М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 66
Текст из файла (страница 66)
На берегах разреза эта функция принимает чисто мнимые значения, отличающиеся знаком: д+ (х) = — д (х) =11~ —. о а+к (5) Построим окружность (. с центром в начале координат достаточно большого радиуса )с, и к двусвязной области, ограничен- Так как комплексный потенциал поля может оказаться многозначной функцией, удобнее рассматривать его производную дат дс7 . д — = — + 1 — = и + 1о, которая заведомо однозначна.
дх дх Задача, таким образом, свелась к следующей: найти аналитическую вне о~резка ( — а, а) и равную нулю на бесконечности функцию, мнимая часть которой о(х, у) на верхнем и нижнем берегах этого отрезка принимает заданные значения: 1 о [а — Г+ (х)) = о+ (х), о —— дх ~ о [а — Г' (х))=о (х). (3) гл.
ш. хихввыв задачи и их поиложвния 332 ной этой окружностью и кривой 1, охватывающей отрезок, применим интегральную формулу Коши: ых Так как при г- оо функция 1',(г) - О, а д(х) — 1, то интеграл вдоль 1. стремится к нулю при 1с - со. На противоположных берегах разреза произведение од(г) в силу условий (4) и (5) принимает одинаковые значения, следовательно, интегралы от него вдоль этих берегов сокращаются. Поэтому формула (б) в пределе, когда Р— оо и 1 стягивается в отрезок, дает: Применим теперь формулу Коши к тому же контуру 1. +1 и к функции 1~(г): 1 1 й 13) с+! на основании условий (8) и (4) в пределе, когда 11 - оо и 1 стя- гивается в отрезок ( — а, а), мы получим отсюда: а (,(а)= —, ), г%.
! 1 о+ — о- -а (9) Совершенно аналогично, применяя формулу Коши к функции 1з(а), мы найдем, что на действительной осн пРн )х) ) а эта функция принимает чисто мнимые значения и, следовательно, для нее имеют место условия симметрии и, (х, — у) = — их (х, у), ое (х, — у) = о, (х, у). 110) Исходя нз формулы Из этой формулы видно, что на действительной оси прн )г~) а функция )~(г) принимает действительные значения. По принципу симметрии отсюда следует, что имеют место следующие условия симметрии: и,(х, — у) = и,(х, у), о,(х, — у) = — о,(х, у). (8) 5 С ПРИЛОЖЕНИЯ ззз и) мы, как и выше, получим на основании условий (1О); О -Р Складывая (9) и (1!), найдем решение задачи в виде Эта формула дает приближенное распределение скоростей в потоке, обтекающем тонкое крыло.
Из нее видно, в частности, что в окрестности бесконечно удаленной точки имеет место разложение дзг Г+ и'1' ! де Ри е где Г= ~. :'(в++в )'1„/ а д$, Ф= — ~(о~ — о )с($ г а+1 соответственно физически означают циркуляцию и поток, вычисленные для любого контура, окружающего крыло (см. и.
4б). Заметим, что, как видно из формул (3), здесь У = О, Метод обобщается на случай, когда граничные значения д(У 1ш — заданы на берегах системы отрезков (ах, (и,), й = = 1, 2, ..., н, действительной оси. 2) Обтекание тел газовыми потоками. При больших скоростях движения самолетов, сравнимых со скоростью распространения звука, существенное влияние начинает оказывать сжимаемость воздуха. Поэтому методы классической гидродннамики, в которой среду считают несжимаемой, становятся неприменимыми и мы вступаем в область газовой динамики. Основные уравнения гидродинамики для этого случая существенно осложняются.
Уравнение неразрывности йч рУ = О (р — плотность среды), которое в случае несжимаемой среды сводилось к условию йт У = О (см. п. 46), теперь записывается в полном виде д (рУР) д (рУР) йтрУ = + =О (13) (мы ограничиваемся плоско-параллельными установившимися течениями), Из (13) следует существование функции тока гл. пь краевыв залхин и их приложения !5т 334 о = о(х,у) такой, что до до р)'. = р —. р1', = — ро —,„.
° (14) (15) Сравнивая (14) и (15), мы придем к системе уравнений газовой динамики: до р до до р дн (!6) ду ра дх ' дх ра ду которая в случае несжимаемой среды р = р, переходит в систему Коши — Римана. Система (16) неполна, ибо неизвестно, как меняется величина р. К этой системе следует добавить уравнения движения, которые в дополнительных предположениях о том, что плотность р зависит лишь от давления р (условие изэнгропичности) н что внешние силы отсутствуют, имеют вид 2 дгас1 — Рв = — — пгаб р, 2 р (! 7) где а =- 1тг — — ~корость распространения звука в среде в).
/ ар др Уравнение (17) допускает интеграл (так называел!ый интеграл Бернулли) — 1гт+ ~ — =сопз1. 1 ! др 2 Предположим наконец, что поток адиабатный, т. е, что — н (18) где и и н = ср/ст (отношение теплоемкостей) — постоянные, характеризующие газ. В этом предположении ! — = рн-!= ! др йн р н — ! ! = — аа, причем постоянную в правой части интеграла Бер- 1 2 нуллп можно записать в виде — )гн,„„, где Р,„— максимально ") Относнтельно вывода уравнений (!7) н других соотношеннй сн., напра. нер, Н.
