М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 89
Текст из файла (страница 89)
169) Здесь л, 3, лз 2, лз = 0; Р, (г) = г' — ! имеет один чисто мни- Рис. 169. ммй корень г — з и один корень г = е " ' в левой полуплосности, так что й, = 3/2. Формула (24) принимает вид зяг,а й (ьз) 2 ЗГ агк (ьз ь) + 2 ° ! 3 1 ( Для Ез справа от ветвей Г первое слагаеиое равно — — )см. рно 169: обкод 2 ! ") Действительно, в окрестности каждого такого корня а имеем: ьз— Рз (г) 1 Р, (г) (г — а)Р (сз + сз !г — а) + ...), сз ть О и полуокружность проходится по часовой стрелке.
488 Гл. у, приложения теОРии Функций к АГГАлизу (гв Зп и( участка 1 дает а ага (йз — Г) = — —, участка !! — О, участка 1!! — — ), слс- 4 4,)' довательно, дли таких са имеем й (йз) = ). точно так же получим, что дли йз внутри петли й (Сз) = О, а дли йз слева от ветвей ь. (ьз) = 2. Таким образом, мы полностью выиснием располоисеиие корней. Рассмотрим, наконец, общий случай многочлена (19). Полагая Рь (з) = иа (х, у) + (ра (х, р) (!е = 1, 2, 3), мы видим, что уравнение ! (а, й) =О равносильно системе (l = и, (х, у) $ + и (х, р) т) — и,(х, у) = О, 1 (25) 1' = в, (х, и) й+ п,(х, у) 7) — ва(х, у) = О.
Как и выше, будем считать, что эта система устанавливает отображение плоскости з на плоскость Г,, которое могкгзо записать в явном виде, решая систему относительно с и ГР п,о, — н,сз гззоз пзпз т) = (26) где Л ='Л(з) = ише — изп, — определитель системы. Очевидно, точкам з, в которых Л(з) ~ О, отвечают вполне определенные конечные точки ". Точкам, в которых Л(х) = О, ио хотя бы одни из числителей (о6) отличен от нуля (а следователю о, и второй числитель также, в чем легко убелиться), отвечаег точка,=оо, Иаконец, если в некоторой точке з обращаются в нуль и числнтсли и знаменатель (26), то этой точке соответствует целая прямая плоскости ~ — такие точки и соответствующие им прямыс мы будем называть игключигельнылзи*), Отображение, обратное (26), не более чем п-значпо, ибо каждая точка г, соответствующая ьы — это корень многочлена (19) при данном значении Г.
Выясним вопрос о сохранении ориентации при отображении (26). Для этого нродифференцируем систему (25) по х и д, считая й и т) функциями х и йч и! с(ь + иа с(т) + дл г(х + д г(У 0 д(7, д)7 в, гть + ва иГЧ + д с(х + — 'Р = О. д)7 д)7 Решая эту систему относительно с($ и с(з) и пользуясь уравнед(7 д)7,. У д ниямн Коши — Римана, согласно которым —. дл ду ' ду дх ' *) В случае многочленов (20) исключительных точек быть не может. 75! 2 2.
ПР11ЛОЖЕНПЯ ТСОРЫИ ВЫЧЕТОВ получаем: (и2 Ду +О2 дх15(Х+( 2 дх О2 Д ) С(У)' Ди ~т~ Г д17 ди7 с)7! = — ) (и1 — + о, — ) 71х — (и — — Π— ) с(у а ! ! ду дх ) ! ' дх ' ду ) Отсюда находим якобиан отображения (26) и видим, что знак этого якобнана совпадает со знаком Л. Следовательно, отображение (26) сохраняе7 ориентацию, если Л ) О, и меняет ее, если Л ( О. Как и выше, рассмотрим разбиение плоскости с на области Р (й, и — й) и обозначим через Г границу этих областей. Очевидно, параметрические уравнения Г можно получить, полагая х = 0 в уравнениях (26).
Положительным обходом Г, по-прежнему, будем считать тот, которып соответствует возрастанию у. Кривая Г может состоять из пе- 2 2 7 1 скольких ветвей, причем в о~личие от случая многочленов (20) при полном обходе оси у ее участки могут проходиться и по нескольку раз (не более а). Кроме того, кривая Г может содержать исключительные прямые, — ' 6=1 Б-1 Б-1 Б--7 это будет в том случае, когда на оси у имеются исключительные точки. Рассмотрим некоторый участок ~1Ч2 кривой Г и предг7оложим, что при полном обходе оси у он обходится 1 раз, т. е, что этому участку соответствует 1 отрезков У1УР(!2 = 1, 2, ..., 1) оси у.
