М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Теорема 1. Сумл!а, разность, произведение и частное двух эллиптических функций с одними и теми же периодалги т и т' и вооби1е,гюбая рациональная комбинация 7((11, )и ..., ! ) таких функций также является эллиптическои функцией с периодами т и т'. То же верно и для производной эллиптической фун!Еции. гец 5 4. эллиптические Функции Доказательство теоремы следует из того, что и свойство мероморфности и свойство периодичности при указанных операциях не нарушаются. Т е о р е м а 2 (Л и у в и л л ь) . Если двоякопериодическая функция является целой, то она постоянна. Действительно, наша функция должна быть ограниченной в параллелограмме периодов, но тогда она ограничена и во всей плоскости и, следовательно, постоянна.
Таким образом, в параллелограмме периодов (дополненном так, как указано вьцпе) должен лежать хотя бы один полюс г(г). В силу мероморфности 1(г) общее число полюсов, принадлежагцнх параллелограмму периодов, должно ! быть конечным; это число (причем каждый полюс считается столько раз, какова его кратность) называется порядком эллиптической функции. ! ! Теорема 3 (Лиувилггь). Сулла вычегов эллиптической функции 1(г) относительно всех ее пол!асов, ! принадлежащих параллелограллу периодов, равна нулю. т' г' Для доказательства достаточно выяснить, что интеграл по любому г+т~ замкнутому контуру С, содержагцему гг все полюсы, принадлежащие параллелограмму периодов, и только эти полюсы, равен О.
Если на контуре парал- е лелограмма нет полюсов, то в каче- Рис. 2!8. стве С можно принять этот контур. В противном случае в качестве С мы выбираем контур, получающийся из контура параллелограмма параллельным сдвигом вершины О в точку гс так, как это указано на рис. 218 (на этом рисунке полюсы отмечены звездочками; напомним, что к параллелограмму не причисляются стороны, изображенные пунктиром).
Имеем: (3) ! п гн гг но в первом и третьем интегралах элементы интегрирования !(г)дг, соответствующие копгруентным точкам, отличаются лишь знаком, ибо значения функции !(г) в конгруентных точках равны, а !.'г отличаются знаком, поэтому сумма первого и третьего интегралов равна нулю. То же самое можно сказать о сумме второ~о н четвертого интегралов. Теорема доказана вэо Гл вп.
спе!птчльныГ Функции по! ! ( ! (г) т(г 2л!,) ) (г) — а с (4) где С вЂ” контур, введенный в предыдущей теореме (нужно только еще предположить, что он не проходит через а-точки функции ((г)). Функция ( ) по теореме 1 является эллиптической (г) функцией с теми же периодами т и т', что и ((г), поэтому по теореме 3 интеграл (4) равен О, а это и доказывает утвер'кденне. Теорема 5. Сумма всех точек г параллглогоамлта периодов, в которых !'(г) принимает лтобое фиксированное значение а, конгруентна султме всех полюсов из параллелогра.нма периодов. Для а = сю утверждение очевидно. Для а Ф оо разность между суммой всех а-точек и суммой всех полюсов нз параллелограмма периодов равна (п. 23) (5) 2л! г ) (г) — а ' с где С вЂ” контур, применявшийся в теореме 4. Представим ! н ги тг (рис.
218) и убедимся в том, что сумма первого и третьего интегралов, так же как сумма второго и четвертого, равны некоторым периодам ((г) — это и будет доказывать теорему. Ио, ') Кантдая точка г, в которой )(г) = а, насчитывается столько раз, какова кратность атон точка. В качестве следствия отметим, что нг существует эллиптической функции первого порядка.
В самом деле, по определению такая функция должна иметь в параллелограмме периодов один полюс первого порядка и, следовательно, интеграл (3) должен быть отличен от нуля. Из теоремы 2 следует также, что не существует эллиптической функции нулевого порядка. Теорем а 4 (Л и у вилл ь) . Эллиптическая функция в параллелограмл!е периодов прина.яаег калсдог комплексное значение а одинаковое число раз *), равное порядку эллиптической функции.
