М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Отображение внешности С на внешность единичного круга [ге[) 1 можно, очевидно, представить в виде гн=Р(а, С)=Р[Р(г, С), С*], Р[со, С]=оо, (4) где нт =Р(ь, С'), Р(оо, С') = оо — отображение внешности С' на ] тв ] ) 1. Отсюда по формуле дифференцирования сложных функций [Р'(г, С) ]=[ Р'(ь, С') [ ] Р'(а, С) [, (5) причем в правой части функция ]Р'(г, С) ] известна, а ]Р'(1;, С*) ] определяется приближенным выражением (20) п. 63 [Р'(К, С')]= !+6(8) — —,'„~ '"', "'," (Г е мн'— 2 (6) (см.
замечание в конце п. 63). Если заметить, что отображение (4) сводит задачу обтекания С к задаче обтекания круглого ци- линдра, то величину скорости в точке г контура С можно опре- делить по формуле (9) п. 49: [У [= " [з!пΠ— з!ИО,] [Р'(г. С) [, ! Р'(со, С) ! где е — скорость потока в бесконечности *), а О= 8 + ЛО и Оо = Ое + АОе — аргументы образов точек г и а при отображе- нии (4).
Сравним зту формулу с такой же формулой для ско- рости в точках С [У]=,! " ] Ешй — з!п8,] ]Р'(г, С)], *) Мм считаем, что скорость в бесконечности направлена вдоль действительной оси, т. е, в обозначениях н. 49 д = О. внешности контура С на внешность единичного круга ]Д» 1, в частности, соответствие точек С и точек окружности ь = е'о; 8 = О (з); з = з (8). (2) Обозначим через п(з) длину отрезка нормали н С, заключенного между С и С, взятую со знаком « — » или «+», смотря по тому, расположена зта нормаль внутри или вне С. При отображении (1) кривая С перейдет в кривую С*, полярное уравнение ' которой с точностью до малых высшего порядка относительно шах]п(з) ] будет иметь вид: р = ! + п [з (8)] Ю = 1 + б (8) (3) % В.
ПРИЛОЖЕНИЯ 395 а также воспользуемся формулами (5) и (6); получим: Но дифференцируя формулу (7) п. 63 по г п переходя затем к пределу при г — аа, получим: ! Г'(, С') ! зо ! — —,,'„~ 6(!) дй а (8) С другой стороны, Мп 8 — в!и Оо з)п О+ сов 0 ЛΠ— Мп О, — саз 82 Лео Мпв-ыпа, сов ОЛΠ— сав82602 мпΠ— зшО, причем АО и 69о определяются по формулам (16) и. 63 2п ЛО= — ~" 6(Г)с!д — (г, Г 0 — 2 зп,) 2 о ЛОо= — ~ 6(!)с!ь — 'сй (9) о (мы меняем в этих формулах знак, ибо нас интересуют величи- ны в обозначениях и.
63, илзеющне вид 9 — ф и Оо — ~р). Подстав- ляя найденные значения в формулу (7) и пренебрегая малыми высших порядков, получим окончательно ( к. ! ! Р. )~ 1 1,1(9) 1 сазОЛО-саз02ЛОз 2п 2п о о 3 (1О) Форлзула (10) связывает скорости точек контуров С и С, находящихся на одной нормали к С. Заметим, что н соответствии со сказанным в п. 63 практические вычисления по формуле (!О) целесообразнее всего вести, аппроксимируя 6(!) тригонометрическим многочленом 6(!) =е (аз+ а,соз!+Ь, ебп!+ азсоз2!+622!П21+ ...).
(1!) В этом случае вместо формулы (6) удобнее воспользоваться формулой (23) п. 63 (имея в виду, что Г'(ь, С'1= о 1 и / о' (е'о) у )у! !У! ) Мпа — з)паз ) 1 ! 6(9) ! ( Л(2) — д(0) с (оо С ) ! ! Мпа Мпез ! 4л3 22 — 8 а в)п' —, (7) 396 гл. |ц влРилционные пРи|бпипъ| конеОРмных ОтОБРлженин |бб мы получим вместо (10): (ср. формулы (23) и (24) п.
63). Формулами (12) и (13) можно пользоваться также и для решения обратной задачи: по заданной вариации скорости на крыле найти соответствующую вариацию профиля крыла. Рассмотрим частный случай вариации контура С, когда С отличается от С лишь на малой дуге с центром в точке з| (локаль» ная вариация). В этом случае мы положим: 0,=0(з,), < б(1)511=а, б и вне места вариации с точностью до малых высшего порядка относительно а будем иметь вместо формул (9) и (10) ЬО= — с!д — ° б00= —,с!д ' ' > (14) о-е,  — О, ! 005 В с! Я вЂ” соб 00 с(а 2 51П'— Перейдем к вычислению вариации подъемной силы. Для этого проще всего использовать формулу Жуковского (8) п.
