М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 121
Текст из файла (страница 121)
Непосредственным дифференцированием проверяется, что функция (х-ьят!Э вЂ” Ч1' и= — е (37) где А, 9 и т) — постоянные, уловлетворяст уравнению (36). Очевидно, что Прн !-о 0 В ЛЮбОй ТОЧКЕ З = Х+ 1у, ОтЛИЧНОй От Ь = й+ Ий фуНКцИя И вЂ” ой, а в точке ь эта функция -о оо.
Можно поэтому говорить, что (37) физически означает температуру, возникающую в точке г от действия мгвовенного точечного нсточника тепла, помещенного в момент г = 0 в точке ь. Если мембрана закреплена аа концах, то прн г = го, где го — радиус мембраны, должно быть 7 ~ — ) = О, откуда в = в = — аа, где аа — й-й 1 вго ) 1и1 и 1л1 гл! л~ и ) го нуль функции Уо(х). Эйлер замечает также, что существует бесчисленное множество возможных колебаний мембраны. Прн л = 0 функция и не зависит от ф; ГЛ УИ. СПЕЦИАЛЫ!ЫЕ ФУНКЦИИ (ээ 680 Вычислим суммарную температуру, возникающую н точке з от действия мгновенных точечных источников тепла, при ! = О равномерно разме!пенных вдоль окружности ~Д = р.
Мы будем считать, что эффект от источников, размещенных на л!алой дуге рг(О этой окружности, равен эффекту от одного точечного источника. Тогда температура от действия этих источников определится по формуле (ОУ) '): !е — ср г'+Ф-гаг ° э а А с!О 4а'! А г(О !(и = — е — е Ф где мы считаем г = ге ", и = ре ~э~ (рпс, 214). Интегрируя это выраже- на ! !я+Ф! ние по О от — и до и, найдем нсиомую суммарную тел!пературу ~2!!я я яг -и Функнню соаб здесь можно заменить на з)пб, нбо эта замена свох:пся г! лишь к замене переменного О иа Π— —; вместо пределов интегрирован:и 2 ' Зл л 2 ' 2 — —, — можно снова взять — и, и, то не меняет величкяы и!пеграла. Вспоминая тогда интегральное представление бесселя (!1) п.
95 для фупкнпи ге(з), мы получаем выражения для и в виде г!+а! Для выиснения физического смысла константы А подсчитаем суммарное количество тспРне. 214. ла, которое нужно для того, чтобы получить в плоскости а наше распределение теглператур. Если обозначить через с удельную теплоемкость н через о — поверхиостичю плотность вещества, то количество тепла на элементе площади г !(г!(!р будет Щ = санг г)г Иф, а на всей плоскости тя 2лАсп Я=со ~ и!р ) нгдг= — е 2я ! е )е! — ~г!(г.
( 2нт! ) о е Учитывая интеграл Вебера (13) этого пункта (в вем и, а и Ьх в нашем слу- р( 1 чае равны соответственно О, — и — ~, находим: 2ат( 4атт у ' сю г! Ф 1 '()-' ° га*! / рг 1, зам е Уе ~ — ! г г(г = 2ат!е ( 2ат! ) е *) Мы пишем с(и н А Ю вместо и и А, чтобы подчеркнуть, что наши величины относятся лишь к малой дуге р г(О.
99' 63! 9 3. ЦгИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Следовательно, () = 8п'Асин' и выражение для и примет окончательный вид г'~-!я (39) Переходя от плоского теплового поля к пространственному плоско.парзллельночу, можно считать, что формула (39) дает выражение для темперашры, возникающей от действия мгновенных источников тепла, в !!очепт ! = 0 равно!!ерно разнеженных на иекотороч цилиндре (цилиндрический исто !них телла). Прп этом Гг означает сутгт!арапе количество тепла, заключенное в полосе шириной 1 и перпендикулярной к оси цилиндра. 9) Задача на теплопрозодность в круглом цилиндре. Пусть яа поверхности круглого цилиндра радиуса р поддерживается течперат)ра, разная ио совы!.
Найден распределение тетшератур прч услоз!и!, ио начальная температура внутри цилиндра равна вулю. Поскольку задача обладает осевой симметрией, естественно перейти к цплиядрпческвм коордииатач г, гр, з. Но так как здесь я не будет ззвпсеть от з и от гр, то уравнение теплопроводностн примет внд: (40) прнчея иачальнь!мн и краевыми условиями будут я(! 9=0, и(, =посев!а! Задачу будем решать операторным методом. Переходя к преобразованию Л!и!таси по переменной Г, получим операторное уравнение би ! ((г — + — — — — сг = О, г(го г г(г а' которое надо решить при условии Ряо г=о .т.( ! о' Об:цнм решением операторного уравнения согласно формулам (32) п.
9о и (20) п, 96 будет: (! = АУо ( — ! г )+ Вуо ~ — гг) у нас Л= О, а= — !), причем, так как () должно быть ограничевным ( г р а прп г-ьО, то В=О и и=А!,~ — Р.). Подставляя граничное условие, найдем А(,( — р) =... и следова()' а ) р+ы телы!о, операторное решение имеет внд! ,~,9 ) '~ — ')' " Функция сг (р) имеет бесчисленное множество полюсов, из которых два чисто / ааа '(з мнимые: р= -!- йо, а остальные отрицательные: )зл — ( — ) . па — нули р Гл. уп.
