М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 83

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 83)

Если целая функция /'(г) имеет в бесконечности полюс л-го порядка, то она является многочленом степени п. В самом деле, если д(г) = с1г+ +сзг'+ ... +сага — главная часть разложения /(г) в бесконечности, то в силу той же теоремы /(г) — д(г) = се является постоянной. Как известно из алгебры, любой многочлен л-й степени имеет л нулей н представляется в виде произведения линейных множителей, соответствующих этим нулям: и / (г) = А'(г — а,) (г — а,) ... (г — а„) = А Ц (! — †), (!) а=! а ') Разложе~яя (13) — (19) были получены еще Л. Эйлером; ои указал кк в !742 г, в письме к И. Бернулли.

Диффсреикируя ряд (12), — зто возможно по теореме Вейерштрасса (п. !9),— будем иметь *): 432 ГЛ. У ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЯ К АНАЛИЗУ )та где ад — нули втногочленд ((г), А и А' — некоторые постоянные"). Целая функция может вовсе не иметь нулей (например, е'), может иметь и бесчисленное их множество (например, з(пг). Целую функцию 1(г), не имеющую нулей, можно представить в виде 1(г) = ее(»), (2) где д(г) — целая функция. В самом деле, если целая функция ((г) не имеет нулей, то — =()п((г)) также является цер (а) ) (а) лой, а тогда, интегрируя эту целую функцию, получим целую функцию 1п ! (г) = я (г). Если целая функция ((г) имеет лишь конечное число нулей аь аа, ..., аи (камсдый выписывается столько раз, какова его кратность), то частное от деления 1(г) на (г — а!) ...

(г — а„) будет целой функцией, не имеющей нулей. Следовательно, его можно будет представить в виде (2), и мы получим: ((г)=ея!»>(г — а,) ... (г — а„)=Аеа(е)П(1 — — '1. (3) иа/ и=! Для целых функций, имеющих бесконечное число нулей, можно построить аналогичные формулы, в которых, однако, вместо конечных будут участвовать бесконечные произведения и возникает вопрос об их сходимости.

Приведем сначала основные определения и факты, относящиеся к числовым бесконечным произведениям. Пусть дана последовательность комплексных чисел (1 + св), ни один член которой не равен нулю. Если произведение а П, = Аа (1+ еа) и=! при п- оо стремится к пределу, отличному от нуля, то говорят, что сходится бесконечное произведение а П = Ц (! + Га) = )нп П (1 + еа), (4) а предел П называют величиной произведения. Очевидно, условие )нп с„=О есть необходимое условие сходимости, ибо !+е,= и" и 1!Гп П„=!Ип П„, ~0. Пи-! а.ао» а.+» *) При иереао;!е ко второй форме ааииси ми считаем, что точка а = О ие является кулем ((а), ГЗ! $ !.

РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ И ВЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕИИЯ 4З3 Далее, при подходящем выборе ветвей логарифма имеем: л 5„=!п П„= ~ !п (1+ са). а=! Если при какам-нибудь выборе значений !п(1+ са) ряд М ~',!п(1+ сь) сходится, т. е. существует !Ип Я„=З, то тогда а=! и "+ и П„=ел стремится к пределу П = ен, т. е, сходится и бесконечное произведение (4). Заметим, что из сходимости ряда логарифмов вытекает, что 1п(1+са)- О при й- оо, а отсюда следует, что, начиная с некоторого й, значения 1гп 1п(1+ са) заключены между — и и и, т.

е. )п(!+ с„) — главные значения логарифмов. Наоборот, если бесконечное произведение сходится, т. е. П,— П Ф О, то, выбирая значения !п(1+са) так, чтобы при любом п сумма ~з!п(1+се) давала главное значение 1пПн, а=! мы получим, что существует 1ип 5„= 1ип )п П„= 1и П, т. е. н-ь «~ и-у ~ сходится ряд из логарифмов*). Таким образом, доказана Т ео р ем а 1. Для сходимости бесконечного гзроизведения П=П(! +се) необходима и достаточна сходимость ряда 8 = ~ !п (1 + са) а=! ири надлежащем выборе значений логарифмов.

При этом П =- ен. Бесконечное произведение, содержащее равные нулю множители, называется сходящимся к нулю, если после удаления всех таких множителей оно остается сходящимся в старом смысле. Равенство (4) тогда сохраняется, сели считать П = О. При таком определении остается в силе свойство конечных произведений обращаться в нуль лишь в том случае, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Если ряд из логарифмов множителей бесконечного произведения оказывается абсолютно сходящимся, то это произведение ') Чтобы удовлетворить нашему условию выбора ветвей логарифмов, достаточно всякий раз надлежащим образом выбирать значение последнего слагаемого суммы )п()+с ).

Из скодимостн ряда логарифмов на основании проведенного выше рассуждения следует, что, начиная с некоторого й„все выбранные значеная логарифмов будут главными. 434 гл. и. пинложгння твоеии еж!кцни к лнллнзт рг также называется абсолютно сходяи1имся.