Для а = оо утверждение следует непосредственно из определения порядка эллиптической функции. Для а чи оо вспомним, что по принципу аргумента п. 23 разность между числом а-точек и числом полюсов функции ((г) в параллелограмме периодов равна Гл. чп.
спапиллыгые Функции б92 выше прм следовательно, условие равенства нулю главных частей Р(г) во всех точках а„ сводится не более чем к п(р, + + рз +... + р, ) = пр уравнениям, линейным и однородным относительно коэффициентов многочлена Я. Этот многочлеп имеет всего п(п+ 3))2 коэффициентов (свободный член мы не учппм веем), следовательно, выбирая и+ 3 ) 2р, мы полу|им, что коэффициентов будет больше, чем уравнений. Тогда уравнения будут иметь хотя бы одну систему решений, отличную от нуля, и многочлен Я с коэффициентами из этой системы, будет нскомьпь Теорема доказана.
Так как производная )'(г) является эллиптической функцией с тегш же перподамп, что и ((г), то нз теоремы б непосредсгвепно вытекает Теорем а 7. гуюбая эллиптическая функция Це) удовлетворяет алгсбранческо.иу дифференциальному уравнению виги Р!7 (х), 7' (е)) = О, (7) где Р(2, )г') — многочлен относительно своих аргументов. В качестве примера пронллюстрируем доказанные теоремы на эллиптической функции второ~о порядка, имеющей в параллелограмме периодов два простых полюса (эллиптнческие функции с одним полюсом второго порядка мы рассмотрим в п.
(ОЗ). Функции второго порядка играют особую роль в теорпи эллиптических функций, ибо как оказывается, любую эллиптическую функцию можно выразить рационально через эллиптическую функцию второго порядка и ее производную (доказательство мы опускаем). Обозначим полюсы эллиптической функции второго порядка )(г) через а| н а~, .пе нарушая общности, можно предположить, что а, + а, = О, ибо сдвигом плоскости г (заменой аргумента г через г + с) всегда можно достичь того, чтобы начало координат попало в середину отрезка а,аь В качестве параллелограмма периодов мы выберем параллелограмм с центром в точке г = О.
Точки а~ и аэ не могут лежать на границе это~о параллелограмма, ибо тогда они должны были бы лежать на противоположных сторонах, что невозможно (параллелограмм содержит лишь по одной из каждой пары противоположных сторон). По теореме 4 функция )(г) в параллелограмме периодов принимает любое значение дважды, именно, в точках х, и гь сумма которых по теореме 5 конгруентна сумме голюсов, т. е.
нулю: х, + г,=О(гпод т, т'). Но так как сумма двух точек, лежащих в параллелограмме периодов, не может быть конгруентной О и не равной О, то )ка Гл. еп. спспилльныс Функш!и .694 уравнение вида Иначе полученный результат можно выразить так: функция л = ) (г) является обращением интеграла; лм г = )'. ( —,) ( — ) ( — ) ( —,) ' где с п ыь — постоянные и =[(~) "' =[(т) " =~~'+~') (1О) Интеграл (9) носит название эллиптического интеграла, С частным случаем такого интеграла (11) ) (! — и') (! — Ым') о мы уже встречались в п. 39, когда рассматривали конформное отооражепие верхней почуплоскости на прямоугольник.
Функцшо, обращающую азот интеграл, мы обозначили (12) и назвали эллиптическим синусом. Она является одной из эллиптических функций Якоби, к изучению которых мы и переходим. 102. Эллиптические интегралы и функции Якоби. Эллиптически.и интегралом называется вообще интеграл вида [" Р[гс, Ь~Р(ю)1Ы, где )1 — рациональная функция своих аргументов и Р(ге)— многочлен третьей или четвертой степени. В отдельных случаях этот интеграл может выражаться через элементарные функции, как, например, интеграл — )п (и!е + $Гги4 [ 1) )Мв~+! 2 Тогда его называют псевдоэллиптическим.
