М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Этот интеграл получен Н. Я. С о н и и ы м. Аналогично получается второй интеграл Сонина 2 Уиг (х 51п /) Уи (9 с05/) 51п /со5 + / с// о хт//ПУП+ т+1 ()схг + 91) (хг 1 1)!т+л+!Н2 Н. Я. Сонину принадлежит также формула у ( /) Уи(Ь ) / +т ) /т!! (/1 ! 2)и/2 си с)с'аз Ьг ти-т-1 т ! О; О< а<Ь, а>Ь >О. Для вывода втой формулы мы заметим, что в интеграле Сояппа — Шлеффлн (9) и. 95 при Л> — ! По лемма Жордана можно замешпь консур Интегрируя зто соотношение почлеино по / от О до п/2 (это законно при т> — 1, и>-1) и используи формулу (б) п.
90, будем иметь: ГЛ, НИ, СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 674 интегрирования С' прямой (п1Ь = с >О. Ыы получим новое интегральное представление бесселевой функции (С о н и н) с+ 1Ф УА(к)= —,. ( — ~ ~ е 2лс' (, 2) (17) Заменив в левой части формулы (16) ул(ЬУгз+х') по формуле (17), найдем, что эта левая час~в равна с с+Ля Ь (1~.хи о с-гсс с+1«1, о с-гсс (мы заменили 2ьгь=ю и воспользовались тем, что при Ь >О вта замена ие изменяет пути интегрирования), Переставляя здесь порядок интегрирования н пользуись интегралом Вебера (13), нзходнч: с+ и» ь/ х' М -л-1 3 т, а ),т ~ -МгФву ( 1) Ггс+! Лг 2л1 с-~сс с+ ~ ь-'-а' ьх' ,т е зь пм югс-л Лы, (18) 2лГЬ" +' При а > Ь этот интеграл рзвея нулю; действительно, в этом случае коэффициент при ы в поназателе степени е отрицателев н по лемме Жордана интеграл можно получить как предел интеграла по отрезку (с — Ы, с + Ы), дополненному п р а в о й полуокружностью, но внутри такого контура пол.
ннтегральнан функция правильна. Вторая часть формулы (!6) доказана. При а ( Ь по той же формуле Сонина (17) паходпч; с+1 ГР— Ю Г а —" ГФ з Юм С(Ф = 2л! С-г~ч ('; ("'-- )' Ьь — а' ! 7! Ул-е-~ (ку'Ь'- ас ) л-т-1 ) йлг Ьа аэ 2Ь Ьл-т-1 ( 2Ь мы заменили в= з ь ь и применили формулу (17) для л=л — лз — 1, ь' — а а=х)с Ь' — аь). Подставляя найденное значение интеграла в формулу (3,1) получим и первую часть формулы Сонива (16). зэ! 5 3.
Нт!Линдпические Фун!сыии Еуб 5) Интеграл теории электромагнитных воли. Выведем формулу уз(а УР— т') ч(1 — т) =,' е (!9) Ур' -1- а' которой мы уже пользовались в п. 97 при решении задачи о распростране. иии волн в длинных линиях. Мы исходим из интеграла Сопипа (В! п. 99; положив в нем а =О и а = а У!' — т', будем иметь а Уг'-т',' !а!=! Эамепих! здесь /'! — т окружность )ы! 1 перейдет при этом в окружность )ь)=117 !+т и так как подынтегральзая функция вмеет лишь одчу особую точку ь = О, то эту окружность можно заменить окружностью ) ь) =!.
Мы получим: 1(! Пользуясь этой формулой, найдем изображение по Лапласу левой части (19); считая т ~ О и, как всегда, )те р л О, имеем: е л!7,(аУ!' — т') г(1= 191=! (т (чы изменили порядок интегрирования). Во внутреинсч интеграле действи- тельная часть козффиш!еита при ! в показателе степени равна а/ 111 йе ~р — — ~~9 — — )1 йе (р — а( з!п !р) = це р.лО 2 ! (мы полагаем ь = е!е и считаем а действительным числом); поэтому инте- грал сходится п легко вычисляется: Подставпв зто значеиие в интеграл (21), иайдеч; т е ) „- г(4 -гр а л уа (а Р !' — тт) г(т — еат' 9т а !ээ б?6 гл.
