М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 106
Текст из файла (страница 106)
сноску на стр. 578 — 579. $2. ПРИЛОЖЕНИЯ о точке р = О, умноженному на Л1, т. е. равно пг, и мы получим: > р'а где интеграл понимается в смысле главного значения. Подставляя ( — ) г а ра>п— г =е =сон(о>п — ~+> з>о~о>п — ~ и г/ г> пользуясь четностью и нечет- функций, найдем окончательно: мастью соответствуюгдих подынтегральных ив ив Г .
! а 1 сь впр в>о и = — + — ~ 21п '(о 1и — ! — —, 2 и,) >> г г' с»аа а о (21) 3) Преобразование Ханкеля. По аналогии с (1) можно написать двумерное преобразование Фурье Перейдем здесь к полярным координатам, положив х=гсоз ф, ,у = г з(п ф и о = р соз О, т = р з(п 0; будем иметь: а>р, в»= — ° р.) г>, в>.-п - — рв ~ 1 Г о о а(г, ф)= — ~ р>(р ~ а(р.
0)е>го-' о>с(0. Г 2п,) о о (22> Положим, в частности, д(г, ф)=е->под(г), где л — целое число, и заменим в первой формуле (22) ф — 0= — +й пользуясь известным свойством интеграла от периодической функции, получим тогда: в 2п сг(р 0) з '"к +'г' ~ й(г)г,(г ~ аг>гав>пг-аг>г(1 Р 2„ о о вв 2л 3 1 1 Д(х, Д)=2 й (Х, у) Е >>ах+та> ОР>С (р ав сг (,у т) е>(ах+та> Дг г>т ГЛ. НЬ ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ !ав 552 По формуле (15) п.
70 внутренний интеграл равен 2ПХ„(гр), где Մ— цилиндрическая функция первого рода порядка и. ы (в+ — ") Поэтому, полагая 0(р, 8) е ' '~ = 6„(р), мы можем переписать последнюю формулу в виде 6„(р) = ) а (г) 1„(гр) г агг. о (28) В новых обозначениях вторая формула (22) принимает вид зи у(г)= — '~ 0 (р)рдр~ е'~"(' ' з1'"'"'" ")д8 после подстановки 8 — ~р = ! — — внутренний интеграл снова 2 приводится к формуле (15) и.
70, н мы получаем: ч а (г) = ~ 0„(р) 1„(гр) р г(р. о (24) д' (г) =.' ~ — „1„(гр) г г(г = гд (г) 1„(гр) ~ — ~ д (г) — (гУ„(гр)] г(г о о (мы воспользовались формулой интегрирования по частям). Предполагая, что внеинтегральный член равен 0 и пользуясь формулой (22) и. 95, по которой 1',(гр) =1„, (гр) — —.1„(гр), мы *) Для применимости формул обращения Ханкеля достаточно, например, чтобы функция д(г) была кусочно-непрерывной и имела ограниченное изменение на всяком конечном отрезке полуоси г ) 0 и чтобы натеграл Ю е (г) )гг ог абсолютно сходился (см., например, В а т с о н 17) из литерао туры к гл. тг!!, стр.
502 — 5!О). Формулы (23) и (24) называются формулами обраи(ения Ханкеля порядка и (или иначе — формулами Фурье — Бесселя) ). Выясним вид формул для изображения производных при рассматриваемых преобразованиях. По определению преобразования Ханкеля порядка п з а пРилОжения найдем: и — (гУ„(гр)! = У„(гр) + ргУ„'(гр) = — (и — 1) У„(гр) + ргУ„, (гр) ОО д'(г) =.'(и — 1) ~ д(г) У„(гр) дг — р ~ д(г) У„~ (гр) г с(г. о о Интеграл во втором члене равен изображению Ханкеля порядка и — 1 функции д(г), которое мы обозначим б„,(р).
Интеграл в первом члене равен изображению порядка и функции хг(г)/г, но нам удобнее выразить его через изображения самой функции. Для этого воспользуемся рекуррентной формулой (23) и. 95, по которой — ", = Р (У„,(гр)+ У„+,(гр)), н найдем окончательную формулу й" (г) =.' — р ~" — +,„' С'. (и) — — ",„' О.+1(р)1 (25) Полученная формула достаточно сложна; еще более сложный нид имеют формулы для изображения д" (г) и старших производных.
Не выписывая этих формул, найдем изображение некоторой комбинации функций д, д' и а". Предполагая, что гд'(г)У„(гр) (, =О, интегрируя по частям, получим; М вЂ” „, У„(гр)г дг = — ) — „— (гУ„(гр)1й, и йд нд и о о следовательно, ОО 12,'й. (яг" + г яг) а = — р ~! — гУ;(гр) дг = р ~! д(г) — „(гУ,'(грийг о 0 (мы еще раз проинтегрировали по частям и воспользовались тем, что гд(г) У„' (гр) ~, =0).
