М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Для рассмотренного выше примера системы ф„(х) = е'""" (и= О, ~1, ~2, ...) ряд (6) совпадает с обычным рядом Фурье, записанным в комплексной форме, ГЛ. УП. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКШН! !91 608 так как система (ф„(х)) — линейно независима, то она не может содержать функций, тождественно равных О *), следовательно, )~фо11 ~ О. Выберем теперь постоянную так, чтобы функция ф (х) ф (х) а фоо(х) была ортогональной к фо; имеем (ф„фо) =(!р„ф') — ащ, следовательно, достаточно взять а!9=(фп фо).
Функция ф!(х) не может тождественно равняться нулю, ибо тогда ф! (х) линейно выражалась бы через фо(х), что противоречит условиям теоремы. Следовательно, в качестве фо1(х) мы можем принять фо(х) = ф, (х). После этого берем функцию фо(х) = ф (х) — а ф(х) — ам!ро(х) и подбираем постоянные а,о и а„так, чтобы фз была ортогональной ф,' н ф',. так как (фв ф",) =(ф„ф',) — ам и (фе, фо!)=(ф„ф1) — а„, то для этого достаточно выбрать ав,=(ф„ф~), а,, =(ф,, ф'!). Функция ф,(х) не может оказаться тождественно равной нулю, ибо тогда фе(х) оказалась бы линейной комбинацией ф, и ф„ следовательно, можно взять На!не построение можно продолжать неограниченно, Если функ- ции ф,"(х), ф',(х), ..., ф"„!(х) уже построены, мы берем и — 1 ф, (х) = !р (х) — ~е а ф'„(х), где а„=(ф„, ф'), и затем фо (х) = ! т(тв(х), Система (т)!св(х)) и есть искомаЯ.
3 а не ч а н не 1. Из нашего построения видно, что не только все ф,',(х) являются линейными комбинациями ф„ф„..., ф„, но и, наоборот, ф„(х) являются линейными комбинациями фос, фо1, ..., ф с Отсюда следует, что любая функция фл(х) ортогональна всем функциям ~" „т)!99 „, ... Пли, иначе, что любая функт1цл ф4„'(х) оргогона !Ьна ф,(х), !р, (х), ..., !р,, (х). *) Фуиииия !р (х) = — О всегда выражается линейно через дру! Уее <р(х) = О ф(х). еи » а ОРТОгонАлъные мнОГОчлены 609 3 а м е ч а н и е 2. В некотором смысле имеет место единственность ортогональной системы: если функция чр(х) является линейной комбинацией р„фь ..., ~рл и ортогональна ..., ф„н то она может отличаться от фь(х) только постоянным множителем.
В самом деле, пусть л л фь (х) =,н ар (х), чр (х) = ~г рл~р (х) (9) (здесь согласно предыдущему а, ~ 0). Рассмотрим функцию Ч" (х) = чг(А) — Рл фл(х); она, очевидно, линейно выражается через функции (ибо разложение ее по рь уже не содержит Ч~„,) и ортогональна всем этим функциям. Но отсюда вытекает, что Чг(х) = — О, т.
е. что ф(х) = —" ф„'(х). В заключение укажем обобщение понятия ортогональности, которым мы будем пользоваться ниже (мы ограничиваемся случаем действительных функций). Система функций (~р„(х)) называется ортогональной с весом р(х) на интервале (а, Ь), если для любых двух функций системы ь ~ <р (х) ~рл (х) р (х) йх = 0 (~п ~ и). (10) л Здесь р(х) — «вес» — фиксированная неотрицательная функция, непрерывная на интервале (а, Ь).
При р(х) = — ! мы получаем обычную ортогональность. Теорема об ортогоналнзации легко обобщается на случай ортогональности с весом. Очевидно, для того, чтобы ортогоналнзировать с весом р(х) систему функций (~р„(х)), достаточно ортогонализировать в обычном смысле систему функций (ртр(х) ~р„(х)). При этом функции, получающиеся в результате ортогонализации, будут представлять собой произведения )тр(х) на линейные комбинации функций ~рл(х). Система таких линейных комбинаций л чрь(х) = ,н а,р (х) »=о " окажется ортогональной с весом р(х).