щ!. спицпдльнын ещ>кппп е- тв е-л>У, (и ) "!> — т> ) д! = — ' от! е — т > л~~ л ~та, 2п> 2Ь> — 2— Р а )УР +и >то совпадает с формулой (!9). Точно таким гке ооразом получается более абщш> результат: для любого целого неотрпцатслыюго и т! )в Тн() П вЂ” тт) . е " ' () Р'+ 1 — Р)" (22) 6 ) Задача Бернулли о колебаниях висящей цепи. В !?32 г. Ланннл Бе р н улл н погтавнл и решил задачу о колебаниях вертикально висящей тяжелой цсгщ, Пусть однородная тяжелая цепь АМВ длины 1 подвешена нертикально в точке В и под действИем силы тяжести совершает малые колебания вокруг положеНия равновесия.
Если обозначить через ! — время, х — длину цепи от точки А до переменной точки М н через и = п(х, ()— отклонение точки М от вертикали (рис. 211), то уравнение лсалых колебании будет иметь вид: М д'и у дти ди 1 Ь вЂ” =и!х — + — ). (23) дтт ~ дх> дх ) Л где д — ускорение силы тяжести. Следуя Бернулли, будем Ре. шать это уравнение методом разделения переменных. Лля этого прежде всего найдем его частное решение, име>ощее внд >т произведения двух функций, нз которых одна зависит лишь от переменной х, а другая лишь от 1: Рнс. 2! 1.
и = Х (х) 'Т (!). Подставляя это в (23), после простых преобразований буден пчеттн 1" (!) хХ" (х) + Х' (х) Т (!) Х (х) Так как слева здесь стоит функция одного 1, а справа — функция одного х, то равенство возможно лишь в том случае, когда обе части равны одной и той же постоянной, которую мы обозна н»> через — оР*), Тогда последнее уравнение разобьетсн на два: хХ" (х) + Х' (х) + — Х (х) = О. (24) И Тв (!) + штТ (!) = 0; Решение первого уравнения имеет вид; Т (!) = А з)п (ы! + ср) ") Эта постоянная должна быть отрицательной, ибо в противном слу. чае, как видно хотя бы из первого уравнения (24), решение пе будет иметь колебательного характера, что противоречит физическим соображениям. Раз) Рт+ а Подынтегвальная функция имеет здесь два пол>оса: йь з = п из которых однк не>кит внутри круга ) ь ((1, а другой — вне его, ибо С>ьг= = — 1. При условии )сер>0, ре)~Р>+ аз,ь0 внутри круга лежат коРеиг ! и> = — (р — )> Рт+ и') н по теореме о вычетах последний интеграл равен 4 3.
ЦИЛИИЛРИЧЕОКИЕ ФУНКЦИИ ОП где А и ф — некоторые постоянные, а второе уравнение имеет вид ураннешт нпя (2) этого пупнта при а =1, Ь = О, с = —, а = !. По формулам (4) на(! ходим И=2, У=О, Ф= — н, следовательно, подстановка (3), которая 0 4ьлт в нашем случае имеет вид л) х = — тз, или т = 2ы ~, —, приводит урав4ыл ' )' я' пение к ниду уравнения цилнвдрическнх функций с нндексом к = О, как видно из соотношения (О). Таким образом, обшее решение второго из уравнений (24) имеет вид: Х (х) = ВУс (2ы )/ — ) + СУа (2ал 1/г — ), где В н С вЂ” постоянные.
Из физических соображений ясно, решение должно оставаться ограниченным, следовательно, С ную В можно считать раиной 1, ибо а выражение для Т уже вольный мнолкнтель А. Таким образом мы находим частное что при х-ь О = О; постоннвходит произрсшенае урав- пения (23) в виде /х! и = АУс (2ы "~/ — ) з1п (юг+ ф).
Ы (25) л к*г Рис. 2!2 и (х. У) = ~ АаУ (аь ~уУ вЂ” ) з!и (ыа(+ ф„). ь=о (2У) ') Замена неизвестной функции излишня, ибо т = О. '*) Прн х = О функция Ул(х) = 1, следовательно, постоянная А означает амплитуду колебаний свободого конца цепи, Вечичнна ол здесь не может иметь произвольного значения, ибо вз того услопня, что цепь подвешена в точке В, мы находим, что и(У, () = О для всех У. Это возможно лфшь в том случае, если / ! Л -:й;: ~,5:к лкВ:ж Ус 2ш 1/ — ) =О, (26) 0 ! откуда ы = ы = — ту —, где а— аь,Г й 2 У I / l нули бесселевой функции нулевого по- ! рядка. х Уравнение (25) показывает, что все л л ъ точки цепи совершают гармонические К 2 К-3 колебания с одинаковой частотой ыь = а„у = — ту — н с амплитудой, меняю.
