М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 114
Текст из файла (страница 114)
7) Экстремальное свойство многочленов Чеб ы ш е в а. Многочлены Чебышева являются многочленами, наименее отклоняющимися от нуля на интервале ( — 1, 1). Это означает, что максимум модуля Т,(х) достигает на интервале ( — 1, 1) наименьшего значения, которое только возможно для многочленов и-й степени со старшим коэффнцненгом, равным 1. Е 44 В самом деле, положим х = сов у и хо = сов — (й = О, 1, ..., и), тогда из формулы Т 4 (Х) ь ~ сов (и атосов Х) 5 (см. (11) п. 70) получаем: Соо йп ( 1) Ть (ХА) = оь 4 т. е.
в этих точках Т,(х) достигает своего максимального по модулю значения. Пусть Я„(х) будет многочлен и-й степени со старшим коэффициентом 1. Предположим, что Я„(х) отклоняется от нуля на интервале ( — 1, 1) не больше, чем Т„(х), тогда, очевидно, Т„(хо) )» )7„(хо), Т„(х,) ~ (17„(х,), Т„(хз)» )7„(Х2), ... Но отсюда следует, что разность К„~(х) = 14,(х) — Т„(х), которая является многочленом степени не выше и — 1, меняет знак на интервале ( — 1, 1) не менее п раз, т, е. имеет не 194 гл. иц.
спнцнлльныи омнкции 634 менее и корней. Это противоречие и показывает, что Т„(х) являются многочленами, наименее уклоняющимися от нуля. 8) Многочлены Якоби и гипергеометрический р я д. Дифференциальное уравнение г (г — 1) тв" + ( — у + (1+ а+ р) г) тв'+ а))в = 0 (25) называется гиягрггомгтричгским уравнением (Г а у се). Его решением является степенной ряд тв=р(а, 6, у; .г)=1+ —,, г+, гт+ ...
ар а (а+ 1) р (р+ 1) а(а+1) ... (а+о — 1)В(р+1) ° (6+и 1) я 1 (26) п)у (у+ 1) ° ° (у+ и 1) называемый гиигрггомгтричгским рядом в). При и = р = у = 1 он обращается в обычный геометрический ряд (геометрическую прогрессию со знаменателем г). Для того чтобы ряд (26) обращался н многочлен степени п, очевидно, нужно, чтобы а нли р было равяо — и.
Положим, например, () = — н и обозначим у — 1=), а+)) — у=9; полученный многочлен, умноженный на коэффициент С„, обозначим через (;)а'н1(г) =С„Р(Х+ )с+ и+ 1, — и, Х+ 1; г). Можно показать, что если ввести вместо г переменную х по формуле ! — к а=в 2 и положить С Г (А + я + 1) 1 Г (х+!) то Я(ми)(г) перейдет в многочлен Якоби Рх'"'(х). 9) Волновое уравнение и функции Чебышева— Э р м и та. Волновое уравнение для частицы в силовом поле (Ш р е д и н г е р) имеет следующий внд: — Ьф+(Š— 1/) ф= —, аэ дф (27) где тх — оператор Лапласа, ф — функция геометрических координат частицы и времени, Ь вЂ” постоянная Планка, т — масса ") Коэффициенты ряда (26) находятся обычным методом неопределенных коэффициентов. зи г. ОРтогонхльные многочлены частицы, Р— потенциал и Š— параметр.
Мы предположим, что гр зависит лишь от координаты х и )г = — х, что соответствует ь 2 случаю линейного осциллятора. Вводя две новые постоянные аг = пгй/йг, Л = 2тЕ/йг, нз которых первая задана, а вторая играет роль параметра вместо Е, мы переписываем уравнение (27) в виде иге — „,, +(Л вЂ” а'хг) ф=О, (28) Уравнение (28) сводится к уравнению для многочленов Чебы- шева — Эрмита.