Но согласно уравнению (1) и. 95, которому удовлетворяет функция У„(гр), имеем: р — „", (гУ;(гр)) = — (р — —,",') У. (гр). следовательно, последнюю формулу можно переписать в виде — + — — „— —, хг ! У„(тр) т г(г = — р ) и (г) У„(тр) г. с(т. "). 7 дтя 1 де из а о о Таким образом, если гя'(г) У„(тр) (, = гд(г) У„' (г р) (," = О, то дм (г ) + — д' (г) — —, д (т) =.' — рост„(р). (2бг В частности, для преобразования Ханкеля нулевого порядка имеем: ьм (.)+ Ег(г) ° ртт*( ) (27) где а(р) = ао(р).
(28) Комбинация производных, участвующая в левой части формулы (27), встречается а выражении оператора Лапласа в цилиндрических или полярных координатах. Поэтотлу преобразование Ханкеля и применяется главным образом в задачах, содержащих такое выражение. В качестве примера рассмотрим классическую задачу о потенциале поля, созданного наэлектризованным плоским диском (Вебер). Задача сводится к интегрировавию уравнения Лапласа дти ! ди д'и — + — — + — =О, дт" т дт дк' где а — координата вдоль оси, перпендикулярной дисиу, при граничных условиях и) о — — ио для 0~(т(1, 1 ди ~ — =0 при т) ! да Ь=о (30) (и, — постоянная, второе условие выражает симметршо поля плоскости а = О). Воспользуемся преобразованием Ханксля тлевого порядка.
уравнение на основании формулы (27) записывается в виде относите.тьчо Операторное дЧ7 — рт(7+ — = О, дат где (7 — иэображение функция и, а его общее рещение — в виде (Г = А (р) е о« + В (р) еоа. В силу сямметрия достаточно рассмотреть поле при и ) 0; так кач чри а — ~ +со потенциал должен стремиться к нул!о, то В = 0 и по формуле ба( ГЛ. Ч!. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ !аз.
4 з. понложгния 38] обращения Ханкеля (24) и (г, а) = ) А (р) е 1 Уо (гр) р Нр. о Граничные условия записываются в виде А(р)/о(гр) рс(р =ио лля 0(г(1, о Л (р) Уо(гр) роп1р = 0 для г>1. о Сравнивая их с нзвестшами соотношениями*) 51п9 и го (гр) — с(р= — лля 0<г<1, 2 о Хо (гР) Мп Р о(Р = 0 дла г> 1 мы видим, что обоим этим условиям удовлетворяет функция 2ио 81п р Л (р) = — —. я р Учитывая единственность решения задачи (она ясна из физических сообра- окепий), мь1 получаем окончательно: и (г, а) = — ) е а'Уо(гР) — 1(Р. 2ио ( ре 81п р н р о 4) Обращение одного контурного интеграла. З заключение приведем пример формулы обращения несколько иного типа. Такого рода формулы применяются при решении дифференциальных уравнений посредством контурных интегралов. Пусть функция д(г) аналитична в односвязной области О, содержащей начало координат, и )( ) 1 ~ 1'~л(0~К (32) с где С вЂ” граница области а), М вЂ” положительное число и 1.Н и — однозначная в области 0 с разрезом вдоль пути у, (ь — а) ') См.
формулы (9) и (!О) и. 99. 586 Гл. Е!, ОпеРАционныи метод и его пРилОжения яа соединяюшего точки 0 и г, ветвь аналитической функции. Тогда л(г) вполне определяется формулой ! а(г) =) (1 — Ь)" '1'(гЬ) (Ь. О (33) Так как интеграл в й-и члене формулы (34) равен этому вычету, умноженному на — 2Ы, то в разложении ((г) = ~ Ь„гь мы имеем; Г (А! + А + ! ) ЬА+! = Г(А+э)г(А! сь (а=О, 1, 2....). (35) С другой стороны, интеграл в правой части формулы (33) равен Ю 1 )~~(я+1)Ь„+,г ~ Ь (1 — Ь) (Ь= А=:3 0 1 Ь г , г(А+ Ог(А!) ~~ Ь г(А+э)г(АО (~+')ЬА+!г г(А!+А+О ~ЬА+' г(А!+А+О г'= А=О А=О = ~~~~ сьгь =у(г) (для вычисления интеграла — так называемой бета-функции Эйлера — мы воспользовались формулон (2) п. 90 и по формуле (35) заменили ЬА+~ через сА).
Таким образом, формула (33) доказана, в принятом выше дополнительном предположении. Чтобы доказать ее для всех г из области 1), достаточно воспользоваться аналитическим продолжением. Для доказательства предположим сначала, что точка г при- О надлежит кругу сходимости разложения Тейлора л(г) = ~ сьг", ь=а и деформируем контур С в контур с, также принадлежашии этому кругу и охватываюший разрез у. Подставляя это разложение в формулу (32) и интегрируя его почленно, мы найдем: ~(.) =~ — ", ~,',""",,'.
А=Я С Вычет подынтегральной функции в точке ь = Оо находится из разложения функции ьА~1 ††) и равен й) ч(А(+ В ... (и+А) ~,+! г(А+а+!),„+, (А + !)! Г (» + 2) Г (А!) ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ У! 587 Формулы обращения (32) — (33) были получены Макки «) и использованы им для решения уравнения Эйлера — Пуассона, которое находит важные применения в газовой динамике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
