М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 122

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 122)

/ Тогда Х представляется в виде Т= (и+О)т, где 0<0<! Рис шв. и по теореме 1 периодом /(г) будет служить также т = бт. Но этот период должен лежать на отрезке От, где по нашему построению нет периодов /(г). Противоречие и доказывает утверждение. 2) Предположим, что наряду с периодами (3) /(г) обладает еще какими-либо периодами, не лежащими, следовательно, иа прямой ~. По лемме существует иаибольшии круг с центром в точке г = О, который не содержит таких периодов (периоды, лежащие на Е, мы не принимаем во внимание). По той же лемме на окружности этого круга лежит лишь конечное число периодов и, следовательно, существует период, ближайший к прямой Е при движении против часовой стрелки от положительного направления Е; этот период мы и обозначим через т' (рпс.

2!5). Покажем, что любой период /(г) имеет вид (2). Для этого, пред- а с эллиптические чкггкпигг авв гос! полагая противное, допустим, что существует период Т = (п + О) т + (и'+ 6') т', где и и и' — какие-либо целые числа и О ( О ( 1, О = О' ( 1, причем О и О' не являются оба целыми (равными О или !). По теореме 1 тогда и с = От + б'т' будет периодом !(з).

Но этот период лежит в параллелограмме с вершинами О, т, т', т+т' и не совпадает ни с одной из его вершин. По нашему построению оп не может лежать в части параллелограмма, заштрихованной на рпс. 215, т. е, внутри треутольника Отт'. Следовательно, он лежит в другой часгп, по тогда точка т' = т + т' — т, которая также является периодом !(я), лежит в треугольнике Отт' и не совпадает нп с одиоп пз его вершин, что противоречит нашему построению, ибо в этом треугольнике нет периодов !(я), Теорема доказана, Числа т н т', участвующие в доказанной теореме (я также — т и — т'), называются основнвти периодазщ функции !(е). Из этой теоремы вытекает, что все мероморфные функции делятся па трп класса: !) Неперггодические функции. Для них оба основных периода равны нулю, с = т' = О.

2) Просто-периодические функции. Для них одпп из основных периодов, например т' = О, равен нулю, а другой отличен от нуля, По теореме 2 все периоды просто периодической фуикшш представляют собой целое кратное основного периода т. Примеры таких функций дают элементарные функции е' (основной период т = ~2пг), э(п е, сове (основной период т = ~2п), 1д я, с1пе (осиовной период т = -~-и) и др. 3) Двоякопериодические функции. Для них оба основных периода т и т' отличны от нуля. По теореме 2 тогда отношение тггт' не может быть действительным и все периоды функции имеют впд: Т=пт+и'т' (гг, и'=О, г-!, ~2, ...). Двоякопериодические мероморфные функции и называются э глипти ческими.

Основным свойством эллиптических функций будут посвящены следующие пункты этого параграфа. Здесь же мы приведем ряд предложений, относящихся к любым (просто нли двояко) периодическим функциям. Обозначим через т основной период функции !(я) и через все точки пт(п = О, ~-1, г-2, ...), лежащие на прямой Е, проведем прямые, параллельные какому-либо направлению, отличному от направления Е. При этом вся плоскость разобьется на поо 886 Гл. чп.

специальные вункцнн полосы равной ширины, которые называются полосалси периодов. Ясно, что все значения, которые 1(г) принимает в какой-либо полосе периодов, периодически повторяются в соседних полосах. Таким образом, периодическую функцию достаточно изучить лишь в какой-нибудь из этих полос.

Обозначим через 6 двусвязную область, получающуюся нз вспомогательной плоскости г удалением двух точек ь = 0 и ь = о, н в этой области рассмотрим многозначную функцию г= — —,1пь. 2яс' (4) Значения функции (4), принимаемые ею в какой-.тибо точке Ь, отличаются друг от друга слагаемыми, целыми кратными т, по- этому сложная функция 1 ( —,. 1 и ';) = гр (ь) о д и о з н а ч н а в области 6. В каждой точке Ь, для которой соответствующие точки г являются правильными точками 1, эта функция, очевидно, анали- у тична, а в то гкдх, соответствующих полюсам 1, она также имеет полюсы *). Подставляя в (5) функцию, 1(г) = ~, с„егамг.

