М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 118
Текст из файла (страница 118)
199. Мы будем считать Л ) х и обознах ! чим меньшее 1 число — = —. Формула (1) примет вид: Т сии и!и С Н!л" (х)= — ~ е л '"" т!!ь= — ~ елг!с!йь, (2) с, где . п!пс пп в .! . сив ! (Ц) = !' — — !ь = — соз з — + с! + !'1з!и з — — з) (3) с'и а са в с!! а (мы полагаем ~=а+!о). Для получения асимптотической формулы мы воспользуемся методом перевала п. 77. Седловые точки 97. Асимптотические выражения для цилиндрических функций.
Асимптотические выражения имеют различный вид в зависимости от того, считаем ли мы большйм порядок Л, аргумент х, или обе этн величины (мы предполагаем, что они действительные). В соответствии с этим будем различать три случая: 1) Асииптотические выражения для больших порядков.
Рассмотрим сначала первую функцию Ханкеля, которую мы возымел! в виде интеграла (4) предыдущего пункта 197 ГЛ. УИ. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 658 находятся из уравнения )' (ьо) = ! ( —,' — 1~ = О, откуда соз Сэ — — СЬ а и (4) Линия наибольшего ската, проходящая через эти точки, определяется уравнением 1т1(~) = '!и з с а з — — 0 сна сь а (действительно, в седловых точках з = О, о = ~а), откуда с)1 о=с)та —. 3 э1п 3 Она имеет вид, указанный на рнс, 200 пунктиром, н состоит пз ыннмой осн н двух дуг, асимптотически прнблйжающихся б к прямым з = .+и.
Из дуг этой линии можно составить путь интегрирования,даю! щий интегралу (1) то же значение, что и путь Сь Мы обозначаем этот путь С! и отмечаем его на рис. 200 жирным пунктиром; этот путь состоит нз луча (гоо, — а!), идущего вдоль мнимой оси, и правой половины !ж! ! нижней дуги линии наибольшего ската ").
Так как согласно (5) на кривой С! име- ем 1гп1(Ь) = О, то на ней 1 псе ! эиа 1(ь) = — соз — „„+ о. эй а 6!'з 6г На оси о функция ) (то) = о — — „ ! ! достигает максимума а — Й а в точке ! ! о=а и минимума Й сс — а в точке о= — а (это вытекает непосредственно нз рассмотРпс.
200. д) ей о рення производной †„ = — †, + 1). Легко видеть, что максимум в точке ьо — — а! — единственный максимум функции 1(ь) на линии с!. так как !(ье) =а — 1)! а, !л(ьо) =1)т а и угол наклона линии наибольшего ската в точке ') для доказательства того, что Сз и Сс дают интегралу (1) одинаковые значения, достаточио заметить, что Сс может быть переведеи в Сс посредством деформапии в ограниченной области и в полуполосе я — е ~ з С и, а ( — М, где е сколь угодно мало, а М сколь угодно велико !эта область заштрихована яа рис.
200), причем интегралы по частям С! и сь лежашим в этой полуполосе, сколь угодно малы. эп З х цилинденчвскив аатггкпигз взя перевала 0 = — и/2, то по формуле (18) п. 77 мы получаем Нл (х) на — е1га-гьаг гУ вЂ” ' е '-'== — г' ггг еьга-гьаг и ггги 1 гс пХ!Ьа и 2 -гг+г.аггга— г' — е ви (6) (здесь надо считать х ( А). Совершенно аналогично находится и асимптотическое выражение второй ханкелевой функции большого порядка Г пи (7) С помощью формулы (5) предыдущего пункта из оценок (6) и (7) находим асимптотическое выражение бесселевых функций болыпого порядка и г г ( х ) + Н х г з г ( х ) 7 (х)= 2 0 (8) Е ли провести совершенно аналогичные выкладки, рассматривая вместо (2) интеграл Шлеффли (х) — ) емагаа-гхС йЬ= ~ ехгФ йь 2п,) 2п .) и и (формула (10) п.
95; функция 1(~) имеет то же выражение, что и выше), и заменить Рас. 20!. контур П рис. 198 контуром П рис. 20!в частью линии наибольшего ската поверхности т = КеЯ), то вместо (8) получим другое асимптотическое выражение для больших Х и / и-х ив У (х)= — 1/ — "е 2 пга (9) Подробнее на зтнх выкладках мы не останавливаемся.
