М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 98
Текст из файла (страница 98)
1 83, l О, 1<0, 1)й, ба (1) = — О < 1 < 1ь Она представляет величину, которая действует лишь на озрезке (О, й), где имеет постоянное значение 17/г, суммарный эффект ее действия равен ! 6А()с(~ Предположим теперь, что Ь- 0; семейство функций бк(1), очевидно, при этом расходится, но мы введем условную функцию 6(1), которую будем считать пределом такого семейства, 6 (1) = 1пп 6„(1), а+о и называть импульсной функцией нулевого порядка, или, короче, 6-функцией.
Импульсная функция 6(1) равна нулю всюду, кроме точки 1= О, где она равна оо, и тем не менее для нес считается справедливым соотношение предельное для такого же соотношения с функцией бк(1). Таким образом, 6-функция представляет собой условное сокращенное образование для вполне определенного предельного процесса, который часто рассматривается в физике; бесконечно большая величина, действующая в бесконечно малый промежуток с суммарным эффектом, равным 1. Введение этой функции сильно упрощает вычисления, связанные с таким предельным процессом: вместо того чтобы производить выкладки до езо ГЛ.
Ч1. ОПЕРАПИОИИЫИ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕ1ШЯ из перехода к пределу и перейти к пределу в окончательном результате, переходят к пределу сразу, до выкладок. В большинстве физических задач законность такой перестановки вполне оправдана. Мы условимся считать, что изображение 6-функции получается как предельное для изображения функции бь(1) = 1 = — !11(!) — «1(! — 6)), которое по теореме запаздывания равно а 6» (1) =. Переходя здесь к пределу при й — О, получим (условно): 6(1)=,')нп =1. (21) РЬ Соотношение (21) «подкрсплястся» еще следующими соображениями. На рис. 183 изображен пунктиром график интеграла функции 6»(1) т!Е(1) = ) 6„(1) Е(1.
о Из этого графика видно, что т1л(1) при й — 0 стремится к единичной функции т)(1), так что мы положим 1 ~ 6(1) (! = и(!). а Но тогда 6(1) = т!'(!), а так как 11(1) И вЂ”, то по теореме Р' о дифференцировании оригиналов мы снова получаем 6(1) =.' 1 =.' р — = 1 (значение оригинала при 1 = О, участвующее в этой Р теореме, мы считаем равным нулю на том «основании», что оно получается как предельное прн Л- 0 нз значений 1)а(0) = 0; формальное применение указанной теоремы, где мы должны положить 11(0) = !!Тп 11(1) = 1, привело бы к неправильному 1-+.~-О результату. Удивляться этому не следует, ибо мы применяем теорему в ситуации, когда ее условия наруша1отся).
Далее, для любой функции гр(1), удовлетворяющей условию 1' п. 79, по теореме о среднем получаем: о с. основныв понятия и методы где 0(1" Ь. Переходя здесь к пределу при б — О, считаем по определению М ] р(т)б(1)йт= р(о) о (22) б(1) =.' ]г б(1) е-ос с(1 =1. о На б-функцию распространяются основные правила операционного метода, например теорема запаздывания дает: б(1 — т) =. е — ос с у, ° оо, --р б ]вс~ — о.— а-,-"). о теорема умножения с 1 Р (р) =' ]' ] (т) б (1 — т) йт = ] Я о (что также правильно).
Аналогично вводятся импульсные функции высших порядков. Рассмотрим, например, функцию бс„'(1) = —,(«1(1) — 2п(1 — Ь) + + с1 (с — 26)] (рис. 184); ее «предел» при Ь-»О с ] й~Ь'~(г/ бс (У) = 1пп б~о ' (т) , ося о.» о мы будем называть импульсной функаией первого порядка. Будем считать, что ее изображение является пределом изображений бпс(с) = ' ~о +' т. е. а'р б, (Г) =.'! пп о, = р. (23) о-»о аср сг Рос. !84. На рис. 184 пунктиром изображен график второго интеграла функции боои (1) с с о1сосс(1)= ) ссс ] б'„"(1) ссс; о о (если сс(1) разрывна при 1=0, то ср(0) обозначает ее правое предельное значение). В соответствии с зтнм снова получаем: гл, ть опгглциогп>ып мгтод и яго поило>кения 532 нз него видно, что ф~(1) при й — »О стремится к единичной функцни ц(1).