Е. К о ч н н н И. А К н б е л ь !6), т. 11, гл. !. где ра — некоторая постоянная. Условие отсутствия вихрей го1 У = О, которое мы дополнительно налагаем, запишется так же, как в п. 46 и приведет к существованнюпотенциальной функции и = и(х, у) такой, что ГЛ. !П. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧП П ПХ ПРИЛОЖЕНИЯ зза и примем скорость потока, набегающего на профиль, 1т = 1. и — ! Тогда интеграл Бернулли (19) даст один раза' = — (Г',„— — 1), а другой: ! м~ — ' м'„( '„+,' — !) а+и — ! М~(иа+„и 1)+ где М = —. Если подставить это разложение в уравнение ! и„' (22), то последнее будет содержать М в качестве параметра.
Имея это в виду, будем искать решение уравнения (22) в виде ряда и=и +М и +М и + где ии = иА(х, у) — неизвестные функции. Подставим это в (22) и приравняем коэффициенты прн одинаковых степенях М; получим систему уравнений: (23) и' + и' =и' (и')'+2ии и'и'+и' (и")', Первое из них является уравнением Лапласа, а остальные уравнениями Пуассона Лии = !А(х, у), правые части которых определяются при решении предыдущих уравнений (их сложность возрастает с увеличением номера).
Краевое условие имеет вид дии ди' — = — = ... = О на профиле а ди и выражает условие обтекания профиля. Функция и'(х, у) представляет собой потенциал скоростей при обтекании профиля потоком несжимаемой жидкости. Мы будем считать ее известной и ограничимся тем, что укажем, как найти первый поправочный член и'(х,у). Для этого представим гармоническую функцию и' как дейо ! ствительную часть аналитической функции ! (г): и" = — (! + !), откуда находим ии = ~ ()'+ !'), и'„= — (à — Г) ° ° ° ФУнкцию и' мы представим в виде и' =Г(х, г) и, пользуясь символами з « пяпложсння ззт д д комплексного дифференцирования — и = (см. п. 56), найдем д«дг дР дд 1 ./дк дд~ и' = — +=, и' =1( — — — ), ...
д« дг ' э ! д« дг !' ' Подставляя эти выражения во второе уравнение (23), мы представим это уравнение в комплексной форме: 8 =)"!' +Г"~'. дз дд Общее решение уравнения (24) легко написать на том оснод ванин, что для аналитической функции ) имеем =1=0 (см. ди. 56), а для сопряженной к аналитической — 1=0; поэтому дг прп интегрировании по г можно считать постоянной 1, а прн интегрировании по г — функцию !.
На этом основании мы интегрируем (24) сначала по г, а затем по г, и находим: 8и' = 8Р =~'д+)'8+ Ь+ й, (25) где д= ) )' г(г, д= ) )' дг — известные функции, а Й и 5— произвольные аналитические функции соответственно аргументов з и з, причем Б(2) = й(з). Таким образом, функция л + Й вЂ” гармоническая; ее отыскание сводится к решению задачи Неймана (см.
п. 44), ибо граничные значения ее нормальной производной определяются из ди' краевого условия — = О. ди Метод Янсена — Рэлея в 40-х годах применялся и усовершенствовался многими авторами, которые, широко используя методы теории функций комплексного переменного, решили до конца задачу об обтекании газовыми потоками ряда важных профилей. 4) М е т о д С. А.
Ч а п л ы г и н а — второй приближенный метод ренюения задачи обтекания профилей дозвуковыми газовыми потоками, которой мы хотим описать — основан на идее, сформулированной в классической работе С. А. Ч а пл ы ги н а «О газовых струях» (!904 г.), и состоит в замене аднабаты р = Ь = Фри(и ) 1) гиперболой р = а + —, причем постоянные а и Р Ь подбираются так, чтобы гипербола касалась адиабаты в какой-лнбо точке. Этот прием соответствует замене истинного газа фиктивным, для которого и = — 1, что позволяет значнтелыю упростить математический аппарат. Для вывода нужных уравнений введем так называемую плоскость годографа (1Р„, 'ги), а в ней — полярные координаты зза ГЛ. И1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ У, О (модуль скорости и угол ее наклона к оси Ух).
Тогда будем иметь У„= Усов О, У„= Уз(ИО и на основании системы (16) получим с(и+ 1' Ре г(о (Ух г(х + Уя г(у) + 1 ( — Уя гтх + 1/х г(у) = Уе-1е г(г ди ди где, как всегда г(г = г(х+ 1ду. Заменяя Ыи = — с(У + — с(О и аналогично г(п, найдем отсюда: ахя дх Приравняем теперь смешанные производные — и после сокращений получим: Отделение действительных и мнимых частей приводит к так называемым уравнениям годографа ди и ( ра А дп ди роУ до аУ аУ'1рУ) аЕ * аа р а1 ' (26) которые линейны относительно Уг и О (полярных координат вектора скорости). Уравнения (26) были получены С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
