М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 84
Текст из файла (страница 84)
В ей ерштр асс). Существует такая целая функция д(г) и такая последовательность целых чисел р„ рг, р„, ..., что имеет место формула )г ! (г 1Р„ )(г) =г'"ее!')Ц(1 — — )с~а ( п ) рп (~п) (б) ар г) л=! 7Л й 1. РАЗЛОЖЮ1ИЕ В РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 437 Справедлива и обратная Т е о р е м а ()(.
В е й е р ш т р а с с). Для любой последовательности*) комплексных чисел а„, сходящейся к бесконечности, лгожно найти такую последовательность целых чисел р„, что бесконечное произведение (8) сходится и определяет целую функцию )(г), которая ииеет своими нулями точки а„и тольуо зти точки, причем нуль а„ будет такой кратности, сколько имеется в последовательности членов, равных а„. Замечание 2. Представимость целой функции формулой (5), а не общей формулой (8) можно было бы доказать при следующем, более естественном условии; существует такое целое положительное число р и такая постоянная М ) О, что для всех г ))(г) !» Ме1*'Р.
(9) Функции, удовлетворяющие этому условию, называются целымн функциями конечного порядка**), На основании второй теоремы Вейерштрасса легко доказать, что любая мероморфная функция !'(г) представляется в виде отношения двух целых функций. В самом деле, построим целую фУнкцию )х(г), имеющУю в каждом полюсе 1(г) нУль такого гке порядка (это можно сделать на основании упомянутой теоремы), тогда произведение ~(г))х(г) будет целой функцией, скажем !1(г), и (10) Приведем несколько примеров представления целых функций в виде бсснонечных произведений '*').
По формуле (!2) предыдущего пуннта логарифмичесхая производная синуса представляется рядом 1 (1п а1п х)' с)Е а = — + + — ~. а — пп пп) и=-«« 1 Интегрируя с1г х — — вдоль пути, соединяющсгп а = О с точкой г чл лп, и потенцнруя, получаем; — =Ц '(1 — — )е «) Среди членов последовательности могут быть и равные в любом конечном числе раз. дпназательство этих теорем можно найти, например, в нниге В. В. Ш а бата (10).
'«) Порядком целой функции 1(а) называется нижняя грань таних положительных чисел р, что ~ — ~ остается ограниченным при х-«с«; на) (г) «Р пример, а)па — функция первого порядха, функция е' — бесконечного порядка. *'*) Все эти представления были известны еще Л. Эйлеру (см. сноску на стр. 431). тз! З К ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ аналитически продолжаем 1(х) в й К построенному аналитиче- скому продолжению 1(г) применяем теорему о вычетах и, сле- довательно, находим: ) 1(х)йх+ ) 1(г)с(г=2тй !Г, где !с — сумма вычетов 1(г) в области Е!.
Если интеграл по С' удается вычислить илн выразить через искомый игиеграл ~, то а !!ш ~ д(г)е"'с!г=О. ся (2) Обозначим г = х+!у =те ь, М„= шах! д(г) ! и а„= агсз!и —. нл л По условиям леммы М„-ьО при п-ьсо, а„также стремится к нулю, причем а„й„-ьа. Пусть а„> О; на дугах АВ и СВ Ь задача вычисления ) будет решена. а В некоторых случаях вспомогательную функцию !'(г) выбирают так, чтобы заданная на (а, Ь) функция была ее действительной или мнимой частью; тогда искомый интеграл находится соответственно отделением действительных или мнимых частей (1).
Описанный метод ясно показывает значение теоремы Коши о вычетах, сводящей вычисление интегральной величины — интеграла по контуру — к вычислению величин дифференциальных — вычетов г(г) в ее особых точках. Вычисление последних значительно более просто, в особенности для полюсов, когда можно воспользоваться формулами (3) или (5) и. 23. В случае бесконечных отрезков (а, Ь) обычно рассматривают семейства неограниченно расширяющихся контуров интегрирования, которые строят так, чтобы в результате предельного перехода получить интеграл по (а,Ь). В этом случае интеграл по С' в соотношении (!) можно не вычнслять, а лишь найти его предел, причем часто оказывается, что последний равен нулю.
В некоторых примерах оценку интеграла по С' можно производить по следующей лемме. Л ем м а (К. Жор да н). Если на некоторой последовательности дуе окружностей Ся: ! г != й„, 1т г ) — а (!с„- со, а — фиксировано) функция д(г) стремится к нулю равномерно относительно агдг, то для любого положительного числа Х 440 Гл, у. приложения теории Функции к АнАлизу 1тз (рИС. (54) ИМЕЕМ ! Езз» !=Е АИ(Е«А; СЛЕдОВатЕЛЬНО, ! !» 1.1.
». ( С ЛЧ"Ъ.». АВ, СО и интеграл по этим дугам стремится к нулю при и-+оо, На основании известного нераненства ) з(п р ) — 1р, спра- 2 ведливого при О (Ф ( —, мы заключаем, что на дуге ВЕ та» 1 ГА»1 -ХИ„«1л Ф е 1=е " ~~е следовательно, л1а ~ки„». ( ° '« -и.— "1~ — *.1 л 2» ВЕ о и ) также стремится к нулю при и- оо. Если на дуге СЕ ве отсчитывать полярный угол от отрицательной полуоси по часо- ы», » Е ! се такая же сценка и утверждение лемлл мы будет доказано. В случае а ~ О доказательство упрощается, ибо бус В л дЕт ИЗЛИШНЕЙ СцЕНКа ИНтЕГраЛа ПО дугам АВ и СР. Лемма доказана пол- Ю л постыл.
