М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Из (27) имеем; р' + — р + — (1 — сй у) = О, 2 !. ЕС (29) и формула (28) пронимает вид С с)г (л — й) у а о ьйу йлу !сл Знаменатель здесь обращается в нуль в точках у»= — (»=О, 1, л). л которым по формуле (29) соответствугот полюсы первого порядка р=-О, р= — — (»=0), р= — а ш!ы (»=1, 2, ..., л), Е аде и = —,, ы» = 1! — ! 1 — соь — ! — —. Оригинал ! (!) найдем по а теореме разложения. Для этого сначала, пользуясь формулой (29), вычисляем: ВС! В' = — (ьц у ьй лу) = (с!а у ь(т лу + л с)г лу) ~ ЕСр +:) .
гтр 2 )' ') Вводя разности Л! = 1, ! и Лз! =Л! ! — ЛЕ, мы можем переписать уравнение (25) в виде Л'21, — 2'! =О. Это уравнение относится ь-г а к классу линейных уравнений в конечных разностях (с постоянными коэфф.гциентамн). Решение таких уравнений во многом авалогичпо решению соответствующих дифференциальных уравнений. Сведения об ураиненних в конечных разностях читатель люжет найти в кинге й. О.
Гельфонда «Исчисление конечных разностей» (Гостехиздат, 1952). '!оки в соседних секциях (кроме первой и последней) связываются, таким образом, уравнением в конечных разностях ') (22+2) 7„— 7(1„, + 7,,)=0. (25) Решеине уравнения (25) можно искать формально так же, как решение соответствующего дифференциа.чьного уравнения, в виде 7, = Ае"ь + Ве (26) тле А н  — произвольные постоянные, а у подбирается надлежащим образом, Подставляя (26) в (25), получим уравнение для у: 25+ 2' — 22 ей с = О, откуда сйу=!+ —. 2' 22 ' (27) Переходя здесь к пределу при у -ь уз = О и соответственно при р -ь О, — —, найдем В ш лйС.
Аналогично нри у-ну„!и в р-ь — о„ш !а„ 1. ' найдем В» — — ш 2! (-1)" »ЕСа„, а при у-ну (т 1, 2, ..., л — !) В ш 1(-!)ч лЕСвч. Тогда теорема разложения даст ток в й-й секции фильтра! и! и, и. -Е ( 1)ь(), (!) — — — е + е з(п в»! + ь л)( лр »Ев„ »-! и! чвт я!и в"! ати (30) Ъ вЂ” ! Первый член здесь дает установившийся режим и равен напряжению, деленному на полное омическое»сопротивление, остальные члены дают переход)( ныв ток. Затухание осциллируюших членов одинаково, при малых — ча- 2Е стбты 2 йл аа — э!и —. 'г ЕС 2» 2 Максимальная частота в» ! разница между частотамн уменьшается 1/'ЕС ' при увеличении л, т. е.
фильтр хорошо настраивается в резонанс для целой полосы частот. Его называют поэтому лолосным фильтром. 8) Фильтр с бесконечным числом элементов более прост для исследования. Уравнение (27) останется в этом случае без изменения, а в формуле (23) следует перейти к пределу при л -! со Е!э 1 2 эну (31) (мы счнтаем )(е у > 0). Заменяя здесь 2 эй у = 2 )7с(!з у — ! и ет 'г' с)!' у — ! + сй у, по формуле (27) получаем; 1 ( ! + ) У~ ~ 1 + ) 1 1 а чг,нй ./1 г У '+22 (32) В качестве примера рассмотрим бесконечный фильтр нз емкостей и сопро- 1 тивленнй (а —, 2' )2), включенный на постоинную э. д ц Е!ь ФорСр' м ла 32 ает: у ()д 22», ! .3.ь — ! лт 2РАт) ЛЛа )! рз + 2рЛ 2 где Л вЂ”.
По формуле (3!) таблицы находим оригинал )(С ' )а (!) * — е е г1 (Л!), 1„(В) где 1а (!) — — пдлиндрическав функция порядка й мнимого аргуте мента (см. п, 96). 356 ГЛ. У!. ОПЕРАЦИОННЫИ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ !за ае! пвнложкния 86. Уравнения с частными производными. Операционный метод успешно применяется к решению так называемых нгстационарных задач для уравнений математической физики. Для прас.
таты мы ограничимся случаем, когда искомая функция и зависит от двух независимых переменных х и Е, из которых первую мы будем трактовать как пространственную координату, а вторую как время. Кроме того, мы предположим, что дифференциальное уравнение имеет вид Е. 1и) = а —., + Ь вЂ” + си + а, —, + Ь, — = О, (1) д'и ди д'и ди и(х, 0)=ф(х),,' =ф(х) (2) (второг задается лишь в гиперболическом случае) и краевым условиял~ и(0, Е)=1(Е) дх + р дг — — уи(Е, Е), (3) гдг сс, (1 и у — постоянные *). Нестационарность задачи выражается в том, что рассматривается решение, существенно зависящее от начальных условий («неустановившийся», «переходный» режим физического процесса).
