М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 73
Текст из файла (страница 73)
(17) Объединяя неравенства (16) и (17), получаем: !Г(го Со С)!-:.!Г(гм Со С)! но нз (15) имеем Г(г„Сот С*) =Г(г,, С„С), и неравенство (13) доказано, а вместе с ним и теорема 3. Теорема 3 также допускает гидродинамическую интерпретацию. Пусть стенки канала с горизонтальным дном имеют форму цилиндрических поверхностей с вертикальными образующими, н в канале движется идеальная несжимаемая жидкость с фиксированным расходом. Тогда (см.
рис. 138): при вдавливании одной стенки все линии тока приближаются к противоположной стенке, скорости в недефорл1ированных частях первой стенки уменьшаются, а скорости в точках наибольшей дефорнации и во всех то1ках второй стенки возрастают. 62, Граничные производные. Установленные выше вариационные принципы допускают различные количественные уточнения. Прежде чем переходить к таким уточнениям, отметим одно простое прило1кенне принципов к оценкам граничной производной.
Вернемся к случаю отображений односвязных областей 0(С) на единичный круг !И1!<! при услбвии, что некоторая фиксированная их точка го переходит в центр круга ц1 = 6, Пусть г1 — произвольная правильная точка С; проведем через точку г, два замкнутых контура С1 и См касающихся С в точке г, н таких, что область 0(С1) содержит точку го и содержится в области 0(С), а область 0(СА) содержит область 0(С).
В силу теоремы 1 и. 60 будем иметь: ! Г (гн С,) ! < ! Г (го С) ! < ! Г (гн С,) !. (О Если за 0(С1) и 0(Со) принять области, отображаемые на единичный круг с помощью известных функций, то полученные 371' з ь основные вхгикциопные пеинципы тт! неравенства дадут конкретные числовые оценки сверху и снизу для !!'(г, С) ). Применим это общее соображение к оценке (!'(г, С) ( для сл>чая, когда кривая С близка к единичной окружности. Теорема 1. Пусть линия С удовлетворяет следуюсцим условиям: 1) С принадлежит кольцу 1 — е ( ~ г) ( 1+ е; 2) углы между касательной к С и касательной к окружно- сж! '1г( = 1 в точках с одинаковым аргументол! не больше р; 3) кривизна й линии С отличается от единицы не больше чем на сь При этих условиях для граничной производной функции ш = !(г, С), !(О, С) = О, реализующей' отображение 0(С) на единичный круг, имеел! оценки: <!)'(~ С)!< ' ! (2) 1+ е — е, — ее1 1 — е+е, +ее, или, более грубые, 1 — 2е — е, — т1<(!'(г, С) 1< 1+2е+ е, +т1, (3) в которых т! — малая вьиие первого порядка по отношению к ! 'ет + е', + рт.
Для получения искомых оценок достаточно воспользоваться описанным выше общим приемом. Пусть г, = ге'ь — произвольная точка С; проведем через г, 1 окружность С1 радиуса г, = —, касающуюся линии С, и !+е, ' будем считать для простоты, что точке г~ при рассматриваемом отображении соответствует точка те = 1. Рассмотрим еще функцию г = д(ш) (д(0) = О, й(1) = г,), реализу!ощую конформпое отображение круга !ш!( 1 на круг Сь В силу основного вариационного принципа (см.
п. 00) !Г (г„С)1> ),1!!. Подсчет д'(1) упрощает следующее за меча ние. Рассмотрим семейство всех отображений круга (ш(<! на круг Сь преобразующих ш! в фиксированную точку г, окружности С, и имеющих в этой точке фиксированное растяжение. Это семейство, очевидно, зависит от одного действительного параметра. Покажем, что образ любой точки круга (тв) ( 1 при всех отображениях этого семейства описывает некоторую окружность Сы касающуюся С! в точке гь Лля доказательства отобразим конформно круги (ш ( ( 1 и С, на верхние полуплоскости !т ьт ) 0 и !тп Ь = 0 так, чтобы точки ш~ и г, переходил~ в бесконечно удаленные тачки. Рассматриваемое семейство перейдет прн 379 ГЛ. Их ВАРНА!П>ОННЫГ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЬ>Х ОТОБРАЖЕНИИ этом в семейство отображений верхней полуплоскости на себя, оставляющих неподвижной точку оо и имеющих в ней фиксированное растяжение, т, е. отображений вида ~ = ссоо>+ р, где ао — фиксированный и р — переменный действительные параметры.
При различных отображениях семей>ства образ фиксированной точки о> описывает, очевидно, прямую, параллельную оси !гп~ = О, н, возвращаясь к у старым переменным щ и г, мы получим то, что хотели. Учитывая это замечание, мы проведем окружность Со, касаюх' шуюся С в точке е1 н проходя- ' а а,', щую через начало координат, н а заменим условие д(0) = 0 условием д(0) = го, где го означает точку Со, диаметрально противог, положную Еь Обозначим через ат ф~ центр окружности Сь 6= (ео — а, ! и сс> = агй(г~ — а>). Имеем (рис.