Чтобы доказать зго, мы рассмотрим систему функций ф„(Г) = е-4ягН„(Г), (29) ортогональную с весом 1 на интервале ( — Оо, Оо) (4р„(1) называют функциями Чебышева — Эрмита). Подставляя Н„(/) = = е'~гф„(1) в дифференциальное уравнение для многочлеиов Чебышева — Эрмита, найдем после сокрашения на е'": 4Р„" (1) + (1 + 2п — 1г) ф„(Г) = О. (30) Это уравнение сводится к уравнению (28) простой заменой независимого переменного. В самом деле, положим 1=ах, где ив некоторая постоянная, и ф (ах) = ф(х), откуда ф" (х) = агф'„'(1) (производная берется по аргументу, который стоит в скобках), Подставляя это в уравнение (30), мы приведем его к виду ф (х)+((1 1 2 )аг, 4хг) ф(.) Сравнивая полученное уравнение с (28), мы видим, что если принять а = )/а, то при Л=Л„=(1+ 2п)а (31) оно будет совпадать с уравнением (28).
Таким Образом, если параметр Л уравнения (28) удовлетворяет услпвию (31), то решением зтого уравнения служит функция ф = ф„(),га х) = е-ампН (1/'а х) (32) где ̈́— многочлен и ф„— функция Чебышева — Эрмита. 10) Функции Чебышева — Эрм ига и параболические е коор дин а ты. Рассмотрим двумерное волновое уравнение вида (33) где 1гг — некоторая постоянная. Перейдем здесь к новым независимым переменным ~, г), полагая 4,= $+ 441 и х=х+4У=/К), 'азб гл.
чн. спсцихльныа етнкции )м где ((Ь) — аналитическая функция. Непосредственным применением правила дифференцирования сложных функций и уравнений Коши — Римана найдем: следовательно, уравнение (33) в новых переменных примет внд: — „", + — "т + )22) Г (Ь) )2 и = О. от ()чт (34) Положим, в частности, ) (ь) = — ьт, тогда 2 2 2 х = — (52 — т)'), и = $2) и координатными линиями 3 =сопз1, т) =сопз1 в плоскости г = х+(у будут служить параболы, поэтому координаты в и т) называются параболическими.
Уравпенне (34) для параболических координат имеет вид: — + +)2262+Чт) и=О. Будем искать его решение методом разделения переменных, полагая и = ()(2) )2(т)). Тогда последнее уравнение примет (после простых преобразований) вид: ЦФ ( кФ ( (1) + ) 2~2 ) (ч) )222)2 (35) и так как слева стоит функция одного только $, а справа — одного т), то обе части равны одной и той же постоянной, которую мы обозначим — ()2. Вместо одного уравнения (35) мы получаем два 0" (Ц) + (ртИ2+ бт) У($) = О, Ри (т)) + ()ттт~т — ()2) )г (т)) = О.
Оба этих дифференциальных уравнения сводятся к уравнению (30) для функций Чебышева — Эрмита, если перейти в них к новых| независимым переменным1= )~гт)2 $, т=2' 'у'т)2 т) и положить р=р„='г'(2п+1)цт (ср. (8) этого пункта). Таким образом, мы получаем бесчисленное множество решений волнового уравнения (33) в виде и = и„= А„тр„Я ту, К) тр„(с' ~ т)т т)), где тр, — функции Чебышева — Зрмита и А„— постоянные. Построенные решения позволяют решать, например„задачи дифракции для параболического цилиндра.
$ К ЦИЛИИДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ езт 3 3. Цилиндрические функции Цилиндрические, или, как их обь1чпо называют, бесселевы функции, играют особо важную роль в приложениях, главным образом в задачах, связанных с круглыми или цилиндрическими телами. Это объясняется тем, что решение уравнений математической физики, содержащих оператор Лапласа в цилиндрических координатах, классическим методом разделения переменных (см. п. 99, примеры 6 — 8) приводит к уравнению е'у еу кз — ", + х —" + (х' — хе) у = О, (1) служащему для определения цилиндрических функций.
