой (23) предыдущего пункта, находим рекуррентные формулы Нх 1 (г) + Нхе, (2) = — Н„(з), Н„, (а) — Нх+1 (з) = 2Н( (а) (8) (здесь Н„может означать как Н)х, так и Нл ).
Пользуясь фор- 1) ив мулами (24) и (25) предыдущего пункта, получим: Н 1 (г) = — 1 1тт — е"; Н 1 (2) = — 2 )~ — е-". (9) 1Н . / 2 . (з) . l 2 — я2 ' — ие 2 2 Выше мы отмечали аналогию между бесселевыми и тригонометрическими функциями; формулы (5) и (9) указывают на аналогию между функциями Нх(а) и е-'*. гл. нн. специлльныи еннкции 662 Н»!" (а) — Н!»а! (а) 2! (1О) Эти функции называются цилиндрическими функциями 2-го рода или 4ункс(ияли Вебера; их называют также 4ункциями Неймана и тогда обозначают через Н„(г) е).
Так как при действительных значениях г и Х функции У„(г) действительны, то из формул (7) вытекает, что для таких значений г и Х Нк (г) =На (г), Но тогда из (10) видно, что для действительных значений г и Х функции Вебера принимают действительные значения, Пользуясь формулами (7), из (!О) получаем также выражение функций Вебера через функции Бесселя: соа йпУк (а) У-». (а) (1 !) к а!н Хц Последняя формула справедлива для нецелых Х; при )., стремяшемся к целому числу и, мы получаем неопределенность вида —. Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получаем для цео о' лых )с= и: дУ (а) дУ (а) — сов й я — я а!и УсяУк (а)— У„(г)— Для функций Вебера остаются справедливыми рекуррентные соотношения У,, (г) + У„,, (г) = — У, (г), У,, (г) — У,„! (г) = 2ук (г); (! 3) для их проверки достаточно подставить выражение Ук через УУк (формула (!О)) и воспользоваться соотношениями (8). ') Функции Ук(а) ввел В е б е р в 1873 г.
Н е й н а н в 1867 г. ввел функцвн, несколько отлнчающнесн от ук(а); именно онн равны — У»„(с) + (!и 2 — С) Ук (а), 2 гле С вЂ” постоннван Эйлера. 3) Фу н кц и и В е бе р а. Формула (5) показывает, что функции Ул строятся из функций Нм как косинус из функций е-'*. Рассматривают такгке функции, которые строятся из Н„ как синус: воз а л цилипдоичвскив фкнкции оо1 Функции Вебера порядка„ равного целому числу с половиной, также выражаются через элементарные функции, ибо из 11 формулы (11) вытекает при Л = -~-1и + — )1 2)' ~ (г) = ( — 1)"+ У ~ (з); У (г) = ( — 1)" У (а).
(14) 2 о 2 "+о Найдем выражение функций Вебера целочисленного порядка в виде степенного ряда. Для этого можно воспользоваться формулой (12) н разложением в ряд 12) ~~~й а1 12) Г(Л+о+1) ' о=о Получим сначала вспомогательные формулы из теории гамма- функции. Из формулы (9) п. 89 для логарифмической производной гамма-функции, полагая в ней г=п — 1 (л=1, 2, 3,,), получаем; 1 1 ... =-С+1+, ) ... ( (остальные члены сокра1цаются). Отсюда для и = 1, 2, 3, ...
имеем (мы заменили Г(л) =(и — 1)!). В точках 1= — и (и=О, 1, 2, ...) гамма-функция имеет полюсы первого порядка с вычетами ( — 1)" — (см. п. 89), следовательно, в окрестности точки 1= — и п1 справедливо разложение — „'„, =( — 1)"'(1+ )(1+С,(1+ )+ ...). Отсюда видно, что для и = О, 1, 2, ... 11 ( Г (11 ) 11 Теперь, дифференцируя ( 1 5) и о 1., находим; о=о гл. ю!. специальпыв иг!кпнн ;(ля целы.;.
положительных А = и отсюда на основании фор- л/ ! мулы (12) н уже вычисленных значений — ( —,1 получаем: Ж (,Г(г1! е-! Уо (г) = Х (г) !1и — + С) — — ~~ и ( — ) а ! и лы( И!(и+И)! (2) ~ + 2 ''' + в+И+ а-о +1+-,'+ ... +Я"), (1у) а для п=О Уо(г) = — Уо (г) (1п 2 + С)— о=! (18) Мы видим, что в то время как бесселевы функции целочисленного порядка являются целыми, в разложение г„(г), кроме степеней г, входит еще 1пг.
4) Общее решение ур а внен на пи он ил ри ч иск ихх ф у н к ц и й. По построению функции Хан!гег!я Нх~ (г) н Н1!(г) служат решениями уравнения гош 1 ггг! 1 (го йг) го О В следующем пункте мы увидим, что эти решения линейно незавнсно ы, следовательно, по известному свойству линейных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (1) представляется в виде ш = С!Нгхп (г) + СоН~" (г), (19) ! ! 2 2 ! ! 2!' 2! '! Выра!кение в фигурных скобках длн первого слагаемого (И = О) равно ! ! !+ —,,+ ° + —, ° где С! н Со — произвольные постоянные. Таге как функции 1„(г) и Ук(г) выражаются через Нкн(г) и Нх~(г) линейно и с отличным от нуля определителем З 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 66! 6Я (см.
