М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 128

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 128)

37): г' — Ьз в=С, ~ с(г, 1 ~ е )/'(гт 1) (гз 1 Ьз / ЬЕ ЯВСОРбгОг 1/г'-Ь 1 "и «О' " 1 сЫ 1/и Рис. 229. 1 где С, >О, Ь > ! и — >! — некоторые й постоянные, подлежащие определению. После простых преобразований зтот интеграл переписывается в виде комбинации и второго рода: эллиптических интегралов первого а г где С вЂ” векоторая положительная постоянная. Для определения постоянных воспользуемся соответствием точек г = 1, ш Ь; г= —, ю = Ь н г = Ь, й ' ю = Л+ га. Из соответствия нерпой пары получаем: 8 = С ((Ьэбт — 1) К+ Е), (18) где К и Š— полные эллиптические интегралы первого н второю рода, соот- ветствующие модулю Ь (см.

п. 102). Из соответствия второй пары, учитывая соотношение (!8), получаем: 0 = (Ь'Ь' — 1) К'+ Е, = йтбзК' — Е', (19) где К' К(Ь'), й'='г'1 — Ьэ (см. п. 102), а Е! ~ )/ э б)=К' — Е' ! (20) и Е'= Е(Ь) (чтобы убедиться в последнем равенстве, достаточно заменить У1 — й"Т' '! в интеграле 1 = (. Наконец, соответствгге третьей пары с уче- Ь том соотношения (!8) после сведения эллиптических интегралов к интегралам ! с пределами, меньшими 1 (ато делается с помощью замены в интеграле первого рода и замены, указанной в предыдуших скобках, для 722 гл, цп.

сппцидльнып скмкпии (им интеграла второго рода), дает; а = С ((йгбз — 1) г (а', й') + К' — с" (а", й') -1- Е (а", й')), (21) где з(па'= —,! Ь' — 1, з!пал= —, р 1 — Ьгб'. Из формул (18), (19) и Ьй' (21) кожно приближенно найти неизвестные й, Ь и С. 7) Электростатическое поле двух прямоугольных пол ю сов (рнс. 230). Отобразим копформио верхнюю полуплосность ь па йу верхнюю половину поля с соответствием точек, указанным на рис.

230. Интеграл Шварца — Кристоффеля имеет вид: 8 Е *-с) у' ', о Ф т. е. является эллиптическим интегралом второго рода. Из соответствия ЩЯ" (22) 1 точек я=1, ш =Ьиг —, и =6+ оп й' Ю Г как в предыдущем примере, найдем; 8=СЕ(й), а=С(К(Ь') — Е(й')).' (23) Отсюда, деля одно уравнение на другое, получаем соотношение для определения модуля Ь, а найдя й из (23), находим и С. симметрии функция, обращающая интеграл (22), дает области поля на плоскость и с выброшенными лучани Функция Рис.

230 По принципу отображение всей !ь) )1,1щь=б (пм 1 пш ь = — Ып — = — ай 2$' 1 2)г (24) , пш и'ш ТсК 2(г (28) г( а~ ба пс ')l~ Ь ~а 8) Электростатическое поле точечного заряда, расположенного вн утри прямоугольника. Пусть заряд величины д рйсположен в точке ~ = й+ 1т) внутри прямоугольника 0 < х < —,, 0~(р» (— с проводящими стенками (рис. 23!]. Потенпиал поля У вЂ” функция, гармоническая всюду внутри прямоугольника, кроме точки ь, где она ! имеет особенность вида 24(п, и равная нулю на стенках прямо- (а-ь(' реализует отображение полосы — Р<(ш ш < Р па верхнюю полуплоскость ", причем нижней границе полосы соответствует левый разрез, а верхней— правый. Глсдователынк формулы (22) и (24) дагот параметрическое представление комплексного потенциала поля, которое получается, если левый полюс несет потенциал — Р, а правый И Вектор напряасенностя поля будет равен: 1Э»! й » ЭЛЛНПТНЧЕПКНГ ФУНКЦИИ угольника.

Влияние сгенок можно заменить мых отражениями г) в степках заданного равносильно продолженшо функпии У на ВСЕГО плоскость г. После такого продолгьения функпия У будет двоякаперподпческой с перно. дами т и т', причем в точках т + и' — и и конгруэнтных им, она будет 1 исеть особевности вида 2д (п (г — ~) а в точках ь, т + (т' — ь — особенности вида 2о 1п(г — Д. Пусть (7(г) — функция, сопряженная У(г), тогда системой зарядов -~-д, получаепрямоугольника (рис. 231), что — !и+ю ! ш=)(г)=е ч (26) Рис.

231. будет эллиптической функппен с осноннымн пернодама т и !т' и с простыми полюсами н нулянж конгруентнымн соответственно ь, — ь н ь, — ь По теореме п. !01 функция 7(г) представляется с помощью о-функций Вейер. штоасса; о (г + ь) о (г — ь) сг (г + Ь) о (г — ь) (27) (здесь С = ! в силу нашего выбора множителя при У+1(г в формуле (26)). Пскочый потенциал поля У (г) = 2ч Це 1п (23) о (г + Ь) о (г — ь) ' (29) Бугем искать отображение на 0 кругового кольца К: г ч..)г)ч..

1, где число г (О ( г ( 1) должно определиться в процессе решения задачи (см. теорему 3 п. 36 и замечание вслед за ней). Предположим, что окружность Ссг !г) = 1 переходит в контур Г», а окружность СН )г( = г — в контур Гь Прообраз вершины А» обозначим через а» (й = 1,2, ..., л), через г = а 9) форм ула Ах неэера — Гол уз и на. В заключение мы приведем вывод формулы для конформного отображения кругового кольца па дву.