Положим еа = 1, если направление у",у,", совпадает с направлением оси у, и ея = †! в противоположном случае. Положим также бя = 1, если па У",у," определитель Л ) О, и 6„ = — 1 в противоположном случае (рис. !70). Пусть точка ь, двигаясь непрерывно по некоторому достаточно малому пути, пересекает дугу ~1ь2 слева направо. Э~ому пути в плоскостн г соответствует 1 путей, пересекающих отрезки УР111Р оси У. Очевидно, если Вабь ) О, то соответствующий путь идет из левой полуплоскости в правую и мпогочлен (!9) приобретает на нем один корень с положительной действительной частью и теряет корень с отрицательной действительной частью; в случае е„б„( 0 наоборот.
Таким образом, Ч7О Гл. ч. пРиложеиия ТГОРии Функций к Аиллизу 17а при переходе с левой стороны дуги ~Дз кривой Р на правую янногочлен (!9) теряет езбз+ езбз+ ... + егб! корней с отри!!а- тельной действительной частью*), С помощью этого замечания мы сможем найти все области 0(й,п — й), зная какую-либо одну из них. .
В заключение приведен пример, принадлежащий Вышнеградскому: ) (зн Г) = аз + таз+ Ча+ 1. Полагая а = зр и разделяя действительную и мнимую части, найдем параметрические уравнения кривой Г: $ = 1/уз, Ч = уз. Это лежащая в первом квадранте ветвь гиперболы йч = 1 (рис. 17!). При полном обходе осн у она описывается два раза; при эхом 777зясзяяя если считать для нижней полуоси угтзй~влмгчя р = 1, а для верхней р = 2, то бу777хгр дем иметь: е, = 1, ез = — !. Левее, определитель Л, определязощнй знак ямгл ея сз нкобнааа, на осн у равен Л(ги) = - ятчяязм Лжж = — у', следовательно, бз = +1, ьз бз = — 1.
таким обРазом, пРи пеРеходс через дугу ьзь~ слева направо теряется езбз+ езбз = 2 корня с от. рппательной действительной частью. э В начале координат й = Ч = О мпогочлен принимает впд аз + 1 п имеет !за!1 3 корни г! = — 1 аз, з = 2 Рис. 17!. следовательно, область под гиперболой есть 0(1,2), по тогда область над гиперболой есть 0(3,0) †облас устой!инвеста. Лля проверки можно взять точку й = Ч =3, в которой много. член принимаех внд а' + За' + За + 1 и имеет тройной корень е = †!. й 3.
Методы асимптотических оценок Во многих технических вопросах важно иметь методы изучения так называемых установившихся режимов. Математически эти вопросы сводятся к изучению свойств функций для больших значений аргументов, или, как говорят, к изучению аснмптотического поведения функций. Мы приведем здесь некоторые из методов асимптотического изучения функций. Для более подробного изучения этих вопросов мы рекомендуем к ни ту М. А. В в г р а ф о в а 17).
76. Асимптотические разложения. В основе асимптотического исследования функций лежит замена этих функций более простыми так, чтобы сохранялись основные свойства и отбра- *) Если эта сучча раева нулю, то по обе стороны луги ьзьз лежат области 0(й,л — й) с одинаковыми инлексамн.
В случае многочлеиа (20) вта сучма всегда равна едипнпе; следовательно, здесь слева от Г всегла лежит область с числом й, на единнпу большим, чем справа (ср. рис. 158). тв! э в 47! сывались второстепенные. В частности, исследуя функцию !(г) при больших значениях аргумента на каком-либо множестве .Ы, простирающемся в бесконечность (чаще всего на какой-либо линии, идущей в бесконечно удаленную точку), проще всего заменить эту функцию рядом (1) в некотором смысле приближающем ее.
Обычно требуют, чтобы погрешность при замене функции )(г) частной суммой зп(г) этого ряда при г- оо по точкам Л! была малой высшего порядка относительно последнего члена частной суммы, т. е. и 1нп еа ((з) — ~ —" =О в) (п=О, 1, 2, ...). (2) «-Э ч а а-о Из этого условия не следует, конечно, сходимости ряда (1), однако, как мы увидим ниже, даже всюду расходящиеся ряды, удовлетворяющие этому условию, содержат много полезных сведений об аснмптотическнх свойствах функции р(г).
