М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Условие 2' на первый взгляд кажется искусственным. Однако следует иметь в виду, что операционный метод приспособлен к задачам, приводящим к ре*! Пьер Симон Лаплас (!749 — !З27! — франнузскиа математик, астро. ноа! и финик. е*) Если стремиться к более точным опенкам, то а качестве показателя роста лучше принить нижнюю грань такик чисел к, что ))(!))ечм остается ограниченным при Г.ч- ао. ти 4 ь основные понятия и методы 495 шению дифференциальных уравнений с данными начальными условиями.
В таких задачах вся информация о ходе процесса до момента начала наблюдения, за который, конечно, можно принять момент Г = О, содержится в начальных условиях. Таким образом, и условие 2' физически вполне естественно. Простейшей функцией-оригиналом является так называемая единичная функция 1' 1, т'>О, '1 О, (<О.
Очевидно, умножение функции гр(г) на т1(1) «гасит» эту функцию для г ( О и оставляет без изменения для Г = О: если функция гр(г) удовлетворяет условиям 1' и 3' и не удовлетворяет 2', то произведение ( гг(Г) 1) О, У(1) =ч(Е) ч (г) =1 О', О' (3) где интеграл берется по положительной полуоси. Фразу; «функция 1(1) имеет своим изображением г"(р)» мы будем записывать символом *) 1" (т) =.' Р (р) или г" (р) =.'1 (1). Заметим, что метод Хевисайда, как это стало ясно после работ Карсона, заключается в переходе от функции 1(1) к функции р*(р)= р ~ 1(г)е-"г(г.
о Таким образом, изображение по Хевисайду отличается от изображения по Лапласу множителем р. '1 Употребляются также символы -е, е--, ~1 и другие. будет удовлетворять и условию 2', т. е. будет оригиналом (например, т1(1)з(п Ы, т)(1)гп, т1(1)е"', и г. д). Для простоты записи мы будем, как правило, опускать множитель т1(1), условившись раз навсегда, что все функции, которые мы будем рассматривать, равны нулю для отрицательных 1 (например, вместо т)(Г) будем писать 1, вместо т1(1)з1поу( — просто з)петт н т.
д,). Изображением функции 1(т) (по Лапласу) называют функцию комплексного переменного р = а+ го, определяемую соотношением Р(р) = ~ ((1)е-пгй е 496 гл. у!. Опеидционный метод н его пииложннся !тз Наличие дополнительного множителя р приближает метод Хевпсайда к другому символическому методу, применяемому в электротехнике, Однако оно вносит неоправданные усложнения в некоторые выкладки. Кроме того, прсобразование Лапласа более естественно связывается с известным интегралом Фурье, который также широко применяется в математической физике (сл!. и. 88) ").
Исходя из этих соображения, мы будем всюду рассматривать преобразование Лапласа, а пе преобразование Хевисайда. Т е о р с м а !. Для всякого оригинала )(!) изображение Г(р) определено в полуплоекости !сер > эо, где эв — показатель роста )(!), и является в этой полуплоскости аналитической функцией. В самом деле, при )сер = э э, интеграл (3) абсолютно сходится, ибо в силу неравенств (!) он мажорируется сходяшимся интегралом 1(!) ес лс д! ( ) Ме-! — в с дс М за Далее, в любой полуплоскости с«е р)~ э, > э, интеграл, получающиися из интеграла (3) дифференцированием по р, сходится равномерно, ибо он также мажорируется сходящимся интегралом, не зависящим от р, у(!) (е-пс д! «, ~ М!е !'-с»! с ду=, (5) л! (зс — зз! о о Отсюда на основании теоремы 4 и.
15 мы заключаем, что функция р(р) в любой точке полуплоскости Ке р ) эо обладает производной. Теорема доказана. 3 а меч а н и е 1. Интеграл Лапласа (3), вообще говоря, определяет изображение г" (р) лишь в полуплоскости !сер>эо. Между тем, как мы увидим ниже, в большинстве практических задач область определения изображения значительно шире этой полуплоскостн, Поэтому часто мы будем рассматривать аналитическое продолжение изображений за прямую !сер = эо и будем пользоваться тем, что соотношения между разли шыми изображениями, которые, как правило, устанавливаются в полу- плоскостях сходимости соответствующих интегралов Лапласа, при таком продолжении сохраняются (ср. п. 25). ") Нвнонеп, кнк >видит чнтвтсль из дильнсйшего изложения, свойства преобрззовзиня Лапласа более симметричны: каждому свойству оригиналов соответствует аналогичное («двотсственссое») свойшво изображений — см.
