М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Согласно сказанному выше в рассматриваемом случае длина струи и глубина пробития равны длине образующей конуса. В закл!оченне отметим, что все приведенные факты и выводы теории первого приближения полностью подтвердились на опыте в достаточно широких пределах диаметров зарядов, форм и толщин оболочек, для материалов различных плотностей и прочностных свойств. Однако накопилось и достаточное количество фактов, не укладывающихся в изложенную теорию и требующих для своего даже косвенного объяснения существенных дополнений к этой теории. Некоторые такие факты и связанные с ними постановки задач читатель может найти в статье М. А. Л а в реп тьев а (20); см.
также книгу М. А. Л аврентьева и Б. В. Шабата(21! 59. Задачи теории упругости. Мы приведем здесь несколько примеров решення задач, поставленнык в и. 51, !) Решение основвых задач для круга. Пусть область () представляет собой единичный круг, н требуется найти упругое равновесие прн заданных на еднннчной окружности С внешних напряженнях Р, =Х„ Р!У„ (задача 1) нлн смегпеннях я = и+ гп (задача П). Согласно результатам и.
5! решение этих задач сводится к отысканию двух апалнтнческнх в круге (а( ( ! функций д(г) н ф(г], связанных на окружностн для случая задачи 1 условием гр (ь) + ьф' (ь) + ф (з) = г (ь) где ((ь) =! ~ ягл г(з — заданная на с функцня (см. формулу (8) и. 51; в соответствнн со сказанным там в этой формуле можно положить А = 0), а для случая задачи П условием Кф (Ь) — Ьу' (ть) — ф (~) = 2ря (й), (2) где н н р — постоянные (см.
формулу (4) и. 5!). Рассмотрим подробно решение задачи 1. Для полной определенности задачи примем условня р (О) - 1ш ф'(О) = О (3) 660 ГЛ. И!. КРАЕНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [зв (ср, формулу (10) п. 61). Воспользуемся теперь тем, что значения ф(Г) являются предельными значениями функции ф(к), аналитической в круге )а) ( 1. По формуле (22) п. 62 с учетом условий (1) и (3) мы получаем тогда для всех г, )2) ( 1, соотношение Так как функция <р(г) аналитична в круге )а) ( 1, то, пользуясь формулой Коши, это соотношение можно переписать в виде ф (2) + —.
) — бь = —, ! уд~> ! ! !(е)б~ 2нг .1 ~ — а 2н1 .1 (4) Мы получили уравнение длн определения функции гр(2). "1тобы решить его! подставим тейлоровское разложение 1р(а) = ч'1 саз" в шггеграл в левой А=О части (4): Выделенный член по интегральной формуле Коши равен с,а; чтобы преобразовать второй член, заметим, что на окруткности ь = 1/0, и следовательно, подынтегральную функцию можно переписать в виде *) причем зтот ряд сходится при )ь) ~ 1.
Интегрируя почлеппо, найдем, что второй член в правой части (5) равен 2сз. Таким образом, из формулы (4) мы находим следуюшее выражение для искОИОЙ функции гр(2): (6) Остается апределнть постоянные с! ф'(О) и с,= — лля чего доста. фм (О) г точно продифференцировать (6) один и два раза по г и затем подставить я = 0; мы получплн ') Мы разложил! 1/(ь — л) в ряд по степеням а/Е и перемножили па1ин разлозкения.
(~) с ь г А 2 А 2 ф (2) = — ) ! )(дд( — сгл — 2сз. 2я(,) С р „~ ~ Г Р (() 1 Р)(е) (2 2н) ) чгз С С 351 $4 ПРИЛОЖЕНИЯ ее! Второе уравнение вполне определяет с,, относительно первого заметим прежде всего, что оно разрешнцо лишь при условии !ш —. ~ — ц=!ш — ~ )(ц и~=о Г 1(С) 1 Г 2п1,1 ~' 2п,1 (пы воспользовалнсь тем, что ь = 1/Э на С), которое после подстановки 1 = 14 + 414 и 4(Ь = с4х — Ыр переписываются в виде 14 4(х + 14 Ыр = 0 С (8) н физически выражает условие равенства пулю главного момента внешних напряжений (ср. формулу (9] п.