ди д'и Предположим, что и, — х и —,, рассматриваемые как функции Е, являются оригиналами, н обозначим через ЕЕ(р, х)= ) и(х, Е)г-Ргг(Е о изображение функции и. В сняу наших предположений тогда «« « ди, г ди г дЕЕ д'и . Г д'и И«ЕI — И )' — е-пгдЕ= — =' ) г-аггЕЕ— дх' Е дх Их ' дхт' Е дх«дх« о о «) Краевые условяя когут несколько вядояавевяться. Крове того, часто встречается случатч когда Е = со, тогда второе краевое условяе отпадает. где а, Ь, с, а, н Ь| — непрерывные функции от одного х, заданные в интервале 0 ( х ( Е. Мы будем всегда считать, что а ) 0 и рассматривать два основных случая: 1) а| (0 — гиперболический случай и 2) а~ — О, Ь, (0 — параболический случай.
Нестационарная задача в нашем случае формулируется следующим образом, Найти решение и(х, Е) дифференциального уравнения (1) для 0 ( х ( Е и Е ) О, удовлетворяющее заданньыг начальным условиям 668 гл. чь опврлционныи мнтод и вго приложения )зп (дифферен ци рование (/ по х мы обозначим с помощью символа й, а не д, ибо всюду в дальнейшем р будет рассматриваться лишь ка к параметр) .
По правилу дифференцирования ориги налов получаем также: — =.' р(/ — и (х, 0), —, =.' рЧ/ — и (х, О) р— ди дев дп (х, О) д/ ды ' д/ или, учитывая начальные условия, — д/ ='р(/-ф(х), — „, =.' р(/-рф(х)- ф(х). дп Предположим еще, что /(/) является оригиналом и г"(р) =,' /(/), тогда граничные условия дают (/;=,= р(р) ')а — „, + ()(р(/ — ф)~ =у(/(х=п Такгьм образом, операционный лсетод приводит решение поставленной выше нестационарной задачи для уравнения (1) с частнылш производными к решению обыкновенного дифферен.
циального уравнения а — „., +Ь вЂ” +А(/+В=О, д'У д// (4) где А=с+а,р'+Ь,р, В= — а,рср — а,ф — Ь,ф и р — комплексньш" параметр, при следующих граничных усло- виях: (/), ь=р(р), 1( — „х +(бр — у)(/ — йф~ =О (5) 1) температура и(х,/) а тонном стержне удовлетворяет уравнению дп д'и — = о' —, д/ дх' ' (6) где а' — постоянный нозффнниент. Рассмотрим распределение температур в полуограннченном стержне 0 ( х С оо, если известен закон азменения темпе- Приведенные выше рассуждения показывают, что в принятых услбвиях изображение (/ решения и нестационарной задачи удовлетворяет уравнению (4) и граничной задаче (5). Если известно, что нестацнонарная задача имеет единственное решение, удовлетворяющее вместе со своими производными первых двух порядков условиям, 'налогкенным в п.
79 на оригиналы, и если задача (5) для уравнения (4) имеет единственное решение (/, то, очевидно, решение нестационарной задачи можно получить как оригинал для (/. Приведем несколько примеров. 559 4 т. пРилОжения рзтуры его левого нонна, а начальная температура стержня равна нулю: и(,~ О, и(к о 1(О. (7) с комплексным параллетрол! р, которое нужно решить при условкп У)к а=Р (Р).
(9) Обшее решение уравнения (8) есть — х — х 0=Се ' +Се алесь должно быть Сл О, нбо иначе У будет неограниченно возрастать при х -л са. Условие (9) дает тогда С = Р(р), следовательно, Ул — х У=Р(р) е Для нахождения оригинала рассмотрим ! — к тогда Р(р) = —, 0~ — е н по Р Р гннал длн У!: сначала частный случай 1(!) = — 1, формуле 42 таблицы яаходнм орн- за УГ и,(х, !)У Ег(( 1 — = ~ е с(т. х Г .)г-) ) к .) о (!0) В случае произвольных граничных данных (7) используем интеграл Дюамеля (6) п. 81; имеем 0 (р) = РР (р) Ул (р), следовательно '), к* и (х, Г) = П! , е 'а " т! сст х Г 1(т) 2 Ги з (1 — )Л М хз = )11 — — 1)е 1 8з (11) Уи П ( 4ат$к) к за у! ( х мы положили 2 — ).