Мы будем считать по определению с с ~ д1 ~ б, (1) й1 = и (1), б, (1) = п«(1) о о и тогда в соответствии с (23) получим б, (1) =.' р'. — = р. 2 Р Точно также можно рассматривать «оригинал» от степени р" — илтульсную функцию >г-го ~орядка б„(1) = '„„и (1), б„(1) =. р . (24) Примеры применения импульсных функций будут приведены ниже. 8) Обобщенные функции. В наше время импульсные функции получилн строгое обоснование в так называемой теории обобщенных функций, которая обязана своим возникновением работам С, Л. Соболева и французско~о математика Л.
Шва р ц а. Мы опишем в общих чертах некоторые основные положения этой теории н, в частности, приведем строгие варна>пы приблизительных рассуждений раздела 7). Подробное изложение можно найти, например, в книгах И. М. Г е л ьфа нда и Г. Е. Шилова [12) и Л, Шварца 1131. Главная идея теории состоит в переходе от функций к функционалам, задаппым на том плн няом пространстве функций, которые называются основными функциями. Наиболее употребительное пространство состоит нз всех комплексных функций ц(1) действительного переменного й бесконечно днфференцнруемых на всей оси, каждая из которых обращается в нуль вне некоторого конечного отрезка (зависящего от функции).
Последовательность оо„ функций этого пространства называется сходяи1ейся к нулю (~ро- 0), если все оо„обращаются в нуль вне одного отрезка, 'а на этом отрезке ~Р„(1)- 0 равномерно вместе с производными всех порядков. Это просгранство основных функций мы будем обозначать буквой м'.. Обобщенной функцией класси Мэ называется непрерывный линейный функционал 1 на множестве,Ф, т. е. отображение, которое каждой функции осев Ф сопоставляет комплексное чисто (1,го) так, что при этом выполняются 1' Свойство ли не й иост и: (>, а1гг1+агогз) =а~(1 Ч«1)+ +аз(1, ого) для л>обых комплексных чисел аь аз и любых функций й ь грг ~ А'; 2'. Свойство непрерывности: последовательность комплексных чисел (1, оро)- 0 для любой последовательности Э !. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Н МГТОДЫ ~,Ф, сходящейся к нулю в смысле принятого выше определения.
В частности, любая обычна я функция ) ((), определенная на всей оси 1 и интегрируемая на кагкдом конечном интервале, определяет обобщенную функцшо 5 по правилу (!', Р) = ~ ! И Р (~) Ц (25) (мы не будем писать пределы интегрирования, если интеграл берется по всей прямой, или, что то же самое, по отрезку, вне которого ч5=0). Можно доказать, что если для двух таких обычных функций 5(Т) и а(~) функционалы (25) совпадают, т.е.
(5, !Р) = (д,5Р) для всех !а ~.яг, то д(1) лишь несущественно отличается от )(!) (например, значениями в отдельных точках). Поэтому мы можем считать, что функционал ) представляет функцию )(5), т. е. рассматривать обычную функцию как обобщенну!о. Обобщенной функцией является и б-функция, которая строго определяется как функционал, сопоставляющий каждой функции грен М ее значение в точке 1 = бч (б, Р) = Р (О) (26) (ср. с формулой (22)). Обобщенная функция — не функция, а функционал, поэтому ее значение в точке смысла не имеет. Однако говорят, что обобщенная функция равна нулю в окрестности точки 1м если для всех основных функций гр, отличных от нуля лишь в пределах этой окрестности, (5,!р) = О. Носптелем обобщенной функции ) называется совокупность точек ~, таких, что ) не равна нулю ни в какой окрестности ~м В частности, для обычных функций )(() носитель совпадает с замыканием множества точек 1, в которых 1(1) Ф О.