свойства 1!! и 1У, У и У1, Ч!1, »г!11, 1Х и Х, $1. Основныв пОнятия и методы 791 497 3 а меч ание 2. Если точка р стремится к бесконечности так, что Кер = з неограниченно возрастает, то с (р) стрел1ится К НУЛ1О: (пп г (р) = О. (6) Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (4). Отсюда следует, что г (р)- О, если р - Ос, оставаясь внутри любого угла — — + 6 < агар ( — — 6, где 6 > О сколь угодно 2 2 мало, причем эта сходимость равномерна относительно агар. Если, в частности, г(р) аналитична в бесконечно удаленной ТОЧКЕ, тО Г"(р)- О Прн р - сс ПО ЛвбОМу ПутИ; СЛЕдОВатЕЛЬНО, г (р) просто должна иметь нуль в бесконечности. Свойства преобразования Лапласа мы выясним в следующих пунктах, а сейчас остановимся на выводе формулы, определяющей функцию-оригинал по ее изображению (четаертый этап операционного метода см.
стр. 489). Мы дадим прежде нестрогий, но зато конструктивный вывод этой формулы, а затем приведем строгое доказательство. Рассмотрим интеграл е с+10~ 1 Г ее' 2н1,) р (7) е — 1 взятый вдоль прямой Ке р = а > О, прохоРис. 175. димой снизу вверх. Обозначим еще через Ся и Ся части окружности ~ р ~= К, лежащие соответственно слева и справа от прямой Ке р = а, а через а — 1Ь и а+1Ь— нонцы Ся и Ся (рис. !75). 1 Пусть т > О; так как — — ~О при К вЂ” есо равномерно относи- Р тельно агар, то по лемме Жордана п. 73 (формула (4)) имеем: е" !Пп ) — с(р =О.
я.е ся Следовательно, из теоремы Коши о вычетах, согласно которой а+И еФ Г ее' . ее1 — др+ ) — др =2п1 гез — =2п1', Р е=с е-м ся ГЛ. ЕГ. ОПЕРАЦИОННЫН МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 488 п9 в пределе при 77-9 со получим: а+1Ь а-1Ь Если (< О, то по той же лемме Жордана (формула (5) п, 78) имеем: ер' Ягп ~) — др = О, я-Ь а с'„ 1 г;е ц т г„,г„г а — $а Рлс.
17сь 11одставляя в (8) т= тн а затем т = = тз > т7 и вычитая второй интеграл нз первого, мы получаем представление ступенчатой функции а+1 а О, г<т, г Г р, е-рт — е егр= 1, г, <Г <т,„ 2ЕЦ 3 р а-1» 1О, Г>те. Точно таким же образом можно представить интегралом сту- пенчатую функцию, график которой изображен на рис. 176, '7+1 п-Г -рть -рте+, — еР'У 1(ть) 12р= 2лг р а-1 аа Ь=Ь а+1 са — ) "'(Ьгаа.-'"а'.,)аа, (77 а-1 а Ь=а а по теореме Коши а+ Гь гьр + ~ — ггр О, а-1Ь 7 откуда в пределе при 77 -+ аа получим: а+1Ь Г'(Г)= Ягп —, ~ — г(р=О (У <О). Ь.ь а 27Н а Р а-7Ь Таким образом, интеграл (7) представляет единичную функцию. Ясно, что если заменить в (7) г на .7117 à — т, где т — фиксированное число, то мы получим функцию а+1 Г, 11- (О, Г<т, — агр =1 (8) 2лг .( р 11, Г>т. а к основные понятия н методы где ! — е» (ат )т (ат )з Л'т» —— р = Лт» — р+ — р'— 2! 3! (Лтд = т»+~ — тд).