Ряд (1), удовлетворяющий условию (2), называют асимпгогическим разложением функции 1(а) на множестве М и эту связь между рядом и функцией записывают в следующем виде: 1(а) с+ — '+ —,'+ ... +ф+... (3) !та данном множестве М асимптотическое разложение функции, если оно существует, определяется единственным образом. В самом деле, из условий (2) при и = 0 мы найдем: Ит (у (г) — со) = О, откуда определяется е, = Иш )(з); при п = 1т «-Э ь а -э Ига я(у (г) — ео — — ')=О, откуда с, =!нп г() (з) — со) и вообще а 'э г-э с„= Итп алД(а) — з„,(а)) (а=О, 1, 2, .
° ) (4) а.ь .ч С другой стороны, один и тот же ряд (!) может служить асимптотическим разложением различных функций. Например, ряд, тождественно равный нулю, служит асимптотическим разложением как функции, тождественно равной нулю, так и функции егл на луче х) 0 (нли даже в любом секторе !ага.з1( ( — — а, а ) 01; это видно из того, что Итпх"е-" = 0 для лго«-ь Э бого и.
') В этой н следуюшнх формулат предельный переход прн в-е оь совер~наетсн, конечно, по точкам множества — мы не будем этого спенаально оговаривать. 472 Гл у. ПРиложения теОРии ФунКций к Анализу !76 Легко доказать, что асимптотические разложения суммы и произведения двух функций получи»отея соответственно почленным сложением и умножением их асимптотических разложений: если ! (з) ~~» — „и д (е) ~~~ — л, л=а л=о то ) (х) + у (х) л=е саг!л+ с!г(л-1+ " + слил (5) л=о Точно так же легко доказывается правило почленного инте%~ с„ ерирования асимптотических разложений: если ((г) т — (т. е. л 2 при х- оо по множеству М функция ((г) является бесконечно малой порядка не ниже второго), то ~ ((~) д~-Ъ (6) к ( Поименное дифференцирование асимптотического разложения, вообще говоря, незаконно.
В самом деле, легко видеть, что е "зшек О на луче х > О, однако (е 'з(пе")'= — е "гдпе'+ + созе' вовсе не имеет асимптотического разложения, ибо на луче х > О не существует даже предела этой функции при х-и оо. П р и и е р ы. 1) Найдем асимптотическое разложение на луче х > 0 фунииии, определяемой интегралом ((х) = ) — ех-'п(. —,) ( к 1 Поаториым интегрированием по частям (полагая — =и, ех а(=с(о и т. Л.) х ! найдем: «-! ек-! и! г — — — — ! ...
-Вл- — ц"Ы Г „(б 1 1 2! „, (л — В! „Гех-' и хт хт кл (л+! й Э. МЕТОДЫ АОИМПТОТ1!ЧЕОК11Х ОПЕЫОК 16! Для остатка (с папашью интегрирования по частям) получаем оценку Ген-' и! ,' Ж= (.+1)1 )' й« ги 1-! и+1 ' ) ти+З х и+! х х откуда вытекает, что в принятых выше обозначениях х" () (х) — з„(х)) <— п! х стремится к нулю при х-н со; следовательно, .—.е'- й(- — — — + — — " + ( — 1)" + " » — 1 ! ! 2! и х х Г ет В! (х) = ~ — !1т. (8) В самом деле, после замены переменной т = — ! имеем, очевидно, и Ге>Г1 В! ( — х) = — ~ — И! = — е» ) — е» тй!. х х Таким образом, из (7) мы получаем слелующее асичптотнчесю>е равенство: е»<121 и и! — В1( — ) — ( 1 — — + —, — ° ..
+ (-1)" — + ... ~. (9) х ! х хт х" Ряды (7) и (9) расходятся, ибо их обшие члены не стремятся к нулю (отноии+! шение — = — — -ьоо при п-нсо п любом фиксированном х). Теч не ии х менее, они дают приближенные значения функции, весьма точные лаже для довольно малых х н и, например: для интеграла (7) зь(10) = 0,09152 дает приближение с точностью до 0,00012. 2) Найдем асимптотическую формулу для функции зераятности ошибок (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
