М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 127
Текст из файла (страница 127)
р Ьз р Отметим еще, что, как зто доказывается в курсах векторного анализа, урав- ') Для этого достаточно привести левую часть (3) к общему знаменателю н, заметив, что в числителе при этом получится многочлен третьей степени относительно р со старшим коэффиниентом — 1, разложить его на лнвейные множители (р й) (р — р) (р — т) р — а' р — Ь' р — се + + 1— (р — а)(р — Ь)(р — с)' 2 з з Чтобы получить (4), остается умножить обе части, соответственно, на (р — а'), (р — Ь"), (р — с') и положить р = а', Ь', с'. оно третьей степени и имеет при фиксированных х, у и г три действительчых корня )ч р и т, удовлетворяющих неравенству ь ~ а' > р ) Ь' ) т ) с-".
Эти корин и называются эллиптическими координатами тачки (х, у, г). Система координат ()„ р, т) ортогональна, ибо поверхности Х = сопз1, ')6 .. р сапа( и т = сопя( представляют (.' собой, соответственно, софокусные эллипсоид, однополосный и двуполосный гиперболоиды, т. е. взаимно ортогональные поверхности (рис. 226). Нетрудно вывести формулы, выра. жающие декартовы координаты через эллиптические *) (Х вЂ” аз) (р — ат) (т — ат) (а' — Ь') (аз — с') "' ( .::., (й-Ьз)(р-Ьз1(т-Ь') — (Ьз сз) (Ьз аз) (й — с') (р — с') (т — с') Рис.
226. (сз — ат) (с' — Ь') 4 ь нллыптичискии мпкции им) 717 пение Лапласа в эллиптических координатах имеет вид: где По = (р — ат) (р — Ьз) (р — сз) (б) а Пы ... получаются соответственво заменой р на )ь ... Вместо эллиптических координат Х, р, и вводят еще друпие координаты а, (), у, связанные с эллиптическими с помощью функции (Р Вейерштрасса. Для этого проще всего вместо р ввести переменную о по формуле р = (з (о) + А, (7) где А — некоторая постоянная. Обозначим через еь ез и ез корни многочлена, который получится, если в выражение П вместо р подставить (7), тогда 2 По — — (р — а ) (р — Ь ) (р — с ) = ((Р (о) — е1) ((Р (о) — ез) ((з (о) — е ).
Отсюда видно, что при р = а', Ь', с', соответственно, (з(п) = еь ез, ез. Подставив это в (7), найдем: а' = е~+А, Ьз = ее+ Я, с' = ее+ А, откуда сложением получим А = — (аз + Ьт -1- ст). 1 3 Новые координаты а, (), у определяются иак значения о, которые получаются при подстаиовие в (7) р = Х, р, ч; )С = (з (а) + — (а' + Ь' -1- с') 1 3 и = (г ((з) + — (и + Ь' + с'), 1 3 1 ч =(з (у) + — (лз+ Ь'.). сз). 3 (3) Отсюда получаем: Л вЂ” оэ = и (а) + А — о' = (з (а) — ем ((з (а) — е ) ((з (й) — е1) ((з (у) — е1) (е, — е,) (е, — е,) ((р (а) — ег) ((г (Р) — ез) ((Г (у) — ез) (9) У (ез — е,) (ез — е~) з (р (а) — ез) у Ф) — ез) ( (у) — ет) (ез — е~) (ез — ег) Интересно отметить, что согласно формуле (14] п.
103 правые части выражений (9) являются квадратами однозначных функций, следовательно, х, н аналогично для других разностей. Подставляя это в (4), найдем формулы перехода от иоординат (а,)), у) к декартовым: Гл. ун. спенр!альныя Функ!1ии 1104 718 р и а представляют собой однозначные аналитические функции коорди. пата,р,у. Йалее, из (8) н дифференциального уравнения (13) п. 103 для функции Ьо найдем: да 1 д) 1 с(у ! Ж Пх' ар П1,' дт Пт' д д следовательно, например, Пх — = —, и уравнение Лапласа в вовик дХ да ' координатах (если заменить разности (Р— и),... по формулам (8)) принимает внд: ((з(у) (о(8)) —,+(р(а) — у(у) ддз +('Ро(()) д'и д'и дзи 3) Коэффициент взаимной индукции двух круг о в ы х т о к о в по определению равен ) соз (РТ, Р"Г') РР' с с' 2я 2я = аа') ) д!р с6р', с о Ь где смысл обозначений ясен нз рис.
227. Обозначим через !3 проекцию точки Р' на инжшою плоскость (на рнс. 227 не отмечена); тогда г = Р Р'С)г+ Рсс' = = 1' Ь'+ а'+ а' — 2аа' соз (!р' — и), Ряс. 227 Введем вместо Ф' новую перемен. ную т = ср' — гр+ л, тогда, заменяя еще но известному свойству интегралоз от периодической функции пределы интегрирования по т, равные л — ср и 3л — ср, на О и 2л, получаем: соя (т — л) , р соз т ит й( = аа' дср д'с = — 4аа'л ) )г а'+ а' + Ьс + 2аа' соь с нли, заменяя т=2Е (2 з)пзс — 1) д1 М 8лаа' Р (а+ а')з+ Ьз — 4аа'з(п41 о Если положить 2! аа' !:(, ( а)2+Ьз' Ь 4.
