М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 116
Текст из файла (страница 116)
(20) Деля обе части равенства на г, мы видим, что применение операции — к г У»(г) сводится к изменению индекса А на л г вг ), — 1. Последовательно применяя эту операцию, найдем: »» ( н )» (г Уь(гй=г "Ух-»(г). (21) формулы (18) и (20) переписываются в виде Ух(г) = — 'Ух(г) — Ух„, (г); У((г) =Ух ~ (г) — — Ух(г). (22) Вычитая из одного уравнения (22) другое, найдем рекуррентное соотношение, не содержащее производных: Ух ~ (г) + Ух+~ (г) = — Ух(г). 2» (23) Точно так же, складывая уравнения (22), найдем второе рвнур- рентное соотношение Ух ~(г) — Ут ю(г) =2Ух(г).
(24) Отметим еще, что из (22) при )1=0 получаем: Уо (г) = — Л (г). (25) 7) Цилиндрические функции порядка, равного целому числу с поло виной. Как показал Эйлер, эти функции выражаются через элементарные. В самом деле, по формуле (11), учитывая, что Г (Й + — ~ = „+, 3 1 (2» + 2)1 1' н (см.
2 / 4" + (» + 1)1 1)о (х 4 а) г 2л+2»-1 — „("~,~н=~'~ — „,, „„Я »=о ( 1) Ф ь+м-! ,ь»( И Г (» + Ь) ( 2 ) 5 5. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 95! 646 формулу (18) п. 89), получим сначала л ! ( — 1) 4"+ (л+ 1)! ('2')г У! (г) =У. л! (2л + 2) ! )! и '! 2 ! — ',.+ -г Г2 ъз ( — 1)о Г2 иг лЬ4 (2й+ 1)! ! ( — 1)" 4ой! (21 г+~~ Ы (2(!)! Г 5! (, 2! У ! (г)=~~)~~ г г=о ОР— ~~ — г и = ~У вЂ” соз г. (27) / 2 %з ( — !)" о / 2 та (2ь)! 1' о=о (19) и (21), найдем: л+ — Ил (2 !(2)л Затем, пользуясь соотношениями У ! (2) = ( — 1) ~)/Г ! 2 "+ у,() '2 г -л- (28) соо г (2 !(2) 2 У, (*) =1à — ~З! з!И(г — — )+ Ягсоз(г — — ) ~, У ! (2) = )/ — ~ Я!соз'(г + 2 ) 52 3!и'12 + — ) ~, (29) где Н 555 ( — 1) ~ (и + 2(!)1 ~4 (22)1 (, — 22) ! (2 )'" ' С вЂ” ".'1 ~5 ( — 1)О (и+ 22+ 1)1 Д (22+ !)! (и — 22 — 1)1(22)г~+' (30) ((а) означает целую часть положительного числа а, например, 17/21 = 3).
откуда и видно, что У ! (г) выражаются через элементарные 2 Фун ци' После простых преобразований эти формулы принимают внд; гл. чн, спвцихльныв егнкцин б46 8) Ор того н аль ность. По определению цилиндрическая функция у = Ух(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению хгХл (х) + хУл (х) + (х' — Лг) Ух (х) = О, (31) Положим х = оХ, где а — постоянная, и рассмотрим функцию у=Ух(ат)=у(Г). Имеем Ух(х)= — — „, Хх(х)= —,—, и, пода иг' а' Ыр ставляя это в (31), находим дифференциальное уравнение, которому удовлегворяет функция у=-Ух(а1); у' + — у +1аг — —,~у=О. м/ 132) РассмотРим тепеРь две фУнкции У, =Ух(а1) и У,=Ух(ог), где а и р — постоянные; по только что доказанному, они удовлетворяют уравнениям: Л' г г у1 Умиожим первое из этих уравнений на уь второе на у| н выч- тем из первого второе.