а= — ьь *) Для доказательства достаточно рассмотреть какую-нибудь однозначную в окреспюстн точки ветвь функции 14) и воспользоваться теоремой об аналитичности слогкной функции. обратную к (4), Х ь=е ' =е'"', (б) где аг = 2л/т — «частота» функция 1, получим представление 1(г) в виде 1 (г) = ср (ес а). (7) 11з этого представления мы и получим некоторые тео!знг 218 ремы о периодических функциях. Т е о р е и а 3. г) любой полосе, ограниченной прямыми Е", параллельнылпс прямой периодов Е (рнс.

2!6) и не содержащей особык точек )'(г), эта функция сгредставляется рядом Фурье й л. ЭЛЛИПтт!ЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ бат ! 00! В самом деле, прямым Е' и Ем плоскости г, на которых, соответственно, г=г'+тт, г=г" +тт (г' и г" — фиксированные точки Е' и А", л — действительный параметр, изменяющийся от — оо до оо), в плоскости Ь в силу (б) соответствуют концентрические окружности ь = вычисти! ! ь = етжоеачи с центрами в точке ь = О и радиусами г'=) ецн ), та =) е"" ).

В кольце между этими окружностями функция !р(с".) аналитична. и, следовательно, представляется рядом Лорана !р (1) = ~~'., ель~. Подставляя сюда ~ = еиы и пользуясь формулой (7), получим искомое разложение (8). В частности, отсюда получается Теор е ма 4. 7(елая периодическая функция )(г) представляется рядом Фурье (8), сходящилтся для всех значений г. Далее отметим следующие простые теоремы: Те о р е и а 5.

Если целая периодическая функция ограничена в полосе периодов, то она постоянна, Следует непосредственно из теоремы Лиувилля, ибо пз ограниченности функции в полосе периодов вытекает ее ограниченность во всей плоскости. Теорем а 8. Если целая периодическая функция ((г) при г, стремящелтся к концам полосы периодов, стрел!ится к конечным или бесконечным пределам '), то она является тригонолтетрическим лсногочленом 7 (г) =,~, снесем'.

е=-н (9) Действительно, в наших условиях точки ь = О и ~ = со являются самое большее полюсал!и функции гр(~), следовательно, разложение (8) может содержать лишь конечное число отличных от нуля членов. Справедлива н более общая Т е о р е м а 7. Если мероморфная периодическая функция 7'(г) стремится к конечным или бесконечныл! пределам при г, стремящемся к концам полосы периодов, то она яв,гяется отношением двух тригонометрических многочленов. *) По теореме б нтн иреиечы не могут быть обн конечными, если Ле) Ф соил!.

ГЛ. ЧП, СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ИО! 688 101. Общие свойства эллиптических функций. Пусть 1(е)— произвольная эллиптическая, т. е. двоякопериоднческая мероморфная функция с основными периодами т и т'. Множество всех периодов ) (г) имеет вид: Т=пт+п'т' (и, п'=О, .»1, -!-2, ...). (1) Мы условимся любые две точки е! и гм отличающиеся на некоторый период: г! — гт = 7, называть конгруентными и записывать это в виде (2) з! = гл (той т, т ) (чнтается «г! сравнимо с гз по модулям т и т'»).

Множество Л11 н множество Мм состоящее нз всех точек, конгруептпых точкам М! (при данном Т), мы так- ~У же будсм называть конгру- ! нтн ылги. г-т' Отношение т'(т не могкет ~~~-,Р= быть действительным (см. предыдущий пункт), следовательно, точки О, т, т + т' и т' образуют невырожденный параллелгграмм (рпс. 217). Это параллелограмм, а также все параллелограммы, конгруентные ему, мы Рис.

2!7. будем называть параллело- граммалш периодов. Для конкретности мы предположим, что вершины О, т, т + т', с' расположены в порядке положительного обхода границы параллелограмма,— для этого, очевидно, достаточно предполонсить, что 1ш — > О. Кроме того, мы условимся причислять к этому параллелограмму стороны От, От' без вершин т и т' н не причислять остальную часть границы и то же самое будем делать для всех конгруентных параллелограммов, Тогда параллелограммы периодов не будут содержать никакой пары коигруентных точек н для каждой точки з плоскости в любом параллелограмме найдется конгруентная ей точка, Перечислим основные свойства эллиптических функций.

Характеристики

Список файлов книги