139): го = а, — йе"", г> = = а, + г,е'"', и функция Рис. 139. г=г>е'"4+ а, осуществляет отображение круга (Д -1 на круг С~ так, что точки ~ = О, 1 и — й/г1 переходят соответственно в точки г = аь Е1 и го, С другой стороны, функция Ь с1 Ь 1 — — м Г1 отображает круг !ю~» 1 на круг (~((1 так, что точки в=0,1 переходят в точки ь = †!1/гь 1. Отсюда для искомой функции г = п(ю)(а(0) = га а(1) = = г1) получаем выражение а — В(Ю) — 0 Гасо, ! а с~ — Ьм г! — Ь Г1+ Ь 2 2 (б) Обозначим через а угол между векторами г, н а, — ао; нз прямоугольного треугольника гоОЕ, получим: г = (г, + Ь) соз а, д г откуда — = — 1, и по(5) г~ г> соо а ! й'(1) (=, 1 — соо а —— с Г~ 4 !.
Основные ВАРияцпонные ПРинш1пы зтз. Вспоминая (4)., получим: !) (ао С) (> — соза — —. / 2 1 г Г~ (6) Согласно условиям теоремы имеем 1 — е < г < 1-(-е, (а (< 2 2 ( 1е) 1 следовательно, — сова — 11 — — ), а так как — < 1 — е, г !+е) 2)' г| !» то с точностью до малых порядка вь!ше второго получаем: (2 — ие) (1 — е~) — (1+ е) ! — е — 2е, — ие (1 + е) (1 — е,) 1+с — е, — ее, =1 — 2е — е, — т), где т) — малая порядка выше первого.
1 Заменяя круг С, кругом С, радиуса ге = , получим 1 — е,' аналогичную оценку сверху ! Г (г!, С) ! < = соз а — — ' .1 1+ е+ 2е1 — и' = 1+2е+е, + ть Г ге 1 — е+е,— ее, и теорема 1 доказана. Из оценок для модуля граничной производной при дополнительном предположении )'(О, С) > 0 можно получить оценку иа границе и для (агй~(г, С) — агие(. Докажем предварительно следующую лемму: Л е и м а. Для любого отображения !е = )'(г, С), ) (О, С) = О, 1'(О, С) > О, на кривой С найдется точка ге = геены с ненодвижныл! аргументом, т.
е. такая, что 1'(гее!е, С) = е'еч следовательно, существует хотя бы одна точка, в которой ф — О = О. Лемма доказана. Для доказательства обозначим через а(ш) функцию, обрат- ную ), н рассмотрим в единичном круге ! ге ! < 1 функцию Она аналитична в этом круге и всюду отлична от нуля, нбо !1гп — =-а (0) > О, поэтому там гармонична функция. е (и) ю-+е й(и) = агд~ ) =1гп!п Е ), Имеем 6(0) =11п!од'(0) =О, а на окружности Ь(ш) =ф — О, где ф= агд4((ре!е).
По теореме о среднем для гармонических функций ее 0 — й(0) — — ~ (р — О) с(О, 374 гл. !и. влтихционныв пеинципы конеоьмных отовглжвнии !ее Докажем теперь теорему: Теорем а 2. В условиях предыдущей теоремы и при дополнительном условии 1'(О, С) ) 0 в любой точке г = гент границ!я С имеем: ! агд)(г, С) — агдг ! < п(За+ е, + !1), (7) где т) — малая второго порядка по отношению к р'ет+ ет!+!хт, Пусть фь — неподвижный аргумент, 0 = ага)(ге'е, С) и с(з— элемент дуги С в точке ге'ч; имеем: 0 — ф~ = )Г 1 (' (те!е, С) )гЬ. 1 1 В наших условиях — аф < аз < — аф; следовательно, учн- !+е ! — е тывая левую часть неравенства (3), получим: 0 — фь ) ~,1+ " Ч Йр = (ф — фь) — (Зе + е~ + Ч) (ф — фь) Фф или 0 — ф ) — (Зе + е, + т1) (ф — фь).
(8) Лналогично, используя правую часть (3), будем иметь: 0 — ф < (Зе + е! + т1) (ф фь) (9) Объединяя полученные неравенства н замечая, что можно рассматривать лишь те ф, для которых )ф — фь) < и, получим искомую оценку (7). Оценки для (Π— ф) можно получать н без использования неравенств (3) и притом в менее ограничительных предположениях, например без гипотезы малости еь Укажем вкратце путь получения таких г оценок. Как и выше, достаточно оценить длину 1, дуги 0 окружности )ге) = 1, соответствующей дуге гьг кривой С с концом в точке г, с неподвижным аргументом. Для этого соединим точки гь и г дугой окружности Сь Рна 140. лежащей в 0(С) и касающейся г,г, и ду- гой окружности Св лежащей вне 1) (С) и касающейся С в точке, вне гьг (рнс.
140), По принципу Монтеля (п. 60) при отображении гв = 7(г, С!+ Ст), которое реализуется элементарными функциями (см. п. 34), дуга С! перейдет в дугу окружности ~гв) = 1 длины, большей Ф; отсюда мы получим оценку для 0 сверху. Меняя ролямн С, и Сь получим $ а отоБРАжеи!!у Близких овлАстеп зтв сз! оценку снизу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