эллмптмцпскмг отмкцмм 719 то получим окончательно. з з М = 4п) (а+ и)'+ Ьт — ~ У! — йэз(п'(г(1+ )' 1 — й' э1пх( о а = 4. ) (о+ и)'+ Ь') К вЂ” Е). (!1) ,[1+й" з=С пю 'г' (! — щ') (! — Ьт (! 2) параметров й и С ны имеем два уравнения (сц. (1) причем для определения и (2) п. 39): Л 2СК (Ь), Ь'(! — 1 ) (1 — Ьз(з) о ! Ж СК ()г'). Гз*:че: ээ ! а= 2С (13) Из этих ураввений мы прежде всего находим: 2Ь К (й') х! а К(й) зпь -пн а д=е' =е затеи по известному о находки лз нз рис. 223 члн таблицы, питированкой па стр.
703, илн второй формулы (34) п. 102. Зная й, находим К по таблице полных эллиптических интегралов пли непосредственно по Е с помощью первой формулы (34). Наконец, зная К н а, из первой формулы (!3) определяем С. В качестве примера рассмотрим отображение верхней полуплоскости на квадрат со сторонами а = Ь = 1. Имеем н = 2, следовательно, и = е-г" =- ен О 00187 (см. [!4), стр. 58), (оц д = 3,27184; сх = 9' 53' (см.
[14), стр, 147), К = 1,5825 (см.[14), стр. 177). Таким образом, С = — 0,3159, йз=з)п'а= 0,02943 а 2К 4) Конформпое отображение верхвей полуплоскости на данный прямоугольник. В п, 39 пы рассмотрели отображение верхней полуплоскости (ш ш ) 0 на прямоугольник плоскости з, стороны которого определяются выбором параметра й эллиптической функции Якоби. Здесь мы будем считать прямоугольник со сторонами а н Ь произвольным, но а а расположенным так, чтобы его вершины попали в точки .ь — и ч- — +!Ь. 2 2 1!скоцое отображение реализует функция ГЛ УП СПВЦИАЛЬНЫП ФУИКЦИГ! 1!04 в искомым отобрансеппем будет ') е/в а = 0,3159 О (! — в') (1 — 0,02945 в э) Если ве требуется большой точности, то при решении задачи об отображении прямоугольника удобно пользоваться следующей таблицей, которую мы заимствуем из ккиги 54 ор с а и Ф еш 6 а ка [!6). (14) 0,3 ~ 0,4 ~ 0,5 ~ 0.6 0,7 ~ 0,8 ~ 0.9 1,0 ол ~ од к к д' о.о 1,57 ! 15,71 о 1,000 о о 1.57 ! бдзт о,ог!з !Лю ВН 7' о 1,578 3,933 0,0784 0,998 бе 30 0,0004 1,768 1,9ГП 0,622 0,784 38 30' О,ОЗО7 1,6Ю 2,124 0.520 ОАПЗ З!' 2З' олив 1,ВЫ !УЮ4 0,707 одв 45' О,0431 1,57! 1,643 2,347 0,407 0,913 24 0' О,О1Ы 1,57! т,вш 0,00166 1,О3О 5,4' о 1.583 З,1ВО о,!ю 0,985 9' В' 0,00!9 1,%4 Кбтэ О,вб 0,%5 ш'ш О,ВЮ о 1,0Ю о о ч=е отображение (!5) через отрезок АР, получим отображение плоскости а с выброшенными лучами )а))1, у = 0 иа вдвое больший прямоугольник плоскости в = $ + 10.
Фуикция в = е" отобрахсает этот прямоугольник иа круговое к кольцо е " < ( в ) ( е *и ~и * 5) 5/ причем точки н = $ ~ /К'сктеиваются. Но зто означает, что сложная функция — е! 3г в=е =ехр ( 03) К,,(, „)(, йэат„ о *) Заметим, что в рассматриваемом случае, когда прямоугольник является квадратом, параметр й определяется точно. Именно, можно доказать, что в этом случае двойное отношение точек — 1/й, — ), 1, !/й равно — 1 и, значит, й = 3 — 2 )' 2. Отсюда йэ = 17 — 12 Р 2 яб 0 029437. Так, в рассмотреииом выше случае !/к = 05, иэ этой таблицы мы иа.
ходим й = 0,171, откуда /!' 0,0292, и далее К = 1,583, откуда С = — 0,316. 2К При небольших й (О < й < О,!) достаточио хорошим приближением слу. жит и яб 48 ""/зк = 4)/д. При и ~ 1 вместо К, й и и берут соответственно К', /7' и 90' — 84. 5) Коифор иное отображеиие плоскости со щелями н а к р у г о в о е к о л ь ц о (рис. 228).
Рассмогрич сначала отображение у зп (01; й) (15) д л б ~~~ веркией поауплоскости а иа а/ -ги -! ! 7/й прямоугольник с вершинами шК, ~К+ !К'. Продолжая 221 % 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ реализует искомое отображение. Правый отрезок АВ переходит прн этом во внешнюю окружность кольца, а левый — во внутреннюю. 6) Конформное отображение верхней полуплоскостн на область рис. 229. Пусть точки г = О, 1, оо переходят, соответственно, в ю — О, (), оэ, тогда функция, рвали зуюшан искомое конформное отображе- ние, запишется в виде интеграла Швар- па — Кристоффеля (п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