Пусть некоторая функция )(х) разложена в равномерно сходящийся ряд Ю )(х) = ~л с„~р„ (х) (12) л=ь ГЛ. нп. спЕЦНАЛЬНЫЕ ФУИКЦНИ 199 б!О по функциям ортогональной с весом р(х) системы (Чт„(х)). Для определения коэффициентов такого разложения мы будем иметь вместо (7) формулу Обеавачевие Вес Автор Интервал р„ (х) Лежандр Чебышев ( — 1, 1) ( — 1, 1) (1 — х)х (1 + х)" А, р > — 1 е «2 ххе-х 7„> 1 1„(х) р!м сп (.) Ьн (х) 1!х! (х) Якоби Чебышев — Эрмит Чебышев — Лагерр ( — 1, 1) ( — ее, ее) (О, со) ') Многочлеиы р„(х) были введены в 1785 г. Лежандром; многочлены 1 (х), 6 (х) п 1 (х) = 19 (х) — П.
Л. Чебышевым в 1859 г. (в работе «Во. просы о наименьших величинах, связанных с приближеаным представлением функций», опубликованной в мемуарах Петербургской академии наук), кроме того, многочлены А (х) изучал Эрмит в работе 1864 г., а 1л(х) — Лагерр в работе 1879 г. Многочлены Лежандра и Чебышева являются частным случаен многочленов Якоби (1859 г,) — первые при 19 = р = О, вторые при А=и= — !/2, Ь с„= —, ~ 1 (х) ср„(х) р (х) с(х, (13) в о где ас„— «взвешенная норма» функции ср„(х)! )г ь ас„= )тг ) !р'„'(х)р(х)ггх. (14) а Для вывода формулы (13) достаточно умножить разложение (12) на ср„(х)р(х)„затем почленно проинтегрировать его н воспользоваться ортогональностью с весом системы (ср„(х)).
92. Ортогональные многочлены. Выберем некоторый интервал (а, Ь) и применим описанный в предыдущем пункте процесс ортогонализацни с весом р(х) к системе степеней х: «р„(х)=х' (и=О, 1, 2, ...), которая, как известно, линейно независима. В результате для каждого фиксированного интервала (а, Ь) и фиксированного веса р(х) мы получим вполне определенную систему многочленов (с)е(х)), нормированную и ортогональную на (а, Ь) с весом р(х).
Из формулы (1!) следует, что каждый многочлен с)о„(х) имеет степень а. Наиболее употребительными являются следующие системы ортогональных многочленов *); 92] 5 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ б!1 Отметим некоторые свойства ортогональных систем много- членов. Через уь„(х) мы будем обозначать многочлены, принад. лежащие произвольной, по фиксированной ортогональной и н о р м и р о в а н н о й системе, через Сга(х) — многочлены, отличающиеся от чь (х) произвольным постоянным множителем Я„(х) = с]„дь„(х), где Ыа — взвешенная норма Я,(х). Выражение «произвольный многочлен» будет означать многочлен с произвольными коэффициентами, вообще не принадлежащий рассматриваемой системе. Из замечания 1 предыдущего пункта непосредственно вытекают следующие теоремы; Т е о р е м а 1.
Лроизвольный многочлен степени п может быть представлен как линейная комбинация многочленов 1']9(х), ],]](х), ..., Я„(х). Теорема 2. Многочлен Я„(х) ортогонален с весом р(х) произвольному многочлену степени ниже и. Имеет место также следующий общий факт: Теорем а 3. Многочлен ],]„(х) на интервале (а, Ь) имеет в точности и различных корней. Для доказательства рассмотрим интеграл ) Я„(х) р(х) а]к=Π— он равен О, ибо Я,(х) по теореме 2 ортогонален с весом р(х) многочлену нулевой степени хь = 1, Так как по принятому выше условию вес р(х) — неотрицательная функция, то из ра- венства (1) вытекает, что Я„(х) не может сохранять на всем интервале (а, Ь) постоянный знак.