Прн х О из выражения (1!) получаем 2аР ! — т и (О, 1) 1(!) ег1 ( о) 1(!), что и требуется. ') В обозначениях ш 81 здесь 8(!) Ег1 ), Ю(0) О, й'(() ( 2а г~! к' к лат! в 2а У'н!к Переходя и изобрансениям, получим обынновенное дибл$ерснцнальное уравнение итУ РУ =о' — „ с(хк ' (8) 666 ГЛ. Ч!. ОПЕРЛПИОгП!ЫП МЕТОД П ЕГО ПРИЛОЖЕ!ГИЯ 1зз 2) Та же задача, по на левом конце стержня происходит теплоизлученне в среду с нулевой температурой,.начальная температура стержня ик сопз). Задача сводится к решению уравнения (6) при следу!ашик начальных и краевых условиях: ди ! и !г=з нк лк, «» )» ь з (А > 0 — постоянная).
Операторное уравнение имеет вид г(2Ц р(г — а' — и; ,1хк з (!2) аи ! его нужно решить прн условии: — ! = Л0) г,. Решение этого уравие.— „,! ния, ограниченное при х -ь ео, имеет вид УР— к (! — е+ Се Р Пользуясь граничным условием, находим окончательно: (Т вЂ” ' ! — е а — '(! — е )+ — ' е р а .-!Ур ) УР По формуле 42 таблицы имеем — е а дг1! =1, следовательно, х оригинал первого члена равен изег1 1=), Для нахождеяия орпгинала '! 2а'г'! / второго члена заметим, что по теоремам запаздывания и подобия к ! -Р— Р(р) = е а — ае Л !аг-к) т) (аг «) — +л Р а Тогда по следствию теоремы Эфроса (!1) п.
6! Р()У ) ! ! —, - -л!а- !— Ук а т+ 2а/М Заменяя здесь =сы найдем окончательно: 2)'Г и (х, !) = из ~ ег1!! 1+ елкчзлгег1( —"-1. аЦУГ) ~. (!3) 3) Рассмотрим распределение температур з ограниченном стержне О < х ( 1, левый конец которого теплоизолнрозан, а нз правом поддержи- $2. ппидожпния вается постояннаи температура ин начальная на. Задача своднтсэ к решению уравнения (6) ди ! и)! о=по — й й дх )„! Операторное уравнение имеет внд: г) 2(1 — — — (1 =— о(хо а' температура ио также постоян- при условиях и)х 1-ип ио . из ' его надо решить при условиях гИ! и,, — =о, и!.
г= —; Общее решение операторного уравнения берем в виде ио ) Р рр С= — +С зЛ вЂ” х+С сЛ вЂ” х; Р и а подстановка первого краевого условия дает Со = О, второго — Со ио Таким образом, изображение решения имеет вид Р сЛ вЂ” )Р а о) Наметим путь доказательства: положим — ф р = ад тогда, повторяя и рассуждения, которые мы проводили в п. 7! для с!на, мы покажем, что х х сЛ вЂ” )' р сЛ вЂ” р и функция остается ограниченной в плоскости с иснлю- сЛ вЂ” Ур — сЛд и ченнымн (посредством кружков) полюсамп, Отсоода следует, что функция ! и сЛ вЂ” Ур стремится к пулю при р-ь во на некоторой системе окружр сЛ вЂ” Ур и настей (условне 2 теоремы); кроме того, так как при больших ( р) модуль этой функции не превосходит некоторой постоянной, умноженной иа — )а! «-! — е ", н у нас х < 1, то эта функция абсолютно интегрируема на (р! прямой Ее р= а (условие 3 теоремы).
(В первом издании книги здесь была допушена неточность, на которую нам любезно указал Ким Сеи Ен (Корея).) сЛ вЂ” 1 Р Г ио и~ — ио а Р Р сЛ вЂ” 1' р и Функция (1 (р) однозначна, ибо гиперболический косинус — функция четная н его тей.торовское разложение содержит лишь четные степени аргумента. Эта функция мероморфна и имеет простые поиюсы в точках Р=О и иаят 1 ! !3 Р = — о (и — — ( (й= (, 2...). Можно доказать, что она УдовлетвоР 1 21' ряет условиям второй теоремы разложения"). х г ! Обозначим А (р) = и, сЛ вЂ” у Р + (и! —, ио) с)г — у Р В (Р)=Р с)г — )' Р !' а а ' а то!да ()= —, А(0)=и, В'(0)=1, и для Р=Р« — — "(й — — ) А (р) В(Р) ' где «=1, 2, ..., имеем: ЦР«) = (и — ио) с!! — (й — —,/ Йг (и — и,) соз (й — — «и ! В'(р ) — )ггр з(т — )/Р = ( — !) 2а а «2~ г) Вторая теорема разложения даст тогда а'и' / 2(и, — ио) жч ( — 1) ! 1( тгх — !', (« —,,) ! и (х, В = и! + — ~-и — — т — соз(й — — ) — ' е и ат( ! ( 2) «-! й —— 2 4) «)ля уменьшения скорости нейтронов, которые освобождаются в ре- зультате цепной реакции, происходяшей в ядерных реакторах, приыеняются замедлителн (обынповенно — гра4гитовые).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