,л Последовательность дуг окружноРис. 154. стей С» в лемме можно заменить л семейством дуг С». ) г) = Й, (т г = ) — а(Ва( Я < оо), и тогда, если функция д(г) при Й-«-оо стремится на Сн к нулю равномерно относительно агп г, то для любого положительного числа Х (ип ~ д(г) еолс(и=О. и.+« с» ,Для этого случая проведенное доказательство остается в силе. «) Для доказательства этого неравенства достаточно заметить, что ( )'= »1ПФ1 созе 1 и1 Ф Ф (Ф вЂ” 12 Ф! отрицательна на интервале 10, — ) и что, следо- 2) Ми Ф вательно, фунисня — убывает на этом интервале.
Неравенство выражает ч выпуклость синусоиды на интервале (О, — 1. 2)' тз1 % 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ а по еним ЯТСЯ ЧТО )с -ь тель- (4) В следующей главе лемма Жордан требуется пам В несколько видоизмененной форме. Зам переменное гг = р, тогда дуги окружностей леммы замен дугами Сн '.(р) = )с, Кер а (рис. 155), и мы получим, для любой функции Г(р), стремящейся на Ся к нулю при оо равномерно относительно агдр, и для любого положи ного г )пп ~ с (р) ел'йр=О.
я+ Заменяя в (4) р на — р, мы получим, что в тех же условиях для любого отрицательного 1 !Ип ~ с (р) ея' йр = О, (5) с, Рнс. 155. где Ся — дуга окружности )р) = )с, гхе р ) а (рис. 155). Общий метод вычисления интегралов с помощью теорин вычетов мы проиллюстрнруем на отдельных конкретных примерах. Начнем с вычислении интегралов от произведения дробно- рациональной функции иа синус или косинус.
П р н и е р 1. Для вычисления интеграла (Лаплас) соз х г(х ,) к'+ о' мы выберем вспомогательную функцию егг 1 (г) = , + , Рис. 155. 1 и контур, указанный иа рис. 156, Так как функция я (г) =,, на С удо- я'+ а' 1 влетворяет неравенству ! д (а) ! ( —, то она равномерно стремится Ф вЂ” аг' к нулю при й-ь со, и по лемме Жордана, при )с-в со ) (г) ог = ~ г (г) е 1* ог -+ О. ся Для любого )г>о имеем по теореме о вычетах ся 442 ГЛ. Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКНИЙ К АНАЛИЗУ рз (вычет в единственной лежащей внутри контура особой точке а =а! функ- ции /(г) — полюсе первого порядка — находим по формуле (5) п, 23).
В пре- деле при )с -» со получим: 1 = — ° е»ах и х«+ аг аеа Отделяя действительные части и используя четносчь функции, найдем иско- мый интеграл сон х бх и х'+ а' 2аеа ' П р и и е р 2. Для вычислеикя интеграла (Э й л е р «)) С« Г з)п х х о (6) (см. п. 70) мы возьмем вспомогательную функцию ,г ю и 1 (г) = —,. а Рнс. )57. Контур интегрирования выберем, как указано на рис )57; точка 2=0 обходится малым полукругом сг, ибо оиа — особая точка 7(г).
По теореме Коши г л 1+1+1+1=0, -л г„г сд Из леммы Жордана видно, что Нт ! =О. Для оценки ~ рассмотрим н«««з сн лораповское разлогкенне ! (г) в окрестности г = О; зто разложение име ет вид: !+Рг+ — + ... (г2) Г()— 2 ''' ! + Р (2), где Р (2) — непрерывная в точне 2=0 функция. Отсюда видно, что „Г Г и'г Г Г ге!о(аф ~ — + ~ Р(г)дг=~ +0(г)= — (н+0(г) «*). г ге'Ф «г сг «) Интеграл (6) обычно связывают с именами Лапласа или Дирихле; однако он был впервые вычислен Эйлером в работе П8! г.
««) Через 0(а) мы обозначаем функцию, бесконечно малую при а-гб. е т. пРилОжения теОРии ВычетОВ 731 Таким образом, теореллу Каши можно записать в виде е'"лгх Г ~!ко» /1 л — + ~ — = л'л + О (г) + О ~ — ~, х ~ к '(Ф. и Г а Г Заменяя в первом интеграле х на — х, получим, что он равен — ) — л(х, х г мы рассмотрим функцию еаа ) (х) !+ел Рис.
158. и воспользуемся тем ее свойством, что когда х получает мнимое приращение 2нй она умножается ка постоявный множитель е "!а. В соответствия с этим будем интегрировать )(х) по контуру прямоугольника, как указано иа рис 158. Внутри него )(х) имеет один полюс х = н! первого порядка алл с вычетом а , = †.
= — е ; следовательно, по теореме о вычетах але ел! 2н!а л и ш лч Имеем -н я ! + е* ! +,к+ лл ! + ах . и! и -л 1 -Д На отрезках П и 1У соответственно ащ+ЛаЛ (,ад 1 -ПН 1+ е"+'" ен — ! 1 — е е а1-Я+Ла! ( -ан е 1+е Л+'" ~ 1 — а (1(х) ! = ) ) (х) $ = н, объединяя его со вторым интегралом, будем иметь.' д ,лх х л(х = гн + О (г) + О ~ — ). '1)!)' Г В пределе прн г -ь 0 и е( -ь ао получим окончательно: Г з!пк н В! ео ~ — л!х =* —, х 2' (Т) о Приведем далее несколько примеров вычисления интегралов, содержащих показательную функцию. П ри мер 3. Для вычисления интеграла (Эйлер) 444 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