Цилиндрическая функция Хь(х) была впервые рассмотрена Даниилом Б е р н у л л и в работе, посвяшенной колебанию тяжелых цепей (Петербург, 1732 г.). Д. Бернулли пришел к частному случаю уравнения (1) для ). = О и, решая его, нашел выражение Хь(х) в виде степенного ряда; кроме того, он заметил без доказательства, что уравнение Хь(х) = О имеет бесчисленное множество действительных корней (см.
п. 99, пример 6). Следуюшей работой, в которой встречаются цилиндрические функции, была работа Леонарда Эйлер а (Петербург, 1738 г.). В этой работе Л. Эйлер, рассматривая задачу о колебаниях круглой мембраны, пришел к уравнению (1) с целыми значениями Х = п (см. п. 99, пример 7). Реп1ая это уравнение, он нашел для целых п выражение Х„(х) в виде ряда по степеням х, а в последуюших работах распространил это выражение на случай произвольных значений индекса Х. Кроме того, Л. Эйлер доказал, что для 1., равного целому числу с половиной, функции Х1(х) выражаются через элементарные (см. п. 95), заметим без доказательства, что при действительном 3 функции Хх(х) имеют бесчисленное множество действительных нулей (см. п.98) и дал интегральное представление для Хх(х).
Наконец, для случаев 3 = О и 3 =! Эйлер в работе 1769 г. дал выражение в виде ряда второго решения уравнения (1), ли!1ейно независимого от Хх(х) (см. (4) п. 96). Такам образом, Л. Эйлер получил основные результаты, связанные с иилиндрическими функииями и ик приложениями к математической физике. Немецкий астроном Ф. Бессель, с именем которого обычно связывают цилиндрические функции, в работе !824 г., в связи с изучением движения планет вокруг солнца, дал рекуррентные соотношения для функций Хх(х), которые, несмотря на всю их важность, все же носят элементарный характер (п. 95), получил для целых п новое интегральное представление Х„(х) (см. выше п.
70), доказал наличие бесчисленного множества нулей Хь(х) и составил первые таблицы для Хь(х), Х,(х) и Хз(х). !95 638 гл. чп. спьциальныв оункции 95. Цилиндрические функции первого рода. 1) И н те г р а л ьные предста влепи я Н. Я. Сонина. Рассмотрим дифференциальное уравнение цилиндрических функций (Яхм + гх'+ (га — Ла) х = О, где ! — независимое переменное, х — искомая функция и Л вЂ” параметр, индекс уравнения (!), который для простоты мы будем считать действительным числом.
Будем решать это уравнение операционным методом, так, как это указано в и. 84. Если обозначить через Х(р) изображение искомой функции, то по теоремам о дифференцировании оригиналов и изобрагкений П1 н 1Лг и. 80 будем иметь: !еха =.' (р'Х вЂ” рха — х,)" = р'Х" + 4рХ'+ 2рХ, 1х' =. — (рХ вЂ” х,)' = — рХ' — Х, !ех =.' Х", где хе — — х(0), х, = х'(0) — начальные данные'). Таким образом, операторное уравнение, соответствующее уравнению (1), имеет вид: (ре+ 1)Х-+8рХ ! (1 — Ле)Х=О.
(2) Для решения этого уравнения произведем замену независимого переменного и искомой функции, положив р=з)!д, Х(р)= — „У(д). Тогда будем иметь: Х = —: — = —, У вЂ” —,У, Х'= оХ, ор 1, аьч од ' с(д сь'о сь'о — с(Х' .-иод ! и енч Заь'д — снеч —: — = — У" — 3 — У'+ У и, подставляя лд ' с!д сэзд снчо сп' О это в (2), придем к простому уравнению У" — ЛаУ = О. Возвращаясь от частного решения У = с-ач этого уравнения к старым переменным р и Х, получим частное решение уравнения (2): -Ьасеир— ! Функция )тра+1,допускает выделение однозначных ветвей в плоскости р = з + )о с выброшенными лучами и = О, ~ о~ ~ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