Вообще же интеграл (1) не выражается в элементарных функциях. Можно показать *), что с помощью элементарных под- ') См,, например, Ф ах те н гол ь а, т. 2, стр. )93 — (Оа. !оп! $ с э!!Липтичвсхт!е Функп!ли становок и преобразований эллиптический интеграл преобразует- ся к одной нз трех канонических форм и и! ! — й!и!! йи!, г' (! — в') (! — 'и!пР) ~ 1 ! — м' пи! (! ! (и!!) у (! пп) (! !пп!г) (2) где й и 1 — постоянные. Интегралы (2) называют эллиптическими интегралами в форме Лежандра, соответственно, первого, второго и третьего рода.
Число й называется модулем интеграла. Подстановка ге = з|п!р приводит интегралы (2) к тригонометрической форме ) !'1 — ~" 'ф ч. ! — и и пч! (! + ! Б(п! ф) У ! — Ф2 $(п2 4! (4) Аргумент !р называется амплитудой эллиптического интеграла. Для интегралов в форме (4) приняты следующие обозначеш!я: Особенно часто встречаются интегралы с амплитудой 4! = п)2; они называются полными и для первых двух из ннх приняты специальные обозначения Г( —, й) =К(й), Е( —, lг) =Е(й).
Часто вводят еще один аргумент а из соотношения (6) з!па = й, (7) который называется модулярным углом. Эллиптические интегралы первого и второго рода, рассматриваемые как функции амплитуды !г и модулярного угла а, табулированы. Пятизначные их таблицы, составленные через !' для г(! и через 5' для а, приведены в сборнике Янке и Эмде (14] (стр. 162 — 171); там же Гп,п-) —, е(пй)-) !'1 — и.;, ~~ф, г' ! — А' з(в~ф ) (5) П(н,('р)= !(! +(п(пппб) 1'! — Епп(пг<~ о п02 гл. чп.
специальные етнкцин имеются указания о более подробных таблицах н таблицах полных эллиптических интегралов как функции к через 1' (стр. 177) н как функции А' через 0,01 от 0 до 1 (стр. 180 и 182). На рис. 219 мы приводим также рельеф над плоскостью йз = Л = Л, + !Л, той ветви функции К = К(Л), которая равна и!2 прн Л = 0 и терпит разрыв на отрезке (1, оо) оси Ль Из рисунка видно, что функция обращается в бесконечность при Л .= 1, где она имеет точку ветвления. На рельефе изображены линни постоянного модуля (через 0,2) и аргумента (через 0,01 прямого угла), вертикальной стрелкой отмечено положение начала координат.
Рнс. 2!9. Остановимся несколько подробнее на свойствах эллиптического интеграла перво~о рода в форме (2), т. е. рассматриваемого как функция комплексного переменного га = з!ига: дм У(! — м') 11 — ь'в'! о В п, 39 мы уже убедились, в том, что обращение этого интеграла, т. е. функция Якоби — эллиптический синус гв=зпа=ап(г, А) (9) является двоякопериодической мероморфной, т. е. эллиптической функцией с основными периодамн 1 пь 4,, = 4К, 21 „Г = 2!К', (1О? и! ~Й , О~ — ~*0(~ — ьцц 697 1021 5 с эллиптическ1ге Функшги где к = г'1 —, й) и к' = г ( —, и') — полные эллиптические икте- (2 ' гралы, соответствующие модулю й и так называемому дополнительному моду,гю йс = )г 1 — йг = сова (11) ( чтобы убедиться в этом, достаточно в первом интеграле заменить 1=з)пгу н тогда он перейдет в г" ( —, й)1 второй же интеграл после (2 ' Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