Пусть 1;]„(х) на интервале (а, Ь) меняет знак т ) 1 раз в точках хь х2... х»Р рассмотрим многочлен степени п], )г (х) =(х — х,)(х — х2) ... (х — х„); очевидно, произведение ]',]а(х)1(~(х) должно сохранять на (а, Ь) постоянный знак, следовательно, ь ( ]г„(х) )г„(х) р(х) Ых Ф О. а (2) С другой стороны, если п] ( и, то по теореме 2 многочлен 2,]„(х) должен быть ортогональным с весом р многочлеиу )с (х) и интеграл (2) должен равняться О. Отсюда следует, что т = и и теорема доказана. 6!2 Гл. Еи, специзлы!ые Фю1кции (99 л+! хдо(х)= „~~ с„,доо(х). (3) По формуле (13) предыдущего пункта для коэффициентов этого разложения имеем: сп„= ~ хдо„(х),у' (х) р (х) г(х.
и (4) Но если й(л — 1, то хлоп(х) — многочлен степени ниже л и по теореме 2 тогда с,л = О. Таким образом, в соотношении (3) могут быть отличными от О только три последних коэффициента Сп,п-п Сп, и И Сп, лип Обозначим через ао„„= ао коэффициент при старшей степени х в выражении д'„(х). Сравнение в тождестве (3) коэффициентов при хп+' дает а'„'= со и+,а„'+и откуда О ап Сл,лЛ!= О ап+ ~ НО ИЗ фОрМуЛЫ (4) ВИДНО, ЧтО Спо = гоп дЛя ЛЮбЫХ а Н 1г, СЛЕ- аоп довательно, с„, „, = сп, „= "„, и мы получаем искомую а рекуррентную формулу о о хдо„(х) = — „" дол+, (х) + с„„до (х) + — "„д'„, (х). (5) л+! л Коэффициент сап легко выРазить чеРез коэффициенты Ьо пРи хп в выражении д~(х) — сравнивая в (5) коэффициенты при х", о о ал о о ПОЛУЧИМ Ь» О Ьп+! + Сппвпр ОтиуДа ал+ ~ о о з„ з„+, Сап= о о (б) ало ао+ Для произвольной системы ортогональных многочленов можно получить и рекуррентную формулу, связывающую три последовательных многочлена Яп ь Я„и Я„ль Предположим сначала, что система нормирована.
По теореме ! произведение хф(х), которое является многочленом степени и+1, может быть представлено как линейная комбинация до, сопи ..., с„" э 2. ОРТОГОНЛЛЪНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 6!3 Чтобы перейти к случаю произвольной ортогональной си- стемы многочленов Я„(х)), не обязательно нормированной, достаточно заметить, что а о; а„= Ааа„, Ь„= й„бч', где йа — взвешенная норма многочлена Я,(х). Пользуясь этими выражениями после простых преобразований формул (5) и (б), получим следующую теорему: Т е о р е м а 4, Любые три последовательных многочлгна ортогональной системы связаны рекуррентнь<м соотношением хЯ„(х) = —" (',)ч+ ! (х) + ( —" — "'~') Я„(х) + — "' ~ — „" ) Я„! (х). (7) Таким образом, зная коэффициенты а„и Ь„при двух старших степенях Я,(х), мы сможем последовательно определять эти многочлены.
Подсчет коэффициентов для конкретных систем мы проведем в п. 93, где и получим окончателы2ые соотношения. Для получения дальнейших свойств ортогональных много- членов мы предположим, что вес р(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению р' ма+ а,х а (х) р Ьа + Р1х + бах' ()(х) ' где (1(х) имеет своими корнями концы а и Ь интервала, на котором оргогональна (с весом) рассматриваемая система многочлгнов, и условиям на концах интервала. р(х) 8(х) !.. ь=О. (9) Заметим, что этим условиям удовлетворяют все перечисленные выше, специальные классы ортогональных миогочленове).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