По формуле (10) предыдущего пункта на основании (6) и (7) находим еще асимптотическое выражение для функций Заменяя здесь 1!г а = 1/ 1 р = )/У вЂ” х' и а = аг!)г —, х' асимптотическое выражение шаго порядка 8: Нх (х) =— (гг г ° г г — — = — '~/У вЂ” х = —, где сн а г' х получаем окончательно искомое ггервог! ханкелевой функции боль- 660 Гл уи. специх,льиые Функции Вебера большого порядка Нх>'>( ) — Н>>5>(х) / 2 -и+кис>ь —" у (х)= . = — )т — е . (РО) 2> пи 2) Асимптотические выражения для больших значений аргументов.
Будем считать х Л и обозначим меньшее 1 число х П '> — „=сова >О < а < — >. Первую функцию Ханкеля можно переписать в виде ВХ> (Х) — ~ Ех И 5>ПС-!Ссссо> С)~ — ( Еха>0 С)т а(11) П П,) с с, с, где у (ь) = 1 з)п ь — )~ соз а = = — соззз)>а+осоза+1(>бпз с)>а — зсоза) (12) лишь постоянным множителем отличается от функции )(1;) из формулы (Э). Седловые точки находятся из уравнения б'(~) = =1(соз со — соз а) = О, откУда Ьо — — ~а.
Линии наибольшего сна~а, проходящие через эти точки, определяются уравнениями )ту(ь)=з)пз с)>а — зсоза= = Ф (з!па — асоьа), или 5 ми а — асоаа с)>а =сов а —. 5>П 5 5>П и Эти линии имеют вид, указанный на рис. 202, каждая из Рис. 202. них состоит из двух ветвей, пересекающихся в седловых точках и асимптотически приближающихся к мнимой оси и прямым з = ~-п. Мы выбираем контур С>, представляющий одну из ветвей линии наибольшего ската, проходящей через точку ~о = а, 5 мпа — асоаа с)> о = соз а —. + МП5 5>п 5 по которому интеграл (17) имеет то же значение, что и по С,; на рис.
202 этот контур отмечен жирным пунктиром. На С, имеется только одна точка стационарности функции т = )хе К (() = — соз з з)> о + о соз а, 4 з. цилиндричнскин екнкции именно, седловая точка Ьо — — а, и при приближении к обоим концам С( зта функция стремится к — оо, Отсюда следует, что ьо = а является единственной на С( точкой максимума функции т = Кей(Х). Так как у нас й(~а) =1(в)псе — асана), лл(гс) = — (япа и б= — — *), то по формуле (18) и. 77 мы получаем: 4 о( 2 с» (»(а е-е сос я(-с 4 Нх (х)=1тг .
е пх з(п а откуда, заменяя х сова =)ь, в(па = т/х, где т = 'ргх' — кз н а — — агсяп — „, получим асилттотическое выражение первой ханкелевой функции большого аргулгента: ~(Г Г 2 ( (т-л агсз(п — — — ) Совершенно аналогично получается асимптотическое выражение второй ханкелевой функции (14) Если считать еще х » )ь, так что ч = "ргхт — кз = х, а= т а =агсяп — = —, то последние формулы упростятся: х 2 ' пх т пх (15) Из формул (15), между прочим, вытекает утверждение, высказанное без доказательства в предыдущем пункте, о том, что при любом действительном к функции Ханкеля Нх~(г) и Нх (г) линейно независимы. Из тех же формул на основании формул (5) и (10) предыдущего пункта мы получаем асимптотаческие выражения ') Чтобы найти угол О заметим сначала, что линия не Е(Ь) = сопя, проходяп(ая через седловую точку Ьс = и, имеет уравнение — соз з зй о+ осоз а = О, главные члены ноторого в окрестности Ьс заннсываются в виде о(з — сс) ып и+...
= О (мы заменили сов з = сов и — юп и(з — а)+... н зй о = а+...). Поэтому касательными к этой линии в точке Сс служат прямые з = и н о = О. Касательными к линии 1гпе(Ь) = сопя( в той же точке по свойству сопряженных гармонических функпвй служат биссектрисы этик г( и прямых, т. е. О= сь —, следовательно, нужно взять 6= — —. с 4' Гл. чп.
специлльные ФунКции (зг цилиндрических функций 1 и П рода для значений х » 1. / 2 т и Хх(х) = 1т — соз(х — Х вЂ” — — ); т ах 1 2 41' ./ 2 . ( к п1 Ух(х) = 1. — з!п(х — Х вЂ”, и» 1 2 4!' (16) Интересно отметить, что для значений параметра 7(= ~- — эти | 2 асимптотическне выражения являются точными (для целых Х = и первая формула была получена выше в п. 77).
