М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Па вловс ким в 1922 г. (см. [8!). Мы изложим сущность этого метода, Проведем через концы шпунтов с; линии у; равного потенциала и = и,, соединяющие эти концы с основанием так, что с; вместе с у; образуют гладкую линию, ортогональную основанию. Линии у, разрезают область Р на и + 1 частей— «фрагментов» Ро, Рь ..., Р„(рис. !50). Во фрагменте Рь ((/ ( — ОО,О), потенциал и удовлетворяет условиям и = ~ (и, на уи лп! гл.
!!!. ВАРилш!Опные пгцнцнпы конФОРмцых Отоагхжп!ин !ю да на остальных участках границы — =0; во фрагменте бУ да а У„на (1, оо), и= и„на у„, ~ ~ ли л | ди на остальных участках границы — = О. Для фрагмента (У! (/ = 1, да 2, ..., л — 1) граничные условия имеют вид и! на у!, и ~~ ~ г и!+! на у!+„ да на остальных участках границы —. =О. да Заметим теперь, что если расстояния между соседними шпунтами значительны по сравнени!о с их длиной, то линии у; мало отклоняются от прямолинейных отрезков у, перпендикулярных к основанию. Обозначим через б!! прямоугольник, получаемый из 1:!! заменой у! и у;+! отрезками у! и у!+!, .области Ъб и Б„будут прн этом полуполосамн (рис.
!50). Перейдем к конструкции приближенного выражения для потенциала и. Прежде всего строим в каждом прямоугольнике Й! гармоническую функцию йб(г) по следующим граничным даннылб: О на у! для !'= 1, ..., и и иа ( — ооО) для 1=0, йт(г) = 1 на у!+, для 1=0...,, л — 1 и на (1, оо) для !'=и, (10) дп! — = 0 на остальных участках границы Р! для ! = О..., л. да Построение йь очевидно, сводится к отображению прямоугольника на полуплоскость и применению формулы Келдыша — Седова, причем последняя имеет весьма простой внд в силу простоты граничных данных. За искомое приближенное значение для и в области б!! принимается: й = (и!+! — и!) й ! (г) + и! (!'=О, 1, ..., л; иб= Ум и„! = (у„), (1! ) Эта функция, очевидно, удовлетворяет граничным условиям в прямоугольнике б!! и тем меньше отличается от своего точного значения, чем меньше у! и у!б.! отличаются от у; и у,+!.
Формулы (11) содержат л неизвестных параметров иб, иь... ..., и„, которые можно определить из условия совпадения расходов жадности в соседних сегментах. Пусть 6!(г) будет $3 пгнложешля функцця, сопряженная с й,(з), и -11 — — — е(р, ""1 ,( дл дй1 д е(р (12) и = (и1~, — и1) и1 + и1. ") Г1оложим еще ие = О, ивы = 2и . — ее приращения па отрезках у1 и улеь Тогда функция о(г), сопряженная с и(г), в области 0; будет приближенно равна (иьы — и;)61(г) и, следовательно, условие равенства расходов в сегментах 0, ~ и 0; запишется в виде ') т1 ~(и,— из,)=т1(и1.„— и1) (1=1,2, ..., п).
(13) Система (!3) есть система п линейных уравнений с л неизвестными и,. Определяя из нее и, и подставляя нх значения в (11), мы получим искомое приближенное выражение для и(з) во всех фрагментах. Как уже отмечалось выше, точность метода фрагментов зависит от величины отклонений линий у„от отрезков у „Укажем путь для числовой оценки погрешности. Возьмем 1-й шпунт; пусть 0' есть часть 0, расположенная слева от этого шпунта с„ а 0" — часть Р, расположенная справа от него. Заменим часть 0" областью Ц', симметричной с 0' относительно сь Для области О~ = Р' + Я линия уь очевидно, будет совпадать с отрезком уь Используя вариационные теоремы, мы можем оценить вариацию функции Г(г), реализующей конформное отображение области Р, на полуплоскость прн переходе от Р~ к 0 и получить тем самым оценку отклонения у1 от уь Наша задача свелась к оценке разности и и й в зависимости от отклонения уГ от у1 или области О; от прямоугольника Ря но эту оценку можно получить, используя формулы п.