51). Прн этом условии первая формула (7) определяет действительную часть сь а ее мнимую часть мы полагаем равной пулю в соответствии с принятым условием (3). Итан, функция 9(г) определяется формулой (б), в которой постоянные с, и с, находятся нз формул (7). Зная эту функцию, мы находим из условий (!) граничные значения аналитической функции ф(г) и по этим значевням при помощи формулы Коши восстанавливаем значения ф(г) внутри круга: 4)(г) = —, ) Г 1(е) и~ ! р,,(),ц ! Г е,;(е) — — — 4(ь. (9) 2и1,) Ь вЂ” г 2н1,~ Ь вЂ” г 2и1 З' Ь вЂ” г С С С Второй пнтеграл справа по формуле (22) п. 52 равен гр(0); третий интеграл легко вычисляется по теореме Коши о вычетах: Г е,р ( ) ! Г ,р (г),(~ ,р (о) р (.) + 2п4 г ь — г 24!1,1 ь (ь — г) г г С С (ны воспользовались тем, что ь = Щ на С, а также тем, что подынтеграль- ная функция внутри С имеет два полюса первого порядка: ь = 0 и ь = г; вычеты в этих полюсах вычисляются по формуле (5) п.
23). Таким образом, формулу (9) можно переписать в виде Г ж~~ 'Ю 'КВ 2 и!,) ~ — г г г С Согласно сказанному в п. 51 постоянные слагаемые в формулах (6) и (!0) можно отбросить как несущественные, и с учетом формул (7) мы получим решение задачи 1 в окончательном виде 94 (г) = —. ) " ((и 2пга Ь вЂ” г С ф(г)= —. ( Г )(е)и~ 2п1,~ ~ — г С вЂ” — ) — и~, 1)а Еи) .) Р С 1 Г 1 (Ь) , Ч ' (г) + — ) — т 4!ь — — ° еи1г .) ь' г С 1зз ГЛ.
И!. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И Ик ПРИЛОЖЕ!П!Я 352 ф(г)= —. ~ + — ж ! р ( а (ь) !(ь с, хи(,~ Ь вЂ” г х С ф(г) = — —.~ М 1 а(0!(~ гр'(г) с, л1л 5 — г г С (12) где С С (13), 2) Случай плоскости с круговым отверстием. Для этого случая основные задачи теории унругоста решаются аналогично. Предположим сначала, что главный вектор внешних напряжений, приложенных к контуру, а также напряжения на бесконечности, обращаются в нуль, т. е, что Х =?' = О н Г = Г = О. (14) Как мы видели в п. 51, нз этого предположения следует, что функции !Р(г) и ф(г) правильны в бесконечно удаленной точке; мы предположим еще, что р( ) =О.
Так как значения зр(г) на окружности С, которую мы по.прежнему будем считать единичной, являются предельными значениями функции, аналнтиюской вве круга )г( ) 1, то по формуле (23) и. 52 с учетом краевого усчовия (1) мы получаем для всех г, )г( ) 1, соотношение нли на основании формулы (20) п. 52 и условия ср(сч) = О, -гр(г)+ —.. ~" —.ь= —.