Совершенно аналогичным образом получаются асимптотические формулы цилиндрических функций мнимого аргумента для значений х » л: »»( ! (х)=е ' У (!х)==е», х у х»( Кх(х)= ~~ е з Н~~п(!х) ж 1/ ~ е-», 2 2» (17) Рис. ЮЗ. На их выводе мы не будем останавливаться. 3) Асилттотические выражения для больиих х и Х. Если считать х = Х и положить (18) й (ь) = ! з!п ь — !ь, то ц~ (х) — ~ е» ((»(и с-(м йь ~ е»г (с( й~ (19) с, состоит из трех ветвей, проходящих через начало координат: мнимой оси з = 0 и двух дуг, асимптотически приближающихся к прямым з = ~-а (рис.
203). Из ветвей этой линии мы строим контур ь( (обозначен на рис. 203 жирным пунктиром), который дает интегралу (19) то же значение, что и Сь и к этому контуру применяем метод перевала. Здесь в отличие от предыдущих случаев в точке перевала ап(~) = — (з!пь обращается в нуль и лишь д (О) = — ( отлична от нуля и поэтому формула (!8) п. 77 неприменима.
Элемен- и мы будем иметь лишь одну седловую точку в начале координат ьо = О. Линия наибольшего ската 1т у (~) = з!п з сЬ а — з = 0 (20) эп з з. цилиндгнчвскив екикции тарный анализ показывает, что тем не менее точка ~ч = 0 является точкой максимума функции д(Д) на С, и притом единственной. В соответствии с идеей метода перевала для получения асимптотического выражения мы можем заменить К(ь)= — ь~= — — ь~ н кривую б, малой окрестностью сед- 3 ' 3 з~ ловой точки, или с той же степенью точности ы ы огь~- — „'1(.
' ~+1. ' ). 1и где 1 — положительная мнимая полуось, а 1à — касательная к к участку П (см. рис. 203). Уравнением этой касательной служит 1 о= — =з (что нетрудно получить из тейлоровского разлог'з жения левой части (20)), и на ней Ьз='(э+ !о)'=!о(8зз — аа) = . я й =8(оз, И~=е "~/аз'+йт' = — 2е ' «Ь (знак — объясняется тем, что у нас Ыо ~ О). Поэтому полагая егце на участке 1 ь = 1а, мы получаем: о ОР(*) — 1~ ) ю — 2 ) ~ д о = — — ~1 р' — — е " 2 $/ — ) ~ е р сЦ.. о Но 60 з .~е ~1 з ~1з) о о или, что то же самое, для конечных значений '=й)" 6- ') Эта формула имеет вид: ч О~н(х) = — ~ И 'и(1), (22г и мы получаем окончательно (21).
В. А. Фок дал другую асимптотическую формулу для случая 1/А2 — хз = Х/3, А Ъ 1 гл. чп. спгшыльныв Фтпкцин 604 где ю(1)== " е " с(ь (25) =У;,.' и Š— контур, идущий от ь = оо до 0 по лучу агд~ = — 2п(3, и от ~=0 до со по положительной полуоси агась=О. Эта функция исследована и для нее построены таблицы. На выводе формулы Фока мы не останавливаемся (см. В. А. Фок [10], стр. 55 — 50). 98. Графики цилиндрических функций. Распределение нулей. Мы приведем здесь графики наиболее употребительных цилиндрических функций для положительных значений аргумента. На Рис. 204.
е~ д -ед Рис. 205. рнс. 204 н 205 сплошными линиями изображены графики функций Уи(х) и Уи(х). Для малых значений аргументов характер еи $3. Иилиндиические Функции 665 этих графиков можно выяснить из представлений ус(х) и Уи(х) в виде рядов. Для больших значений х можно воспользоваться асимптотическими выражениями (24) предыдущего пункта, из которых следует 7с(х) — — соз х, У„(х) = — шп х — — . (1) Пунктирными линиями на тех же рисунках изображены графики функций Бесселя и Вебера первого порядка. Онн получаются из графиков Ус(х) и Ус(х) посредством графического дифференцирования на основании соотношений l,(х) = — Ув(х), У, (х) = — Ус (х). зе Е ~ г З С З Е Р и г З и Рис.
206. Рис. 207. На рис. 206 и 207 приведены также графики цилиндрических функций мнимого аргумента 7с(х)=ус(йх) = =е", Кс(х) = — Н~~о~(гх) = фl ~ е — ", (2) 1' 2их которые часто применяются в физике; на первом из них пунктиром указаны также графики 7„(х) для п = 1, 2, 3, 4. Функции У„(х) и У„(х) имеют колебательный характер; их частота примерно постоянна, а амплитуда убывает как 11"17х. При этом функции У„(х) при приближении к началу координат стремятся к — оо, Напротив, функции )с(х) и Кс(х) не имеют колебательного характера: первая из них монотонно возрастает от значения 1 до оо примерно со скоростью показательной функции, а вторая убывает от +со до нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