Если обозначить еще и =у',уг — у,у,', то, очевидно, и'=у,"у — у,у," и мы получим: и + и (рг аг)уу После умножения на 1 левая часть будет равна — (и1), пои йг этому, интегрируя по 1 от О до 1, получим: Г иг У, =(рг — аг) ~ у,ум*гХ( о Пусть теперь а и () будут различные корни уравнения Хл(х1) =О или уравнения Х' (хХ) =О. (34) (для сходимости интеграла прн нецелых Л мы должны предположить, что Л ) — 1; тогда подынтегральная функция Ух(а1)ХЛ(р1)1 при 1- О если и обращается в бесконечность, то порядка ниже первого). Подставляя вместо у, и уг их выражения через Ум будем иметь: (рг — а) )' Ул (а1) Хл ((11)1 г(1 = 1(аУл (а1) Хл (р1) — 1гХЛ (а1) Ух (()Х)).
(33) г $3, Ц»!ЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ оя Тогда правая часть (33) будет равной нулю, и мы получим: ~ У,(У) У„(8У) И~=О. (36) о Как будет доказано в п. 98, прн действительных Х каждое из уравнений (34) и (35) имеет бесчисленное множество действительных корней. Пусть а„а,, ..., а„, ... — система корней одного из этих уравнений, тогда на основании формулы (36) можно утверждать, что функции Ух(я~(), Ух(М), . * У»(я»(),...
образуют семейство, ортогональное с весом У на интервале (О, У) *). Этот факт указывает на аналогию между цилиндрическими функциями Ух(я1) (удовлетворяющими дифференциальному уравнению у + — у + (а — —,-) у =0) н тригонометрическими л' м функциями ейпяГ, сопя» (удовлетворяющнми уравнению у" +' '+я»у=О). Действительно, тригонометрические функции з(пйяг', соз йят.также образуют семейство, ортогональное на некотором интервале. В дальнейшем мы не раз будем отмечать эту аналогию.
9) Ряды по цилиндрическим функциям. Пусть яь яь ..., яы ...— положительные корни уравнения (34) или (35) и У(() — кусочно-гладкая на интервале (О, () функция, Предположим, что на этом интервале Щ представляется равномерно сходящимся рядом У(У) = Д с»У»(а»г).
(37) Так как по доказанному в 8) функции Ух(я»Г) образуют систему, ортогональную с весом У на интервале (О,!), то коэффициенты ряда (37) определяются по общей формуле (7) п. 9П 1 с» — — — ~ г~ у я у, (я»г) г туг, (38) »о где г(~~ — — ) У~»(а»г) г аг. о Вычислим последний интеграл. Для этого воспользуемся формулой (33), в которой предположим, что я» является одним из о) Прн неаьоых Х мы предполагаем А ) — П ГЛ. Чп, СПЕЦИАЛЪНЫЕ ФУНКЦИИ!И корней уравнения (34) или (35), а р непрерывно приближается к этому корню. Для случая уравнения (34) формула (ЗЗ) при- нимает вид: Ул(а»1) Ул(Р()1111 = а»ыл (а»!) ул (р!) р~ — а откуда видно, что при р- а» снова имеется неопределенность о вида —.
Раскрыв эту неопределенность по правилу Лопнталя, о' найдем: а»ыл (а»!) Ул (РО гУ» = ) У»л(а»1)1Ж = !цп,, = — У; (а»1). Е-~а» ()~ — а~» 2 По первой формуле (22), полагая в ней г = а»1, найдем Ул(а»1)= — Ул+! (а»1). и последняя формула перепишется в виде » ! 2 д» = —, У»+1(а»1).
» (39) Аналогично, для случая уравнения (35) будем иметь: рул (а»') ул (р!) // д» = — )пп и = — — Ул (а»1) Ул (а»1). ела Р~ — а~ 2 1Р = — ~1» — —., У) Ул (а»1). 2 А а»1У (40) Ряд (37), коэффициенты которого находятся по формулам (38), представляет собой обобщенный ряд Фурье; он называется также рядом Фурье — Бесселя. Доказывается, что он сходится к — [1(1 — О)+1(1+0)[ для любой кусочно-гладкой на интер! вале (0,1) функции.
96. Другие цилиндрические функции. 1) Функции Ханкел я. Рассмотрим снова дифференциальное уравнение цилиндрических функций с индексом А: г'1еа+ г1е'+ (г' — ~Р) 1е = 0 Но из дифференциального уравнения (31), полагая в нем х= а1,1 а 1 Л! и пользуясь формулой (35), находим Ул(а»1) = — ~1 — —.,~ Ул(а»1), .»1 ~ ' ' .следовательно, последнюю формулу можно переписать в виде а а цилиндеичгскив экнкцин (г — независимое переменное, га — искомая функция, Л вЂ” параметр; все величины предполагаются здесь комплексными).