формулы (5) и (10)), то и функции У„(г), Ух(г) являются линейно независимыми решениями уравнения (1). Следовательно, общее решение этого уравнения при любых Л можно представить также в виде ю = С, У (г) + СвУв (г), (20) где С~ и Св — произвольные постоянные. Кроме того, так как Нви и Нв выражаются через Ув и У х линейно и с определителем — мв . е ( вьз Ля ивхн 2! япАл ' ЙЯ вЂ” ! —. мв хв виз Лн отличным от нуля и конечным при любом 'нецелом Л, то прн нецелом Л обшее решение можно представить сше в виде ш = С, Ух (г) + С,У х (г).
(21) При Л = и целом функции У„и У „становятся линейно зависимыми, ибо У „(г) = ( — 1) "Ув(г), и вместо (21) надо брать общее решение в виде (19) или (20). 5) 1Лилиндрические функции мнимого аргум е н т а. В некоторых приложениях встречаются цилиндрические функции чисто мнимого аргумента г= (х. Из формулы (28) предыдущего пункта вытекает, что функция у = Ув(1х) удовлетворяет дифференциальному уравнению де+ — 'д' — (1+ — ',) д=о. (22) Из разложения Ув(г) в ряд находим: л( )= 4ИГ(л+а+1)1,2/ = хеаыГ(л+а+!112! в=о Отсюда видно, что если мы хотим получить функцию, действительную при действительных Л и х, мы должны умножить У„(1х) на постоянный множитель 1 = е "" ' .
Такое произведение обозначается символом ! 16 6-26 .~~ ы г(л+ е+ 0 1,2) Функция У „(г) также является решением уравнения (22), и если Л не равно целому числу, то Ух(х) и У ь(х) — линейно Гл, иь спсш!Альныв Фупкшн! независимы. Если же ). = и — целое, то из (23) и соотношения У „(г) = ( — 1) 'У„(г) получаем: 7-в (г) =!. (г). (24) Для получения второго решения линейно независимого с 7„, здесь надо воспользоваться функциями, получающимися из других цилиндрических функций.
Наиболес употребительна пз них функция, которая получается из первой функции Ханкеля от мнимого аргумента умножением на некоторый постоянный множитель (Ма кдо н ал ьд, 1899 г.) К (х)=фе "'"НР('х). (25) Важность этой функции для приложений обусловлена тем, что она является решением уравнения (22), положительным н стремящимся к О при х — оо по экспоненцнальному закону (см. формулы (17) следующего пункта). Пользуясь выражением (7) функций Ханкеля через функции Бесселя, находам для нецелых 1,: е "П Ух (!х) — еь"'~7 х((х) К,(х) = — и 2мохн или, вводя по формуле (23) функции )х(х): я ( х (х) — (х (х) К (х)= ~ (26) Переходя здесь к пределу при Х, стремящемся к целому числу л, и раскрывая неопределенность, получаем: ( — ()" Г д! (х) И (х) 1 К„(х)— (27) Отсюда можно получить и разложение К,(х) в ряд так, как мы делали это для функций Вебера.
Например, для и = О получим ) Ко(х)= — (о(х)!и 2 + о ~~ —,о Я ф(Й+1), (28) о=о где ф — логарифмическая производная гамма-функции. На основании формул (25) и (б) этого пункта для любых л получаем: К„(х) =К ь(х). Лепсо проверить, что функции 7„(г) и К„(г) удовчетворяют нес колько видоизмененным рекуррентным соотношениям: Е,, (г) — )„ч (г) = — У,(г); (х, (г) + )хе~ (г) = 26 (г). (29) К,, (г) — Кх е, (г) = — — Кх (г); Кх,(г) + Кх+, (г) = — 2Кх (г), (ЗО) э к ш!Линдп!!ческие Фу!!кц!и! эп в частности, (о(г)=7!(г); Ко(г) = — К!(г).
(31) При Л, равном целому числу с половиной, эти функции выражаются через элементарные; например, !' „(г) = )/ — зЬ г, ! н (г) = )/ — „сЬ г; / 2 /' 2 / 2 Ка(г)=К л(г)= ).! — е '. (32) В некоторых задачах встречаются еше цилиндрические функции арГуМЕНта а=Х)/ — !=ЕЗ!п14Х. ДЛя дЕйСтВИтЕЛЬНЫХ И МНИМЫХ частей этих функций введены специальные обозначения Ул (х )/ — ! ) = е'"! "7л (х )/! ) = Ье гл х + ! Ье1л х, е 'Кл(х )/!' )=кеглх+!!се1лх, Н, (х )/ — !') = Ьегл х+ ! Ье!л х. (33) Для Л=О индекс обычно опускается, например, Хс(х )/ — !) =7ь(х $/с )=Ьегх+ !'Ье! х. (34 Н!л!! (х) = — ~ е!и и!и С-слС дт ! 5! с, где С! — контур рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