64 для конформных отображений близких областей. Опираясь на формулы для конформных отображений близких областей, можно также дать существенное уточнение метода фрагментов. Примем за у1 полуволну синусоиды с амплитудой Ь,, соединяющую конец с, с прямой у = — йо. Считая области 0; близкими к прямоугольнику, мы сможем эффективно построить отображение области 01 на полуплоскость и тем самым построить функцию й,, равную единице на у,еь нулю на у, и обладающую нулевой нормальной производной на остальных участках границы. Функция и; линейно зависит от параметров синусоид Ь„ Ь,+ь По функции й,(г), мы, как раньше, строим искомый потенциал 4!2 гл.
цл вхшыционные пгннципы конеоемных отовглжвнии нз В построенном выражении для и имеется 2п числовых параметров и~ и Ь;. Система (13) дает и уравнений; еще и уравнений мы получим, если потребуем, чтобы расход жидкости, вытекающий из 1У~ ~ через верхнюю половину у,, равнялся расходу жидкости, втекающей в б! через ту же часть у;. Применяя формулы п. 65 для отображений близких областей на полуплоскость, можно дать методы пересчета значений Ы и при переходе от данной конструкции к конструкции близкой, а1 !г В заключение укажем еще метод последовательного отображения шпунтов, наиболее полно проведенной в работе П. Ф.
Фильчакова (1О). 7 11 (г1 Для простоты рассмотрим случай флютбета длины 1 с двумя шпунтами, хотя метод 4 «о «о аналогично, а в смысле точноРнс. !з!. сти даже лучше проводится в случае большого числа шпунтов. Пусть длина флютбета будет 1, а длины шпунтов: 1, = 1 и!з (рис. 15!). Совершим конформное отображение е = у'Т+г' (14) нижней полуплоскости х с выброшенным шпунтом 1~ на нижнюю прлуплоскость хь Шпунт 1, перейдет при атом в криволинейный шпунт 1г, выходящий из точки 1' = ~l1 !-(- 1г действительной осн х,; уравнение 12 будет: х,=1 фУ (15) г~+ у~~ Так как отсюда 1(х, у'1+ 1г, то прн больших 1 кривая 1з будет мало отличаться от прямолинейного отрезка. Обозначим через (1,1з) координаты конца криволинейного шпунта 1г (рис. 15!), Применяя формулу Тейлора, можно получить приближенное уравнение для абсцисс точек 1з: х, — 1 ~ (à — 1) ~ 1 — ( !" ) ((1 — узй,), (!6) где у(0) у > — 1е) — параметр — ордината точки шпунта 1м и й,= 1т(з1, + 2!') — 1з ! 13(! ! 1)т оз) $ 3.
ПРИЛОЖЕНИЯ 413 (17) Полуплоскость с выброшенным криволинейным шпунтом 1а переходит при этом в область рис. 151, в, мало отличающуюся от полуплоскостн: ее граница отличается от оси $ лишь на отрезке ( — ~о, бо) оо), где уравнение границы приближенно представляется в виде т)= — 1 ойдо (! 8) (знак «+» относится к отрицательным $ н знак « — » — к положительным).
Замечая, что максимум ординаты (!8) достигается при $=$о(")1 2 и равен 1(1 — 1) 1 Ег атак 21 го мы можем представить (!8) в виде (19) Пользуясь формулой для отображения областей, близких к полуплоскости (см. (2) и. 65), П. Ф. Фильчаков показал, что погрешность,метода последовательного отображения (при котором криволинейный шпунт 1з заменяют прямолинейным 1а) пропорциона,гьна кубу длины шпунта 1а, обратно пропорциональна кубу расстояния 1 между шпунтами и абсциссе $. Именно, разность точного значения абсциссы $ и ее приближенного значения, найденного по формулам (14) и (17), не превосходит )г 2 1зе 2я1 (Р + 1) $ (20) (см. 1!0)).