~" Р У(» „1 Р)(ЦЛО йгы .) ~ — г ь 2л!,) ~ — г С С ° и-,! с Пользуясь лорвновским разложением !р (г) = у —, сходящимся при а' х=! )г( 1, мы в точности так же, как в случае круга, получим, что интеграл в левой части последней формулы равен нулю и таким образом р(г)=- —. ( 1 (' ) (а) Д~ 2п(з 'й — г' С (15) Теперь можно определить граничные значения гр(ь), найти по формуле (!) граничные значения ф(~) и по формуле (20) п, 52 построить с их помошью значения ф(г) при )г( ) 1: ф (г) Г ф(й) С~ 2Л1 .1 й — г +ф(-) С Задача !! для единичного круга решается вполне аналогично, и внесто ' (11) мы приходим к формулам Э 4. ПРПЛОЖЕППЯ ай 353 !' ф'(5) б~ р (2) ) ь (ь — 2) С получаем окончательно ф (2)= — — ) 1 1 1(Ь)4(Ь ф (2) 2и(" 5 — 2 2 С (!6) (мы отбросили несущественное постоянное слагаемое).
Перейдем к общему случаю, когда условия (14) не выполняются. По форчулам (20) и. 51 мы имеем тогда: ф(г)=Г2 —, Ьпг+фэ(2), х+ !у ф(2)=1 2+и 1пг+фэ(2), (17) где грэ(г) и фэ(2) — однозначные аиалипщеские прп )г) ) 1 функции, причем мо!кно положить грэ(ао) = 0 и считать, что вращение иа бесконечности отсутствует, т. е. что à — действительная постоянная.
Подставляя эти выра!кения в нраевое условие (1), получим, что граничные значения функции фэ(г) и фэ(2) свЯзаны Условием точно такого нге аида, в котоРам щ!шь в пРавой части вместо фуницни !(5) стоит (а (Ц =( (чэ) — 2Г5 — — + ', Сп 5+, ' ч' (18) Г' Х+ !'У Х гр 2 2п 2н (1 + и) (мы воспользовал!шь тем, что и = 1445 на С и что à — действительная постоянная). Заметам еиге, чта функция !4(Ц однозначна па С, ибо приращение )(5) при обходе с, равное х+ 4У, компенсируется приращением логарифмического члена.
Таким образом, отыскание функций грэ(г) и ф,(г) свелось к унге решенной зздаче и, следовательно, эти функции найдутся по формулаи (15) и [16), а которых функция ((Д заменена функцией (э(гь) нз (18). Теперь остается найти по формулам (17) функцпн гр(2) и гр(г), т. е. задача будет решена и в общем случае. Вторая основная задача решается вполне аналогично, 3) С луча й п ол у плоскости. Пусть область ГГ представляет собой нижню!о палуплоскость. В этоы случае для решения основных задач мы продал!ким функции ф(г) и ф(г), определенные в (), в верхнюю палуплоскость. Именно, для г в верхней полуплоскости мы положим по определению ф (2) = — 2ф (2) ф ф(2) + сопя!; (!0) тогда ф (2) = — ф (2) — 2ф (2) — ф (2).
(20) Обозначив чеРез ф (х) и фь (х) пРеДельпые значениа ф'(2) пРп г -э х соответственва справа и слева от аси х (т. е. яз нижней и из верхней полу- плоскости), мы будеы иметь; ф+ (х) = — 4р (х) — х4р (х) — гр (.с). (21) Подставляя сюда значения ф(5) пз (1) и пользуясь легко доказываечылги саатнон!ениями ГЛ. И1, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Н ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 354 С другой стороны, из формул (26) п. 50 получаем в нижней полупласкости ӄ— 1Х„= р'( )+ р'( )+ йд(г) +ф'(г). (22) Таким образом, продолжение (20) функции гр'(г) в верхнюю полуплоскость оказывается аналитическим продолжением этой функции через незагруженныс участки оси х. Через функцию ср'(г), распространенную в верхнюю полуплоскость, выражается и функция ф'(г). Чтобы получить это выражение, заменим в формуле (20) г на г (так что г бу.ает лежать в нижней полуплоскости) и перейдем к комплексно сопряженным величинам; тогда найдем: ф' (г) = — ф' (г) — Ч~' (г) — гсач (г) (г лежит в верхней полуплоскости).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