Если теперь увеличивать число и так, чтобы гпахЛт» стремился к нулю, то Л'т» будет бесконечно малой величиной, эквивалентной Лтд, и сумма в фигурных скобках в формуле (9), мало отличающаяся от интегральной, в пределе перейдет в интеграл. Естественно ожидать, что в пределе мы получим интегральное представление функции 1(Г) на интервале (О, т) Устремляя т к оо и обозначая через Р(р) = ~ 1(т) е гт йт о 110) преобразование Лапласа функции 1(!), мы получим в пределе искомое выражение оригинала через его изображение а+гм Е(р) йр. (1 1) где интеграл берется вдоль любой прямой Кер = а ) зо и по- нимается в смысле главного значения*).
, '] То есть как предел интеграла вдоль отрезка (о — ГЬ, о+да) прк Ь -+ ьо. Формула (11) «обращает» формулу (10), т. е. выражает функцщо 1(1) через ее изображение Р(р). Точно так гке и (10) можно считать обращением (11), поэтому формулы (!0) и (11) называются формулалги обращения (Л а п л а с а) . Приведем теперь точный результат. Теорем а 2. Если функция 1(г) является оригиналом, т.
е. удовлетворяет условия.к 1', 2', 3; и Р(р) служит ее изображением, то в любой точке Г, где Г'(т) удовлетворяет условию Гельдера, справедливо ривенсгво а+~ !(Г)= —, ~ елыр(р)йр, 500 ГЛ. Еь ОПЕРАЕ01ОННЫИ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ !то В самом деле, рассмотрим интеграл а+ гь а«НЬ м оы= —.,', !" "«1«!««- — „', !" (!" 1о! -"«1« а-!ь «-1Ь ! О (см. формулу (1О)). Так как в полуплоскости Кер ) а интеграл 1(т)е-а'йт сходится равномерно относительно р (см.
докао зательство теоремы !), то можно изменить порядок интегрирования "), и мы получим: « а+1Ь Уь(1)= г! У(т)гкт ~ еа!™йр— ! р 2л1 а о а-ы Ю = — Г ((т)еа<1-т1 з|п ь(г — т) й 1 еас Г ь(ьь (-1)е ан+г! з1пь1йае -л/ г — т л $ о (мы заменили т — 1= $). Полагая д(1) = !(1)е-а! и учитывая, что д(1) = О для всех 1 ( О, мы получаем 1ь(!)= — е" ~ 3!ПЬЗс(В+-„— 1(1) ~ — ос(К.
(12) Интеграл во втором слагаемом — это интеграл Эйлера (см. пример 2 п. 73), он равен л при любом Ь ) О, и, значит, второе слагаемое равно )(1). Для доказательства нужного нам соотно- шения 1!Пт 1ь(1)=7(1) остается, следовательно, доказать, что ь-ь. первое слагаемое в (12) стремится к О при Ь вЂ” + со.
Для этого нам понадобится Лем м а. Для любой функции гр(й), интегрируел1ой на от- резке (а, р), а ! Нп )' гр ($) з1 п Ь$ й$ = О, а Действительно, если Ф($) непрерывно дифференцируема на 1а, И, то все доказывается интегрированием по частям: в о соз Ь$ Р (В) з!п Ы йй = - гР (с) Ь ~ + ) Р' (Е) — Ь ' йВ а а ') Это непосредственно вытекает из известной теоремы анализа, см,, например, Ф икте нгол ьп, т. 11, стр, 733. Приведем еще условия, достаточные для того, чтобы заданная функдия комплексного переменного Р(р) служила изображением некоторого оригинала: Теорем а 4.
Если функция Г(р) аналитична в полуплоскости Кер за, стремится к нулю при )р)- ао в любой полуплоскости Ке р о а ) за равно,черно относительно агд р и интеграл а+3 Р(р) йр а-1 оо абсолютно сходится, то Г(р) является изображением функции а+1оо 1(1) = —. ~ еа'Р (р) ар. (11) .Действительно, фиксируем некоторое число ра, Ке ра ) а, тогда из (11) следует: о а+1 -ада= —,'. ! -о) ! "оооо)а.
ао) о О а-~ оо Так как во внутреннем интеграле р = а+ щ др = (с(о, то можно вынести за его знак множитель е" и оставшийся инте- грал а+! о е"'Р(р) др ( )г ! Р(а+ 1о) !йо. Отсюда видно, что этот интеграл сходится равномерно относительно г, и, следовательно, в формуле (!3) можно переменить порядок интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