Попытаемся найти решения уравнения (1) методом интегрального преобразования (см. п. 88), т. е. будем искать решение в виде (2) где Ф' — новая искомая функция, а функция К(г, ь) и контур С выбираются так, как будет указано нихсе. Подставляя (2) в уравнение (1), мы будем иметь (предполагается, что перестановка порядка дифференцирования и интегрирования законна): ~ ~ а' —, + з — + (г' — Л') К ~ У' (ь) сЦ = О.
с Пусть теперь К удовлетворяет дифференциальному уравнению г' — + г — + г'К + — = О, д'К дК д'К дг" дг д1' (3) тогда предыдущее соотношение принимает вид й д К + ЛзК1чка) дую=0. с д'К Интегрируя первый член —,Я7 (Ь) два раза по частям, мы преобразуем последнее уравнение к виду где о и Ь обозначают концы линии С. Отсюда видно, что если положить Нг — ее цс и выбрать путь интегрирования так, чтобы на его концах выражение йà — — К)к обращалось в нуль, то интеграл (2) бу- дК дь дет давать решение уравнения (1).
Легко проверить, что уравнение (3) будет удовлетворяться, если положить К =е" ыС, В качестве путей интегрирования выберем контуры С, и Сз рис. 199; так как на мнимой оси з!пь= и!п1т! = !зпть а на прямых ч. н+ !и имеем и!п Ь = — и!и 1г! = — 1 з)зт1, то на вертикальных частях С~ н Сз гл. чп. специлльнын оннкции !9а Отсюда видно, что если считать х = !хе е) О, то прн т)-ь+оо„ соответственно при т(-!.— оо, ~К) стремится к нулю со скоростью — еч — е '! ог( е ',соответственно — е ' . Нотогдаи Ю' —,=с+!%асов~.К, и КВ"= н: йе*гх!К стремятся к нулю при ~, приближающемся к концам С! и Сь нбо стремление к нулю К погашает возможный рост множителя при К.
Таким образом, мы получаем в правой полуплоскости гсе г ) 0 реу( -ус щения уравнения (!) О)!!(а) = ! ~ е! ы С !хС д~, с, еа (4) О(т! (а) = — ' „~ егг ыч с- ь( с(г, Рис. !99. н .! с, которые называются цилиндрическими функциями 3-го рода, или функциями Ханкеля'). 2) Связь цилиндрических фу н кций 1- и Эго рода. Если сложить обе формулы (4), то интеграл по мнимой полуоси сократится и, вспоминая интеграл Шлеффли (см. формулу (1О) предыдущего пункта), мы получим: О)>(е)+На!!(е) ~ е3зз!пС-гл4,ц 2у (а) и (П вЂ” контур рис.
198), Таким образом, для всех комплексных значений Х в правой полуплоскости Кег ) 0 бесселева функция равна О!„(а) + Н! (а) Для того чтобы найти выражение ханкелевых функций через бесселевы, найдем сначала связь между ханкелевыми функциями порядков, отличающихся лишь знаком. Имеем, например, 1г'! !!, (г) = — ) ег'ы" с+гл! с(Ь с, и вводя новую переменную интегрирования ш = — Ь+ н, отчего '! Нилнндрические функции 2-го рода будут введены ниже. Функции ггь' !(г) ввел в !902 г. Нильсен н назвал их в честь Ханкеля, па работе !. т которого (!869) основаны исследования, приведшие к этим фуг!кциям. Интегральные представления (4) получены А.
Зоммерфельдом (!896). З з. пилиндгическнв етнкцнн 661 контур С) перейдет в контур С), совпадающий с С), но прохо- димый в противоположном направлении, получаем: ,о г, с, Аналогично, вводя е) = — Ь вЂ” и, получим формулу для Н)и(2). Таким образом, Н")х(г)= е' Н),')(а), Н~'~~=е ' "Н~'(а). Теперь, если наряду с соотношением (5) рассмотреть формулу нн)х (е) + н)т)х (г) е~~~нх~) (е) + е ~~~н~и)(г) Х х(2)— 2 2 (мы воспользовались формулами (б)), то из этих двух формул найдем выражение ханкелевых функций через бесселевы 1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
