М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 68
Текст из файла (страница 68)
13н р У' = р 1" (2) гл. пс крхгвыс задачи и пх прпложсния 344 вв Для упрощения постановки задачи рассмотрим функции ~ =1п)' (з) =!п Я ~з (гв)~ = Р (гв) (й = 1, 2)„(8) где г = га(гв) — функции, обратные (4), в зависимости от переменной ги. Эти функции должны удовлетворять следующим граничным условиям: соответственно вдоль прямых о = д~ и ' ч2 Ке Р, (гг) =!и Г, и КеР2(ги) =1п У, + — 1п — "', (5') 2 р.,' вдоль положительной полуоси и Ке Рз(ю,) =КеР,(ге,) + — !и Р', 1т Рт(ги,) =!тР, (гв,), (6') 2 р~' где вь=~ь(з), а на верхнем и нижнем берегу отрицательной полуоси и 1щ Р, (ю) = О и ! т Рз (ге) = — и. (7') Из (6) следует, что газ= у — 'гво и тогда из (6') можно /Р, Р~ заключить, что функция Р,( — гв) — — !од — является анали(,рг ) 2 р~ тическим продолжением Р,(ы) через положительную полуось и.
Таким образом, задача свелась к отысканию функции Р(гв) = = Р,(ы), аналитической в почосе — д,1~ †' < о < д, с разрег р~ зом вдоль отрицательной полуоси и, которая на границах полосы удовлетворяет условию Ке Р =! и 1'и а на верхнем и нижнем берегах разреза соответственно — условиям !гп Р(гз) =О, 1гп Р(ф) = — я. Далее, без ограничения общности можно принять Г, = 1, тогда будем иметь д~ = г, и, в силу (5), д,1/ — '' =г,. Так как, Р~ кроме того, согласно механическому смыслу задачи величина Ке Р(ы) ограничена сверху, то функция ь = Р(в) должна реализовать конформное отображение полосы — гз < о < г, с разрезом вдоль отрицательной полуоси и на полуполосу с соответствием граничных точек, указанным на рис.
132. Эта функция находится элементарным образом. В самом деел, отображение полуплоскости 1щ в ) О на полосу с разрезом с соответствием точек, указанным на рис.132, мы находим 'по формуле Шварца— % 4. пппложепия 346 Кристоффеля в точнрсти так же, как и в примере 2 п. 39*); и!= — '1п(ет — 1)+ — '!п(от+ 1) — ' ' 1п(сп — а), где а = ' ' . Полуполоса отображается на зту полуплоскость г! + г» ' с нужным соответствием точек по формуле от=а!п ! — — !91= ~2 = с1! ь, следовательно, функция, обратная функции ь = Р (ш), имеет вид гп = — '1п (с!тЬ вЂ” 1) + — '1п (с!! Ь+ 1) — — ''!п (с!! ~ — — ''1. (9) Л Д и г! + ггг ' д!о Зная функцию Г(н!), по формуле (8) находим 1'(г) = — „=ег !"', откуда г = ~ е-"!'"'сйо О (10) (мы опускаем индекс 1 в обозначениях функций 7 и г").
Пользуясь этой формулой, можно определить форму струй, а также распределение скоростей в потоке. Случай осевой симметрии. В этом случае решение задачи о соударенни струй в столь законченной форме, как в плоском случае получить не удается, Если рассматривать рис. 131 как осевое сечение потока и через х обозначить координату вдоль осп, а через у — расстояние до оси, то вместо системы Коши— Римана мы получим систему до ди до г7и — = — Д вЂ”,, — =Ц— (11) дх од ' др д» *) В примере п. 39 соответствпе точен ппое, чеп здесь. (ср.
уравнения (12) п. 56). Изучение свойств решений этой системы относится к общей теории каазпконформных отображений (см. и. 56), развитой еще недостаточно. Поэтому приходится ограничиваться общими качественными соображениями этой теории и на их основе получать факты, на которых можно построить теорию первого приближения. Приведем несколько таких соображений и фактов.
1'. При у- +оо линии 1.! и йе имеют кривизну разных знаков и асимптотически приблнжа!отся к некоторой прямой у = = х!да+ Ь. Таким образом, существует асимптотпческий конус, к которому приближаются свободные поверхности струйных потоков, ограничивающие так называемую «пелену» (рис, 133), ГЛ. Н1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 346 где г) — малая высшего порядка относительно 6. Чтобы выяс-,' нить физический смысл этого соотношения заметим, что его ле-: вая часть выражает плошадь сечения пелены, а пг', и пг, '— пло.
шади сечения струй прн к — -г-ео (см. рис. !33). Вдали от места встречи струй, т. е. при больших (х( х скорости во всех точках сечений каждой из струй примерно одинаковы (равны для первой струи н 11 для второй). Поэтому условие несжимаемости жидкости, которое выражается условием постоянства расхода, для каждой из струй запишешься в виде пг' = 2пуб, где 6А — ширина полосы, заключенной между ЕА и у (Ф =, 1, 2; 61 + 62 — — 6), складывая эти два соотношения, мы и придем к (12). 3'.