49, по которой величина подъемной силы, действующей на контур С, равна 2 0„ Р=4пр !~. ( С) з!НОП. (!6) Применяя эту формулу к контурам С и С, найдем: 51ПО ! т (00, С) ! 51ПО !т (00 С)! !У(=)У!~1+ '0 . '0' ' '+в[2аб+2(а|созО+Ь,з!пО)+ +3(а,соз20+ Ьбяп20)+ ...)~, (!2) где ЬО=Б(а, япΠ— Ь, созО+ а,яп20 — Ьбсоз20+ ...), ЛОП=Б(а| з!п00 — Ь|соз00+а,яп200 — Ьбсоз200+ ...) (13) 397 4 З ПИИЛОжГППЯ плп, пользуясь формулой (8) и заменяя з!п Оо = з!п Оо+ + соз ОоЛОо, тл Р— Р)! -г фо,оо,н- — ) она ~. о (17) Р =Рт(1+ — ~с180ос18 +11~.
(18) Из формулы (!8) получается следующий качественный результат. Дусть ао и а, будут точки схода и разветвления потока, обтекагои4его профиль С с положительной подъемной силой Р. !7ри замене С профилем С подъемная сила: 1) увеличивается, если С совппдает с С на нижней дуге аоЬаг и лежит над верхней дугой аоЬ'ац 2) уменьшается, если С совпадает с С на верхней дуге и лежит под нижней дугой (рис. 145). Рнс. 145. Для доказательства будем рассматривать вариацию контура С как последовательность локальных вариаций. Так как в наших условиях Р > О и о ) О о), то согласно (!8) знак вариации ЬР = Р— Р подъемной силы совпадает со знаком выражения Ь = 1 + с)й Оо с!й (19) причем О, лежит в 1Ч четверти (для определенности будем считать — — < 0,< 0); следовательно, с!а Оо< О. Рассмотрим сначала случай 1).
При отображении (4) центру локальной вариации в этом случае соответствует точка О, окружности, лежащая на верхней дуге Оо9о, где Оо — точка окружности, соответствующая точке разветвления потока а„ т. е. О < О, — Оо < и + 2! Оо! (ср. п ример 2) п. 49). Для О < 9,— Он~< и *) Половсительиость о следует пз того, что ионтур С лежит во внешности С !си. принятое выше условие). Для случая локальной вариации формула (17) принимает Впд зэз гл.
пс вхгихционныв пгинципы конэогмных отовгажвнип яг имеем с!д <О и, следовательно, Л ) 1. Для и < О, — Оа < е, — е, в, — О, и < п+2!О,! положим = —,+а, где 0<о<!Оа1; тогда с12 ' ' =!и а, модуль второго слагаемого формулы (19), 1яа равный ! !в !, не превосходит 1 и, следовательно, Л ) О. !я ! Оо! ' Таким образом, в случае 1) вариация подъемной силы ЬР ) О. Аналогично, в случае 2) будем иметь 0 < Оа — О, < п — (О,!; О,— О, и л ПОЛОЖИМ 2 2 — —, =а, тогда ! Оа)< а < —. Модуль второго 2 ' слагаемого в формуле (19), равный, в, больше 1, а знак !па ~я! е,! этого слагаемого, очевидно, отрицателен. Следовательно, в слу- чае 2) вариация подъемной силы ЬР < О.
Сформулированное предложение доказано полностью. 07. Волны в тяжелой жидкости. Рассмотрим открытый канал бесконечной длины с прямоугольным сечением и горизонтальным дном. Пусть канал заполнен тяжелой жидкостью, движения ко- торой подчинены следующим условиям: 1) движение плоско- параллельное — поле скоростей параллельно вертикальным стенкам и одинаково во всех течениях, параллельных этим стенкам; 2) пусть прямоугольная система координат (х, у) (ось х принадлежит дну и параллельна стенкам-, ось у направлена вер- зикально вверх) перемещается с постоянной скоростью оа в на- правлении оси х; мы будем предполагать, что в системс коор- динат (х, у) свободная поверхность н поле скоростей жидкости не зависят от времени й Движения жидкости, подчиненные указанным условиям, мы будем называть установившимися волн пыхчи онплгенпяаш жид- кости в канале; число о~ будем называть скоростью распростра- ненна волнового движения.
Согласно нашему определению, с точки зрения наблюдателя, связанного с системой (х,у), это поле дает установившееся движение жидкости в обычном смысле. Общая задача теории установившихся воли в канале ставит- ся следующим образом: предполагая жидкость идеальной, опре- делить все возможные ее установившиеся волновые движения. Поставленная задача сводится к некоторой задаче теории конформных отображений. С этой целью введем несколько до- полнительных параметров.
Пусть С: у = у(х), ес~ь сечение сво- бодной поверхности плоскостью (х, у); назовем средней глуби- ной канала число Н = ! Ип —, ) у (х) дх. Г -„,.2, 3 $ э, пгиложе>!ия 399 зп Пусть далее и — ускорение силы тяжести, р — плотность жидкости, 6 = оьН. Приняв это, перейдем к математической постановке задачи. В силу п. 48 из условий, что жидкость идеальна и движение в плоскости (х, у) установившееся, следует, что комп.чексный потенциал ь =) (г, С, й), г (-+. со, С, Ь) = ь со (2) есть функция, реализующая конформное отображение области Р(С); О ( у ~ у(х), на прямолинейную полосу; ширина полосы должна равняться Ь, ибо расход потока по условию равен оьН = = й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
