М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 124
Текст из файла (страница 124)
220. 1 1 Нт подстановки 1 = переходит в ) '1' 1 — Ь"т' 1/ (1 — тс) (1 - Ь" -.) У Мы нашли также следующие значения зпз в параллелограмме периодов: (12) — 1/Ь и убедились, что она является нечетной функцией: зп( — з) = — вп з. (13) 1!а рис, 220 мы приводим рельеф функции зп з для й = 0,8. Из него видно, что полюсы этой функции лежат в точках гл. ю[.
спвцплльныг. фтнкции 698 поо г = 2пК+(2п'+!)К'[ и нули — в точках г = 2пК+ 2п'К', где и и и' — произвольные целые числа (это находится в полном соответствии с тем, что мы говорили в и. 39). Из двоякопериодичности функции (9) следует, что обратная функция г = Е(ц[, й) — эллиптический интеграл первого рода, рассматриваемый в зависимости от ю,— является бесконечнозначной. Любое ее значение получается из какого-либо одного добавления периода Т = 4пК + 2[п'К'. Ю ~/11 „о) (1 [о а) а ~'(1,„~1 [1 [о о) — +4пК+2[п'К'.
(14) ос о[ Здесь [ означает произвольный путь, соединяющий точки 0 и ш, а Ео — какой-либо фиксированный путь, скажем, прямолинейный отрезок (ср. аналогичное свойство !и [ф в п. 8). На Рис. 221. рис. 221 изображен рельеф одной из ветвей эллиптического интеграла Е(ю, й) при Й = 0,8. На нем ясно видны точки ветвле- 1 ння, лежащие над точками ю = -+ 1 и и[ = -+ — плоскости ю. [[ Если ввести, как раньше, переменную Ч[ (амплитуду), так что и[ = з)п ф, то интеграл (8) перейдет в интеграл оф 3= У'1 аоо[иоф ' и (15) 599 В « эллиптические фвнкции ! о!!! обратная функция — амплитуда эллиптического интеграла г— имеет специальное обозначение (16) р =-атг. Эллиптический синус Якоби можно будет тогда представить в виде в =зп г =з!п айаг; (17) и называть синусом амплитуды.
Это название и обозначение ввел сам Якоби; в настоящее время более принято обозначение зп. Якоби рассматривал также функции косинус ал!плитуды н дельта амплитуды сов атг= )! 1 — и!в= ~/1 — зп'г, Л амг= )/1 — /гвгив= )! 1 — йвзпвг, (18) в настоящее время для этих функций чаще употребляют обозначения оп г = Р 1 — зпт г, дп г = ф' 1 — й' зпв г (19) (читаются по буквам «це эи г» и «де эн г»), На рис. 222 мы приводим графики зп. еп и дп для действительных значений !'вс.
222. аргумента г=х и небольших положительных й. Заметим, что при й = 0 из формулы (8) вытекает, что г = а го з(п и!, следовательно, зп(г, О) = з1пг; тогда формулы (19) дают сп(г, О) = = соз г, с(п (г, О) = 1. Можно было бы доказать, что функции спг и бпг, как и зп и, являются эллиптическими функциями второго порядка н что их основные периоды, соответственно, равны 4К, 2К+ 2К'! (для сп) и 2К, 4К'! (для дп)*). Здесь мы приведем лишь формулы дифференцирования и теоремы сложения для эллинг!и!еских функций Якоби, из которых ясно видна аналогия между ними и обычными тригонометрическими функциямп. ") Доказательство си, А. И.
Ь! в р к у ш е в в ч, стр. 598. па? гл. ??!!. специальные ФхнкцнР! тао Для вывода первой формулы дифференцирования мы отправляемся от соотношения (8), из которого получаем: — = )? (1 — и??) (1 — й'ш?) нли, подставляя ш = зп г, ??БП2 — =си г бпв. (20) Для получения других формул дифференцируем соотношения зп г + сп? а = 1 й? зп? г + бп? г = 1, (21) которые непосредственно следуют нз равенств (19); тогда получаем: ??сна ???!?? а = — зпгдпа, — — = — А зпаспа. (22) Заметим, что при ?? = 0 формула (20) н первая нз формул (22) обрашаются в известные формулы дифференцирования з(п г и соз г.
Отметим еще, что из формул (22), если выразить в нпх с помошью (21) зп н дп через сп и, соответственно, зп н сп через бп, получаются следующие дифференциальные уравнения для и?=спаяв=бог; — = — У ( — ~') ()?' + И~'), — „= — )? (1 — ~~)(~~ — й'), (23) где А' = )?' 1 — й' — дополнительный модуль. Учитывая, что си 0 = дп 0 = 1 (это следует из (19) и равенства зп 0= 0) и что сп г и дог — четные функции, мы видим нз формулы (23), что зти функции обращают, соответственно, интегралы )' (! — а??1(а' + ???а?') " ?гг(! — э') (а?? — ??'!) Для вывода теорем сложения мы воспользуемся методом, идея которого восходит еще к Эйлеру и который послужил первым толчком для исследования эллиптических интегралов.