=2 У щейсн от точки к точке по закону АУ 2е ту — ) АУ (а ту — )*'). Частоты колебаний и форма колеблюшейся цепи могут быть различными, в зависимости от того, какой нуль ал функции Ул(х) рассматривается! на ри. сунне 212 изображены законы изменения амплитуд точек цепи при й = О, 1, 2. Обычно колебания цепи представляют собой наложение колебаний (25) с различнычц ал~плитудамн и начальными фазамн ГЛ. ЧИ.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЕпйИ 678 Чтобы определить коэффициенты Аа и фа, надо задать начальные отклонеди ~ ние н скорость точек цепи, т. е. и (х, 0) =/(х), — =ф (х). Тогда будем дг],о иметь условия а=о «=О которые, обозначая Ргх/! =т и /(!т') = г (т), а(!тз) = 6 (т), можно переписать в виде обобщенных разложений Фурье Г(т) = ~~ А юпф 7 (а т), б(т)= ~~ А юасозфа/О(аьт). (28) О=О а=о (29) где а' = Т/о, Т вЂ” натяжение и о — поверхностная плотность.
В работе. опу- бликованной в ]764 г., ай Эйлер рассмотрел задачу о колебаниях круглой мембраны. Эйлер исходил нз уравнения / дти ! ди д'и ! дти аз ! —, + — — + — ] ! дг' г дг д~р' ] дР ' (30) соответствующего уравнению (29) в полярных координатах. Вля построеп1ш частных решений уравнения (30) Эйлер полагает йл=/с(г)з!п(ы!+Ч)з!п(ЛФ+Ь), где ю, Л, у и 8 — постоянные, н после подстановки в (30) получает / глз гзК' + г/7'+ ~ —, г' — Лз) !7 = О. (3!) После перехода от г к новой переменной р = гю/а последнее уравнение при- нимает обы шый вид уравнения цилиндрических фувкцнй р'/(к+ рйх+ (р' — Л'] )7 =-0.
(32) Из физических соображений ясно, что период функции по йр должен быть равен 2л, следовательно, Л должно быль целым числом. Для таких значений Л Эйлер дал решение уравнения (3!] в виде ряда ч*). Таким образол1, '] Мембраной называется тонкий слой из свободно гнущегося п пало растягивающегося материала, пример — барабанная плевка. **) В более поздней работе Л. Эйлер рассмотрел такяйе случай пецелого Л. Из этих двух разложений по формулам (38) п.
95 можно найти вес коэффициенты А и ф . В работе, опубликованной в ]732 г. в комментариях в Петербургской Академии наук, Л. Бернулли решает второе уравнение (24) с помопйью ряда, приходит к условию (26) в замечает, что цепь может иметь бесчисленное множество форм колеблющейся нити. 7) Задача Эйлера о колебаниях круглой мембраны. Прогиб и = и (х, д, !] — отклонение от равновесного состояния мембраны *), совершающей малые колебания под действием сил натяжения, подчиняется уравнен по аяй11Ийвии . 9 3. ИИЛПИДДРИЧЕЕКгГЕ ФУИКИИИ 991 Эйлер получил частное решение уравиевия (31) вида и = Аул ( — ) э!и (вг + у) з1п (юр + 6). / вг у "~ ° ) (33) чШ' !й!" т. е.
все точки мембраны, находящиеся на одина коном расстоянии от центра, ьолеблютсн одинаково. Точки мембраны совершают гармонические иа„ колебания, с одинаковой частотой в = — и с го г ! гъ амплитудой А 7 а — ), зависящей от расстояРис. -13. ния точки до центра. Йа рис. 2!3 изображены законы изменения амплитуды колебаний отдельных точек мембраны при й = О, 1, 2 Самый общий вид колебаний мембраны получается сложением всех колебаний (ЗЗ) при различных и и й и = т А„еу„(аа — ~ з1п (вь!"11+ у„ь) з1п (ер+ б„а). го г л, и-9 (35) При задаввых начальном положении н отклонении мембраны коэффициенты А„о, уоо, б о можно найти, пользуясь ортогональностью систем тригонометрических и цилиндрических функций. 8) Мгновенный цилиндрический источник тепла. Плоско-параллельный поток тепла, в котором распределение температуры и во всех плоскостях (П), перпендикулярных какоыу-либо фиксированному направлению, одинаково, описывается дифференциальным уравнением (36) где 1 — время, и — постоянный коэффициент н х, у — декартовы координаты в одной нз плоскостей П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