На основании .теоремы 1 заключаем, что справедлива Теорем а 2. В абсолютно сходяще.ися произведении можно произвольным образом изменять порядок л!ножителеи, не меняя величины произведения. Далее, справедлива Т е о р е м а 3. Для абсолютной сходимости бесконечпого произведения Ц (1+ сь) необходи*!а и достаточна абсол!отл=! ная сходимость ряда ~ сл. ь=! В самом деле, так как у нас Игп сл = О (н в случае сходил.+ ю мости ряда и в случае сходимости произведения), то, начиная 1 с некоторого й, ! с„'!< —.

Тогда ! !п (1 + с ) ! ( сл сь — 11=! — — + — — ...~( — + — + с 1 ! 2 3 ° ° ! 2л 2! '' 2 и, следовательно, 1 ! !и(1+ел) ~ 3 2 ~ сл ~ 2' По известной теореме сравнения рядов отсюда вытекает, что ряды ~ ) )и(1+ел) ~ и ~~'.,| сл ) сходятся илн расходятся одной=! с=! временно. А по определению сходимость первого из этих рядов эквивалентна абсолютной сходимости произведения. Понятие о сходимости бесконечных произведений естественным образом распространяется и на бесконечные произведения, составленные из функций. Произведение П(1+ Ь(г)) называется сходяи1имся в некоторой области О, если в каждой точке гс этой области числовое бескопе шое произведение П (1+)ь(гс)) сходится или сходится к нул!о в смысле принял-! того выше определения.

После этих кратких сведений мы можем возвратиться к вопросу о разложении целых функций в бесконечные произведения, множители которых соответствуют нулям этих функций (обобщение разложения (3)). Заметим, что если целая функция 1(г) 72! $ 1, РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ И ЕЕСКО![ЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 435 (не равная тождественно 0), имеет бесчисленное множество нулей, то эти нули образуют последовательность, сходящуюся и бесконечно удалеш!ой точке.

Действительно, в противном случае можно было бы вь2делить последовательность нулей )(г), сходящуюся к конечной точке плоскости, в которой ~(г) по условию правильна, и по теореме единственности п. 20 )(г) была бы тождественно равной нулю. Пусть Ь|, Ьь ..., Ь„, ... будет последовательность нулей )'(г), расположенная, например, в порядке неубывания их модулей. Через т„мы обозначим порядок нуля Ь„и через аь ам ...,— последовательность, составленную из тех же нулей, но так, что каждый нуль записывается столько раз, какова его кратность. Составим логарифмическую производную функции 1(г)! 6 (г) = = е ((и!' (г)).

!Сак было доказано в п. 23, она имеет особенности лишь в точках Ь„, являющихся ее полюсами первого порядка с вычетами, равными п2„; следовательно, 6(г) является мероморфной функцией. Разложение 6(г) на простейшие дроби тесно связано с разложением Дг) в бесконечное произведение. Именно, имеет место Т е о р е м а 4. Пусть лоеарифл2ическая производная целой функции )(г) на некоторой правильной системе контуров растет не быстрее, чем гР-', где р ) 1 — целое число. Тогда для функции )(г) справедливо разложение вида Ю а„! где тп) 0 — порядок нуля ~(г) в точке г = О, д(г) — некоторый многочлен степени (р и а!„аг,, а„, ...

— последовательность нулей ~(г), в которую каждый нуль входит столько раз, какова еео кратность. В самом деле, предположим сначала, что г = 0 не является нулем функции ((г). Тогда по теореме 2 предыдущего пункта ее логарифмическая производная 6(г) допускает разложение вида 6 (г) = р-! Ш =УСА" +Я ", +'„ь" ~(+ — Ь'+~ —;)+" +®' 1~ А=О А=! 436 Гл. у. ИРР!ложшшя теОРии Фуикг!ии к лггклизу !72 ибо тейлоровские разложения главных частей б(г) в нашем случае имеют вид: ьл В силу равномерной сходимости разложение б(г) можно почленно интегрировать вдоль любой линии, соединяюшей точку г= О с произвольной точкой г и не содержащей нулей 1(г). Получим: р-! 1п гг (г) = 1и гг (0) + ~~ „А гь+' -1- +1~"'1~" ( ь )+ ь + з (ь ) + + р (ь„) ) (б) л=! где значения логарифмов определяются линией интегрирования, Разбивая и-е слагаемое последней суммы на и„одинаковых слагаемых, мы можем переписать разложение (б) в виде где д(г) — многочлен степени (р.

На основании теоремы 1 отсюда следует сходимость к функции 1(г) бесконечного произведения 11г12 ! (г!р ~(г)=ее!)Д(1 )е"."1ъl' 'р("1 (7) во всех точках, которые не являются нулями этой функции. Но в нулях 1(г) бесконечное произведение, очевидно, сходится к нулю, и, следовательно, формула (7) справедлива для всех конечных точек г. Если г = О является нулем 1(г) кратности и, то достаточно применить наше рассуждение к функции 1(г)/г" и мы получим формулу (5). Теорема доказана. 3 а и е ч а н н е 1. Доказанная теорема обобщается на случай проИзвольной целой функции в следующем виде: Теорема (К.

Характеристики

Список файлов книги