Очевидно, б-функция равна нулю в окрестности любой точки (а Ф О, так что ее носитель есть точка ! = О. Сложение обобщенных функций определяется естественно: ()+й,Ч5) =(),Ч)+(й,5Р) для всех !сепо. Но перемножать их в общем случае нельзя, можно определить лишь произведение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую. Это делается прн помощи следующего приема: для обычной функции )(1) н бесконечно дифференцируемой а(1) имеем (а), !Р) = ~ а (1) ° ) (1) гс(1) й = Д, аа5) (мы смогли перебросить множитель а к основной функции, ибо ич еп Ф в силу бесконечной дифференцирусмости а), и это свойство в общем случае принимас!ся за определение: произведением обобщенной функции ) на бесконечно диффсренцируемуво гл.
ю опгплцгтонпып метод и гго приложения вз '534 функцию а()) называется функционал сс), который действует на функции ф ен .пб по правилу (а), ф) =(), аф). (27) Преимущества обобщенных функций особенно ярко проявляются прн их дифференцировании. Так, отпадает необходимость всяких оговорок о существовании производных — любая обобщенная фрнкиия оказывается бесконечно дифференцируелтой. Это полезное свойство вытекает непосредственно из определения производной, в котором используется тот нее прием переброски к основным функциям, что и в предыдущем определении.
Именно, для обычных непрерывно дифференцируемых функций )()) мы имеем (Г, ф) = ~ Г (у) ф (у) агу = Ю) ф (у) ~ — ~ 1 (у) ф'(у) с(у = — (~, ф'), (неинтегральный член исчезает, ибо ф(т) равна нулю вне конечного отрезка). В общем случае мы примем это за определение; производной обобщенной функции ) называется функционал )' на пространстве М, который действует иа основные функции ф по правилу: (28) П р и м е р ы. П Ллн еднничпог1 функции Ч()) производная (ч' р) = — (ч р') = — ) р' (г) иг = е (о), а ибо о(чо) = — О, следовательно, Ч' = 6 (ср.
со сказанным на стр. 530). 2) Пусть )(Г) — обычнан функция, непрерывно дифференцируемая всюду, кроме точки С = О, где оиа имеет разрыв первого рода со скачком й = г(+0) — )( — 0). Ее производная а смысле теории обобпсенных функций (р ф) = — ) )(бч'(г) аг — ( у(г) ф'(бит= ч о - — )ф) — М),"+ () Г (г) е (г) аг = ~ Г (г) ф (т) ау+ йф (0). таким образом, ) =)„,(б+йб где слева стоит пронзводнан в смысле обобгценных функций, а справа— классическая произволнан (определенная всюду прн Г чь О) и О.функция, е) Производная основной функции также является основной. 4 >. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ аз! 535 умноженная на скачок /(!). Этот пример является обобщением предыдушг>о, /кл(!)=0 н й= 3) Пронзводная 6-функцнн (62 ср] = — (6,>р') = — >р'(0) и, вообще и-я производная (6»", >р) =( — 1) ">р>">(0); очевидно, 6'"> = т!>"+'> (ср.
с формулой (24)). Далее, последовательность обобщенных функций /„ назь>- вается сходящейся к обобщенной функции /, если для любой функции >р ен.рр (пп (/., р)=У, >р) (йз) (здесь речь идет о пределе последовательности комплексных чисел). Ряд из обобщенных функций лчл /„назь>вается сходяч-! и!имея, если последовательность его частичных сумм з„= ~ /а а=> сходится в смысле предыдущего определения, При меры, 1) Последовательность обычных функций 6„(>), равная и иа отрезке (О, 1/и) и нулю вне его, в классическом смысле расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