Из теоремы о постоянстве количества движения можно получить важную для дальнейшего связь между радиусами струйных потоков, их плотностями и углом а. Рассмотрим два элемента струй вблизи оси к при х ж ~оо, представляющие собою цилиндры высотой 1; их суммарное количество движения будет направлено по оси к и равно 1 11 1 1 Р212 2' После соударення и по прошествии достаточно большего вре- мени эти элементы будут находиться вблизи аспмптотнческого конуса и проекция нх суммарного количества движения на ось х будет равна 1 =(пр,г',У, + яр г~У )сова. По теореме о постоянстве количества движения имеем 11 = 12, откуда, полагая тг Рг г г Р1 (13) и используя соотношение (3), найдем: соза= ~~ 2 1 1 — сога 1+ЛА Я = ~ 1+„„.
(14) 2'. Ширина 6 полосы, заключенной между линиями 1, и 1.2,.' стремится к 0 при у- +оо, причем 2пуб = пг', + пг, '+ 21, 5 4. ПРИЛОЖЕНИЯ Приведенных фактов достаточно для построения расчетных формул приближенной теории кумуляции. 3) Теория пробивания. Рассмотрим уже разобранную схему соударения двух жидких струй в системе координат, относительно которой левая (толстая) струя неподвижна. В этой системе координат скорость правой, подвижной, струи будет равна гв =)т, +)тг =(1+ Л) )тг. Скорость места соударения струй )ти которая в теории кумуляпин будет являться скоростью проникания (мы обозначим ее через о>), равна, следовательно, л ы=л)тг = ~ ! +л (15) Таким образом, скорость проникания кумулятивной струи всегда меньше скорости самой струи.
В частности, если струя и броня имеют одинаковую плотность (Л = 1), то скорость проникания вдвое меньше скорости струи. Из формулы (15) вытекает также следуюший важный факт: если некоторое фиксированное сечение струи передвинется иа расстояние Н, то точка проникания струи передвинется на рассг овине Ь=Н вЂ” = — Н, и л в 1+л а струя при этом укоротится на величину Н вЂ” Л=Н'(1 — — ") = —,', Н. Таким образом, отношение длины израсходованной части струи йг = Н вЂ” й к длине пробитого участка й равно ь, и — ь ь л' откуда т ш (16) В частности, если плотность струи и брони одинакова, то й = пг, т.
е. глубина пробитая равна длине, израсходованной на это пробитие струи. Формула (16) хорошо увязывается с предположением о том, что кумулятивная струя имеет конечную длину. Пусть цилиндрический жидкий стержень, диаметр которого мал в сравнении с его длиной, ударяется соосно в другой цилиндрический жидкий стержень. В период, близкий к моменту начала соударения, мы имеем резко выраженный неустановившийся процесс. Однако, Гл, и!. кРАеаые зАдАчи и их пРиложеиия |55 опираясь на общие принципы, о которых говорилось выше, можно показать, что явления, происходящие в голове струи, заметно влияют лишь на расстоянии 2 — 3 диаметров струи.
Когда реальный процесс приближается к рассмотренному выше установившемуся, на эти явления израсходуется лишь небольшая часть струи (в несколько диаметров), которой можно пренебречь. Поэтому длину части струи lг„израсходованной на пробитие, можно считать просто равной длине струи, и мы получим следующую приближенную формулу для глубины проникания кумулятивной струи: Ь=)ут р'а, Р! (17) где а — длтша струи, р,— ее плотность и р! — плотность брони. 4) Теория формирования кум ул яти в ной струи. Рассмотренная выше схема соударення двух струй при р, = ра может быть также положена в основу расчета параметров кумулятивной струи.
Для этой цели введем новую, подвижную систему координат, которая движется вдоль оси х справа налево со скоростью )т(сов!к. В этой системе коническая пелена движется по нормали к своей поверхности со скоростью Ю' = )т1д и, скор рость кумулятивной струи оказывается равной !в=)т+ СО5 Н Подставляя 1т = )Рс18а, мы получаем выражение, формулу для скорости кумулятивной струи в зависимости от угла сс и «скорости обжатия» конуса Ю'! 1" ~ 1 + соа а ) с1к а' (18) Легко получить также выражение для радиуса струи в зависимости от угла а и толщины оболочки в одном из ее сечений *).
Примем толщину оболочки, например, при у = 1 равной б. Тогда согласно (12) будем иметь приближенно: 28 =ге|+ г', а согласно (14) |! . / ! — СО»а т, т' |+сова откуда для радиуса кумулятивной струи получим выражение гт = 3/сб(! — сова) = )/26 51п —. (19) ") Зная толщину одного сечении оболочки, можно определить во|о обо. лочку, ибо геометрия оболочки определнетсн формой пелены, создаваемой двумя струями. м! 4 4. приложения Как и в теории пробивания от рассмотрения идеальной схемы перейдем к расчету (в первом приближении) реального кумулятивного заряда.
Рассмотрим случай, когда оболочка заряда представляет собой конус переменной толщины, определяемой по формуле (12), и когда заряд таков, что все элементы оболочки мгновенно получают скорость (р', постоянную по величине и направленную нормально к асимптотическому конусу. Если толщина конуса мала в сравнении с его высотой, то начальной неустановившейся фазой процесса можно пренебречь и, следовательно, считать, что формирование струи происходит по схеме, изображенной на рис. 130: обжимающийся конус выдавливает из себя проволоку, радиус которой определяется по формуле (!9) и которая движется со скоростью, определяемой по формуле (18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
