М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 72
Текст из файла (страница 72)
56), для которых принцип максимума остается справедливым. Сущность метода заключается в следующем. Пусть и> = = )(г), 1(гр) = О и н> = ! (г), 1(ер) = О, соответственно реализуют конформные отображения областей 0(С) и Р(С) на единичный круг. Функция Р(х, у)=1п!>(2)! гармонична в области Р(С) всюду, кроме точки г = гм причем Р(х,у) — !и !г — хр) правильна в этой области. Так как !!(г) ) = 1 на С, то Р(х, у) обращается на С в нуль. Вдоль линии Ср имеем: Р (х, у) = !и р, (14) так что (14) можно рассматривазь как уравнение Ср. З 1.
ОСНОВНЫЕ ВАРНЛЦИОННЫВ ПРИНЦИПЫ 36<т М< Нам нужно доказать, что при деформации контура С внутрь области 0(С) для любого р, О(р(1, область 0(Ср) содержится внутри 0(Ср). Но всюду внутри 0(С) по принципу максичума мы имеем Р(х, у) = О, а так как на части С, не совпадающей с С, Р(х,у) =!и (!(г) (= О, в то время как на общей части С и С обе зти функции равны нулю, то всюду внутри 0(С) Р (х, р) ( Р (х, р). На основании уравнения (14) и аналогичного уравнения для линни Ср можно утверждать, гто 0(Ср) содержится в Р(Ср) при любом р, О ( р ~. 1. 61.
Распространение принципа. Основной Вариационный принцип, доказанный в предыдущем пункте, распространяется и иа функции, реализующие конформные отображения на канонические области других тинов. !) В н еш иост ь к р у г а. Обозначим через Л(С) область, Внешшою к замкнутому контуру С; пусть функция и< = Е (г, С), Е (СО, С) = СО реализует к<ьнформное отображение области Л(С) на внешность единичного круга )и<!) 1. Сохраняя Обозначения, принятые в предыдущем пункте, мы можем формулировать следующу<о теорему: Т е О р е м а 1, Если область Л(С) содержится в Л(С), то 1) при любом р) 1 область Л(Ср) содержится в области Л(СР); соприкосновение контуров СР и Ср для какого-нибудь р возл<ожпо лишь при совпадении С и С; 2) в бесконечно удаленной точке !Г(, С)!<!Г(, С)(; (2) 3) в точке г<, общей контурам С и С, ! Е' (гн С) ! (~ ! Е' (гн С) !; 4) если контуры звездны относительно точки г = О, то в точках наибольшей дефорл<ации гз и гз !Е (ге С)!) 1„!Е ( т С)!' (4) Знаки равенства достигаются лишь при совпадении С и С.
Доказательство может быть проведено так же, как в предыдущем пункте, если вместо (5) использовать отображение внешности единичного круга с выкинутой из нее луночкой на збб гл. зч. вхвнационные пьинцыпы коноормных отовраженни [и внешность круга. Проще всего получить эту теорему, сводя ее к доказанной при помощи замены переменнь1х 1 1 г — ге=, в= —. аз 2) С л у ч а й ц о л у п л о с к о с т и. Пусть линия С проходит через бесконечно удаленную точку и обладает в бесконечности касательной и конечной кривизной е); тогда окружность !г) =)с прн достаточно большом )с будет пересекать С в двух точках с аргументами, разность которых будет сколь угодно близка к и. Предположим еще, что положительная мнимая полуось в своей достаточно удаленной части не пересекается с С, и обозначим через Р(С) область с границей С, содержащую эту часть.
Через в=((г, С), 7(оо, С) = оо, (1'(оо, С) 1= 1 условимся обозначать функцию, реализующую конформное отображение области Р(С) на верхнюю полуплоскость о ) О. Согласно теореме существования в условиях, наложенных на кривую С, функция сь 7 существует и определяется с точностью до действительного постоянного слагаемого. Так как в дальнейг ~г~ ' гг и с' шем зто слагаемое не игра- ет роли, то под 1' мы будем Рве.
137. понимать любую из таких функций. Пусть, наконец, С, и С„ — соответственно линии, переходящие при отображениях в = 1(г, С), в = 1(г, С) в прямую о = сопи! (рис. !37). Прн этих обозначениях имеет место следующая Теорем а 2, Пусть линия С проходит через точку со и имеет там общую касательну1о с С. Если, кроме того, область Р(С) содержится в области Р(С), то: !) при любом о) О область Р(Сс) содержится в области Р(Сс), причем соприкосновение Са и С„возлтесно лишь при совпадении С и С; 2) если С и С ил!еют оби!ую правильную точку гь то в этой !очке (1'(г„С) !~((1'('г„С) (, (б) причем знак равенства достигается лишь при совпадении С и С; "! Это означает, что ливия С', получаемая из С иреобразоваиием Ь = 1/з, обладает в точке С = О касательной и конечной кривизной.
г !. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 367 м! 3) если кривые С и С задаются однозначными функциями у = у(х), у = у(х), а гг и гг соответственно — точки этих кривьгх, в которых у(х) — у(х) достигает максимума, то (7) !Г(гг, С) ))|!'(г~ С)), иричел! знак равенства достигается лишь в том случае, когда С получается из С сдвигом, параллельным оси у. В силу соображений, приведенных в предыдущем пункте, достаточно рассмотреть случай, когда С совпадает с осью х, а С отличается от С на бесконечно малом участке (а — е, а+В), на котором С есть дуга окружности малой кривизны. Но в этом случае )(г, С) = г, и согласно формуле (7) п.