специллъные Функции 682 !!ОО ге(х) (а=а!, ...). Согласно первой теореме разложения п. 82 оригинал найдетси как сумма вычетов функпнн СГ(р) ен' во всех ее полюсах, т. е. )г лз О 4 (' г )зг — е ! чк~ ~о( аа) йе )Г-„! 4) ~ г («з) 1е р — е ь=о н(г, !)=не о а +р'ыг где перный член дают полюсы р=Л )м, а сумма относится к полюсач /на )з р = — '( — / .
Если заменить согласно формуле 134) п. 96 (р/ 1е(хе " ) = 1, (х ) ! ) = Ьег х + ! Ье1 х )'е а, и для простоты записи обозначить — = Л, — Р, то последняя формула а ' р перепишется в следующем окончательном виде: й 4. Эллиптические функции В этом параграфе мы рассмотрим свойства эллиптических интегралов и эллиптических функций. С одним эллиптическим интегралом и обраша!ошей его функцией эп мы уже встречались в п.
39, когда рассматривалп задачу о конформном отображении прямоугольника на полуплоскость. Эллиптические функции встречаются во многих задачах динамики твердого тела, аэродинамики, электротехники, теории упругости и др. Эллиптические интегралы изучались еще Лежандром в конце-ХЛ!1! ! столетия, теория эллиптических функций создана, в основном, в Х!Х столетии совместными усилиями крупнейших математиков (Абель, Якоби, Лиувилль, Вейерштрасс), Мы начинаем с изложения общих свойств мероморфных периодических функций, в совокупность которых входит, в частности, и класс эллиптических функций. !00. Периодические функции.
Функция 1(г) называется периодической, если для всех значений г из области своего определения она удовлетворяет функциональному уравнению 1(а+ Т) =1(г), (1) Ьег Лг Ьег Лр + Ье! Л» Ье! Лр О Ьегз Лр + Ье!г Лр Ьег Лг ЬМ ЛР— Ье1 Лг Ьег ЛР 2а кч -азаьг го (гаь) Рь + ь Ьег Лр+ Ье1 Лр р уе(ррз) а рь+ го (42) чоо! 683 5 4 эллиптичес!!ив Функции где Т Ф О вЂ” некоторая постоянная, называемая периодом функции *).
Периодическая функция непременно обладает бесчисленным множеством периодов. Действительно, имеет место Теорема 1 Если Ть Та, ..., Та (й ) 1) являются периодами функции 1(г), то и любая ик линейная кол!бинация с целыми (отрицательно!ми, нулевыми или положительными) коэффициентами Т=п,Т, + паТа+ ... + и Та также является периодом этой функции. В самом деле, для неотрицательных и, утверждение очевидно, ибо многократное прибавление периода к аргументу не изменяет значения функции.
Чтобы доказать его для отрицательных пч, достаточно показать, что наряду с Т, периодом !(г) служит и — Т,. Но, действительно, для любого г, в силу уравнения (1), [ (г — Т,) = )' [(г — Т,) + Т,[ = [(г), а это и означает, что — Т, является периодом 1(г). Во всем дальнейшем изложении мы будем считать функцию 1(г) однозначной и мероморфной — мы особо выделяем условие однозначности, чтобы подчеркнуть, что для многозначных анап>ггических функций излагаемая теория не имеет места.
Ради наглядности формулировок мы будем изображать периоды !'(г) точками плоскости г. Перейдем к выяснению структуры множества периодов. Докажем прежде всего одну лемму. Л е и и а. Множество периодов мера,норфной функции ! (г) чь ~ соп81 не может содержать никакой последовательности, сходящейся к конечной точке плоскости. Действительно, пусть существует последовательность периодов Т„ сходяшаяся к конечной точке Т, и пусть г, — произвольная правильная точка )(г).
Сходяшаяся к нулю последовательность Т, = Т,ч! — Т, по теореме 1 снова будет последовательностью периодов 1(г). Таким образом, для любого е = 1, 2, . ! (го + Тч) = — ! (го). Но последовательность точек г„= г, -)- Т„сходится к го и в точках этой последовательности )(г) принимает одно и то же значение; по теореме единственности отсюда следует, что )(г) = — соп81, а это противоречит условиям теоремы.
Полную характеристику множества периодов дает следующая *) Область определенна периодической функции должна, следовательно, внесте с любой точкой а содержать и точку а+ т, 684 гл.тп. спгцнлльныа «епкции Те о р е м а 2 (А б ел ь). Мероморфная функция /(г) может иметь самое большее два линейно независимых периода. Иными словами, существуют два периода т и т' таких, что любой период Т функции /(г) имеет вид: Т=пт+ п'т', (2) где и и и' — целые числа.
Доказательство разобьем на две части: 1) Пусть на некоторой прямой Е, проходящей через начало, лежит хотя бы один период Т' функции /(г); покажем, что тогда множество всех периодов /(г), лежащих на Е, имеет вид: Т=пт (3) где и = О, -~1, -~2, ... и т — некоторое комплексное число. Действительно, на отрезке ОТ' прямой Ь по лемме может лежать лишь конечное число периодов /(г) (в противном случае на й существовала бы последовательность периодов, сходящаяся к конечной точке). Поэтому на ОТ" существует иапс' Т меньший по модулю период ь ! /(г). Обозначим этот пезпод )( л через т и покажем, что любой =;,т'- т / г~л период /(г), лежащий на 1., имеет вид (3). Предполагая — — — — противное, допустим, что иа Е существует период Т, лежащий между какими-либо двумя точками пт и (и + 1) г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