связную область О, ограпнчепную двумя многоугольными контурами. Эта формула аналогична формуле Шварца — Кристоффеля п. 37; она была найлена в 30-х гг. независимо Н. И. Ахнезером и Г. М Голузиным (см. [1!]) . Для определенности предположим, что область 0 плоскости ш содержит бесконечно удаленную точку, т. е. представляет собой внешность двух замкнутых многоугольников без точек самопересечении, которые мы обозначим через Г» и Гь Вершш<ы Аь Аь ..., А» обоих лпшгоугольников занумеруем общей нумерацией так, чтобы при их обходе в естественном порядке область 0 оставалась слева.

Как и в п. 37, внутренний по отношеншо к 0 угол прн вершине А» мы обозначим через а»п (О С а» ( и); по элементарной теореме о сумме внешних углов многоугольника 724 гл. и!!!. гпп![илльные супными !! Ое (ср. вывод формулы Шварца — Кристоффеля в п. 37), Отсюда видно, что (г) фуннцня Ф(г) = г —,, удовлетворяющая соотношению К (г) ' Ф (г г) = Ф (г), й = щ 1, щ 2, ..., (30) не зависит от выбора ветви функции !(г), т. е.

является функш!ей. Функции Ф(г) не изменяется, если ее аргумент умножается перейти от нее к периодической функции, фиксируем некоторое и положим однозначной на гз. Чтобы число ы > 0 (р(г)=Ф(е" ). (31) В силу однозначности Ф(г) и периодичности показательной функции полу- чаем, что и! ( гя!+ — а) ср(г+ 2ю) =Ф (е ) =<р(г). и!— Если же выбрать мнимое число ы' так, чтобы было е ы = г„то свой. ство (30) функции Ф (г) даст !р(а+2ю')=Ф'!гзе" ) !р(г).

обозначим прообраз точки ю = ао; без ограничения общности можно считать, что а лежит на положительной полуоси, т. е. что г ( а ( 1. Отображающая функция ю = !(г) аналитична в кольце К всюду, нроме точки г = а, где она имеет полюс первого порядка (в силу одноластности отображения), Поскольку эта, функция непрерывво продолжается иа границу н преобразует любую дугу окружностей Со и Сь лежащую между двумя последовательными точками аь и аь+!, в прямолинейный отрезок, то к ней применим принцип симметрии п. 35.

Согласно этому принципу мы продолжим функ- 1 цию 1(г) э колыю К и 1 С(г(( —, и она будет там аналитической всюду, ! кроме точки г †.= †, где она имеет полюс первого порядка; кольцо К , этэ и фуикпия отображает конформио на область 0 ь которая получается иэ 17 отражением в одной из сторон многоугольника Го. Точно таким же образом мы продолжим эту функцию в кольцо Кп г'()г( с. г и, вообще, в кольца К!! г!е' ((г(( г' (1 О, ~1, ~2, ...; кольцо Ка = К). Получим, как и а п, 37, многоэначную аналитическую функцию с точками ветвления в копнах дуг аь н точках, симметрнчаых с ними относительно граничных окружностей колец Кь и с полюсами первого порядка в точке а и симметричных с пей точках. Четное число, пусть равное 2Ь, отражений в прямых на плоскости ю сводится к линейному преобразованию 07= Ьхш+ сю а в плоскости г ему соответствует преобразование 2 = г'"г.

Поэтому ветви многозначной функции 1(г), которые для простоты мы обозначим той же бунвой, должны удовлетворять соотношению ! (г г! = Ьз( (г) + сы Лифференцируя его два раза и 2ь беря отношенве второй производной к первой, мы получим ,, ) ("".) (ч(г) К (г ьг) Г (г) 4041 4 4.

эллиптнческпп Функции 725 Таким образом, функция гр(г) оказывается двоякопериодической, с перио- дами 2ы и 2ы'. Выясним характер особенностей функции ф(г) в ее прямоугольнике пе- риодов, скал!ем прямоугольнике е ( йег с 2ы+ е, е ч-1шг < — 2из'-1- е, где е > 0 и яевелнко (мы взяли несколько сдвинутый прямоугольник, чтобы я! на его границу не попали особые точки). При отображении 2 = е" атому яе прямоугольнику соответствует кольцо Хг! <~)х)ч.Х (где Х = е " (1 и яе близко к 1) с разрезом вдоль луча а!22 = —.

Особыми точками функ- ции Ф(2) в атом кольце являются точки а» (й = 1,2, ..., а), лежашие на 1 окружностях Се и Сь а также точки а и - —. Как и в п. 37, мы найдем, что. а функция ((Я) в окрестности точек а» допускает разложение вида )(2) = А + (2 — а„) " (се + с, (2 — а„) + ...), а з окрестности точек а ив а )(Е)=~ +се+с!(Š— а)+ А' А" г(2)= аг ! +со+с! (а2 — 1)+ а» н заметим что я! ( — ( -гв) 1 пг, 2 — а = а ге Ф вЂ” 1) а — (г — г ) -(- мы получим разложение ф(г) в окрестяости точки ге. в а — 1 ф( )= —. а +" я! ы г — — 1п а и! са Точно так же в окрестности точек * ~ —.1па, соответствующих точкам а и! 1 и —, получим а е 2 г 4Р(г) = + и! ю г+ — 1и а и! са 2 (г) + и! оэ г — —.!п а и! Отсюда длн функции Ф(2) = 2 —, получаем соответственно )" (2) )' (2) аь — ! 2а 2 Ф(2)=а ' + ..., Ф(Х)=- — +..., Ф(2)= — — ! ...

Характеристики

Список файлов книги