34 ! (г, С) = г + — ° (8) с точностью до малых высшего порядка. Обратная функция находится так же, как в предыдущем пункте, и имеет вид а ! г = иг —— а ги — а Полагая здесь гв = и+!о и отделяя действительную и мнимую части, при фиксированном о получим параметрические уравнения линии С.: а и — а и (и — а)'+ иг ' + я (и — а)'+ ь' ' ! Из второго уравнения (9) видно, что С„ лежит в области у ) о, т. е. в области 0(Сг),— этим доказано первое утверждение теоремы. Для доказательства утверждения 2) возьмем любу!о точку оси х, далекую от а сравнительно с о, и найдем в этой точке производную функции (8); имеем: и 1 !'(х, С) = 1 —— а)г (1, что и требуется. Для доказательства утвержденна 3) обозначим через С' кривую, которая получается из С параллельным сдвигом на вектор гз — гз (вверх).
Имеем, очевидно, )(г, С*) = !(г — г, + )- гм С), откуда зва гл. 1и. ВАРЦАц!юнныс пР1н1цнпы ко11ФОРмных ОТОГРАжвннп [ч1 С другой стороны, 0(С*) принадлежит области 0(С) и гз— общая точка С и С'! следовательно, по уже доказанному утверждению 2) 11'(гм С*) 1(~1)' (ге, С) 1. Сравнивая два последних соотношения, получим искомое неравенство (7). Теорема доказана. Доказанная теорема допускает простую гидродинамическую интерпретацию. Пусть профиль дна весьма глубокого канала с плоскими вертикальными стеикаь!и, по которому движется идеальная несн1иь!аемая жидкость, имеет форму кривой С. Тогда, если в каком-либо месте канала приподнять дно, то все линии тока поднимутся и скорости в точках дна, оставшихся недефор.т!ровиннылш, уменьшатся, а в точках наибольшей дефорл!ации возрастут (см. рис, 137). 3) С луч ай полос. Пусть Сь и С вЂ” две дуги, не имеющие общих точек, кроме своих концов а1, аь При этом мы не исключаем случай, когда одна из точек а илн обе точки совпадают с ~очкой г = оо.
Обозначим через 0(СР, С) область, ограниченную линиями Сь и С, а через и =)(г, С,, С); Я(а1, Сь, С) = — ОО, ((а„СМ С) =ОО (10) — фуикцао, реалнзующую конформное отображение области 0(С,, С) на полосу О < о < 1. Функция !" (г, СА,С) определена с точностью до действительного слагаемого, которое пока нас интересовать не будет. Через С, мы будем обозначать линшо, псрсходяшу!о прн отображении (10) в прямую о = сопз1 (О< о <1). Предположим еще, что линни Сч и С задаются с помощью 1 однозначных фУнкций У = Уь(х) и У= У(х) таких, что !1Уч(х) ! (у'(х)! не превосходят положительной постоянной и!. Рас! смотрим пучок параллельных прямых у = йх+ Ь, где 1lт! < —, Р!! каждая нз которых пересекает С, н С не более че м в одной точке .
Точку гг контура См в которой отрезок прямой пучка заключенный между Сь и Со, достигает наибольшего значения и соответствующую точку гь контура Сь мы будем называть точками наибольшей деформации (в направлении й). 1!мест место Теорема 3. Если область 0(СмС) содержится в области 0(СР, С), то: 1) прн л!обоз! 1 (О о < 1) область 0(С„С) содержится в области 0(С,, С), причем соприкосновение линий Ст и С,, возмомсно лишь при совпадении Сь и Сь, 4 Е ОСНОВНЫЕ ВКЕИКЦНОННЫЕ ПЕИНЦНПЫ зез 2) если линии Сь и Сь имеют общую точку гь то в этой точке 1!'(гн Сь, С)1~~(Г(гн Сь, С) (; (11) (12) Рис. )38 (14) где а — площадь выброшенной луночки.
Утверждение 1) теоремы проверяется так же, как н раньше, и на его проверке мы останавливаться не будем. Для доказательсгва утверждений 2) и 3) рассмотрим производную функции (14). На оси х имеем: 1" (х, С, С) = 1 — — < 1 о — 4, п(х — а) ь)Р откуда следует неравенство (11). На прямой у = 1 + 4 я!х — а) сьч г я! откуда следует (12) (мы воспользовались тем, что зЬ) — +г) = :=- ! сп г). Для доказательства утверждения 4) обозначим через С; и С' линии, которые получаются из С и С поступательным сдвигом 3) в любой точке г линии С ! Г(г Сь, С) !)!)'(г, С„С) ); 4) в точках наибольшей деформации 1) (гь Сч, С) 1)! !'(ге, См С) ). (13) Знаки равенства в (11) — (13) достигаются лишь при совпадении линий Сь и С.
Как н в ранее разобранных случаях доказательство г ~ у с„ можно провести в предпо- г ложении, что )3(Сь, С) является единичной полосои Оу(1 (Сь — осью х, С— Ц, прямой у =!), а Сь совпалает с Сч всюду, кроме ма- 'гг,, г, ' лого участка (а — е,а+в), где она является дугой окружности малой кривизны.
В этом предположении функция !(г,С,,С) на основании формулы (13) п, 34 имеет вид: и = ! (г, С„С) = г+ — с1)з Зта ГЛ. 1И БАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 1ОО на вектор го — гь Очевидно, функция и1=1(г, Со, С')=)(г+го — гм С,, С) (16) реализует отображение 0(Со, С*) на полосу 6 < о < 1. Так как '! 0(С„С) содержит область 0(Со, С) и Со имеет общую точку *, гг с Со, то по (11) ! Г(г, Со, С) !<! Г(го, Со С) !. (16) С другой стороны, так как 0(Со, С) содержится в 0(Со, С*), то по (12) в любой точке недеформированной границы Со и, в частности, в точке й, !Г(гг Со С ) !<~!Г(гь Со С) !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