*) Обозначен пунктиром на рис. 151, б. '") ~йр — образы точки аг = 1а при отображении (17). 1 — постоянная, малая при больших 1, ибо й, - "—, (см. [10)). Формула (16) точна на обоих концах шпунта, т. е. при у = 0 н у — 12. Заменим теперь криволинейный шпунт 1з прямолинейным 1ь проходящим через точку (1, 1а) *), и отобразим конформно ниж. нюю полуплоскость е с выброшенным отрезком 1з на нижнюю полуплоскость ь: 4!4 Гл. 1у. ВАРиАГ010ннын при!И!ипы кОИРОРмных ОТОБРАхсннн1ч 1аэ Литература к главе !9 [1] М. А. Л а ар е н т ь е в, К теории конформных отображений, Труды физико-математического института нм В.
А. Стеклова. 1934. [2] М. А. Лаврентьев и Л. А. Лгостерник, Основы вариациоппого исчисления, т. 1, ч. 2, ОНТИ, 1935 (сч. Лополнение Н «О некоторых экстре«1альиых задачах в теорие коиформных отобразкений») [3] Г. М. Гол уз пи, Геочетрнческав теория функций кочплексцого перемевного, Гостсхиздат, 1952. [4] Р.
К у р а н т, Принцип Лирнхле, кеиформные отображения в минимальные поверхности (см. Приложение: М. Ш и ф ф е р, Некоторые новые результаты в теории копфорчпых отображений), ИЛ, 1953 [5) М. А. Л а в р е н т ь е в, О некоторых свойствах однолнстнык функций с приложениями к теории струй, Матем. сб., т. 4 (46), вып.
3, 1936, стр. 39! — 458. [6) М. А. Л а в р е н т ь е в, Кинформные отображения, Гостехиздат, 1946. [7] М. А. Л а в р е н т ь е в, Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. Изд-во АН СССР, 1962. [6] Л. И. С е до в, Приложение теории функций комплексного переменного к некоторым задачам плоской гидродиначпни, Успехи мате«1. НгуК, вып.
Ч1, 1939. [9] Н. Н. П а вло в с к и й, Теория движения грунтовых вод при гидротехнических сооружениях и ее основные приложения, Издание Научно-мелиорационного ин-та, Петроград, 1922. [10] П. Ф. Ф ил ьч а коз, Теория фильтрации под гидродинамическими сооружениями, тт. 1, Н, Изд-во АН УССР, Киев, 1959, 1960. [11] П. Ф. Ф и льна коз, Приблвженные методы конформных отображений, «Наукова лумка», 1964. Глава )г Приложения теории функций к анализу В этой главе рассматриваются некоторые нз приложений теории функций к анализу, имеющие наибольший интерес для физиков.
Первый параграф посвящен представлению функций бесконечными рядами и произведешгями, которые постоянно используются в самых различных вопросах, Во втором параграфе даны методы вычисления интегралов от функций дейсгвнтельного и комплексного переменного, а также важные для теории колебаний методы подсчета числа нулей аналнгнческих функций в заданных областях. Наконец, в третьем параграфе указываются методы получения приближенных выражений функций для больших значений аргументов, так называемых асимптотических формул, весьма полезных для приложений. $ 1. Разложение в ряды и бесконечные произведения Начнем с того, что напомним читателю основные пологкеиия относительно разложения функций в ряды Тейлора и Лорана и на ряде примеров проиллюстрируем методы фактического отыскания таких разложений.
70. Ряды Тейлора и Лорана. В первой главе было доказано, что всякая функция, аналитическая в круге )а — а~()с, представляется в этом круге своим рядом Тейлора '( (з) = ~ с„ (з — а)". в=э Коэффициенты его определяются по формулам (и'( ) ( ( )(ил1 (с — а) "+ с где С вЂ” любой простой замкнутый контур, охватывающий точку а и принадлежащий кругу (см. п, 18). Ряды Лорана являются обобщением рядов Тейлора.
С их помощью можно представлять функции, аналитические в кольцах г < ( я — а ! < )х (г ) О, )гг ( оо): Коэффициенты ряда Лорана определяются по формулам си= —. ) (и=О, ч-1, ь2, ...), (2) Г Г(ь) бй л 2ГП ) (й „)л+! с где С вЂ” простой замкнутый контур, лежащий в кольце н охватывающий его внутреннюю окружность (п. 2!). Формулы (1) и (2) редко используются для получения конкретных разложений. Обычно тейлоровские и лорановские разложения функций находят косвенным путем с помощью операций над степенными рядами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