Следуя Эйлеру, рассмотрим дифференциальное уравнение + =О. )? (! м?) 1! ??м?) 1'0 ?) (! а? ?1 Найдя независимым образом два его интеграла и сравнивая зти интегралы, мы получим искомое соотношение, выражающее тео- 1ОН 5 4 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 70! рему сложения. Первый из таких интегралов получается непо- средственно ,'===,.=,,=+, г =С. (25) !.И в!,—,-,—,) „~!Г(1 в2)(, „2в,)= о о Для пол ""л второго интеграла заменим наше дифференциальное; равнение системой ф=)/(1 — шо)(1 — йо 2), ло2 = — )~(1 — )(1 — йо ), (26) где и — вспомогательное переменное.
Дифференцируя эти уравнения, находим: 2(2в 2(ио = п2 (2йоц22 — 1 — /22) = в (2/)ово — 1 — /оо) Й2 откуда 2(2в 2/222 2( / 2(в 2(в ! 2 2 2 в — — ш — = — (в — — ш — ) =2й-/ав(п2 — в ). 2/122 2/и2 2(и 1, 2(и 2(и ) С другой стороны, из формул (26) находим: ,г(2™)' „Р~ ~~) (во „Р)(1 йо 2 2) и, деля на это уравнение предыдущее, получаем: 2/ / 2/в 2/в ! 2 / Лв 2/О) ! — (в — в — 1 2/2 юо2 '(в + 2о 2(и 1 2(и 2/22 1 ( 2/а 2(и ) 2(в йв О2,2 2 2(а 0а или — !П(в — — ш — ) = — (п (/о п2 в — 1). 2 2 2 Л22 '! Ла Л22 ) Н2 Отсюда в — ц2 — =С'(! — /Ооп22во) и, пользуясь форму- 2/и о2и лой (26), находим второй интеграл ,„у"(1 О22) (1 Оово! .» в !/ (1 в2) (! 22 2) 1 — /2 в в 2 2 2 — С,.
(27 Обозначая нв 2/В о ! (1 — в') (1 — Ьово) ° У (1 — во) (1 — /22в2) о откуда и = зп г, в = зп Ь, и подставляя это в формулы (25) и (27), находим интегралы нашего дифференциального уравнения в виде +ь=С ' ' — С (28) 1 — ао оп' а оп' С и 02 гл. Уи, специалъные Функ11ии 702 Так как эти интегралы по теореме единственности решения дифференциального уравнения должны вытекать один из другого, то с, должна быть функцией с, пусть с1 —— 1р(с) = 1р(г+ 9). подставим это соотношение во второе из уравнений (28) и для нахождения вида функции ср подставим еще 9 = О.
Получим 1р(г) = зп г, следовательно, в окоачательной форме теорема сложения запишется так: 5п в сп й ол ь + 5Л ь сп а пп а зп(г+с)— ! — ав ап' а вп' й (29) спаспь 5П в апйс(п 51(11 1 сп (г+ ь)— ! й 5П ВБП ап в 1(п ь — Й~ 5Л а 5п ь сп а сп С 1 — а' ап' в ап' Ь (30) (31) Из этих основных формул сложения получаются другие, аналогичные известным формулам тригонометрии. Их можно найти, например, в справочнике Л. )1(. Журавского (13), стр. 76 — 77. В заключение заметим, что так как функции Якоби зависят лишь от одного (комплексного) параметра й, то их периоды не могут выбираться произвольно. Оказывается, можно задавать произвольно лишь отношение К' я= —, К ' (32) или, что то же самое, величину ,к' д=Е-я'=Е (ЗЗ) Тогда величины К и й могут быть определены по формулам *) К = 2 ! 1+ 2 д 1)сл ,,1 2 ~ (34) т' К'! ') Ряды (34) сходятся, иоо по условию (!) п.
79 )тп — =!тп —.= т 2К =*)(е — ) 9, следовательно, )4) ( ! Вывод формул (34) см., иапритыр, К' К в книге )!. И. Ахиеаера [)!), стр. 94 — 93. Прн й = О эта формула будет совпадать с известной теоремой сложения для синуса. Аналогичные формулы справедливы и для других функций Якоби, так 1ьв 703 зс ЭЛЛ!1ПТИЧГСКПЕ ФУНКЦИИ Приведем график зависимости д от А' на интервале (О, 1) (рнс. 223). На нем сплошными линиями изображены графики д и 10д и пунктиром — график д на интервале (0,999; !); для последнего графика значения йз надо брать на верхней шкале. В сборнике Янке и Эмде имеются пятизначные таблицы для десятичного логарифма д в зависимости от модулярного угла и и 41 42 аз ас йх ав й7 дэ аз 1о Рис.
223. для и, изменяющегося от 0 до 90' с интервалом в 5' (стр. 147— 149). Из ннх можно найти й по данному и и тогда по табчицам полных эллиптических интегралов найдется К вЂ” так можно избежать применения формул (34). 103. Функции Вейерштрасса. Тэта-функции. 1) Функции Вейерштр асса д и р', Функции Якоби являются эллиптическими функциями второго порядка, имеющими в параллелограмме периодов по два простых полюса. Вейерштрасс построил эллиптические функции второго порядка, имеющие в параллелограмме периодов один кратный полюс.
В отличие от функций Якоби эти функции зависят от двух комплексных параметров и периоды т, т' можно задавать произвольно с одним лишь общим условием 1п1 — ) О. Свойства функций Вейерштрасса аналогичны свойствам функций Якоби. Заметим, что в теоретических рассмотрениях функции гл. гл!, спгпплльныв фтгзкцпп !зоз Вейерштрасса почти всегда оказываются более удобными, однако в практических задачах чаще встречаются функции Якоби.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
