М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 63
Текст из файла (страница 63)
дх ду Первое нз краевых условнй можно интерпретировать как задание производной по направлени!о, составляющему известный угол с дтгон Сь Пользуясь формулой Чизотти из п. 44, можно построить нонформное отображение х! = 1(х) области Р на область Р, так, чтобы дуга С! перешла в верти. кальную прямую, и направления, в которых известна производная — также в вертикальные направлении; форма образа кривой С, при этом определится. При этом на заданные функции следует наложить такве условия, поды образы дуг С, и Сэ ограничивали односвязную область Р!.
Как н в разобранном выше случае, задача сводится после этого к задаче дп Дирнхле для частной пропзводной — . дд ' 4) Смешанная задача для гармонических функц и й формулируется следующим образом. На границе С односвязной области Р заданы точки а!, Ь!, аз, Ьз, ..., а„, Ь„, расположенные в гож порядке, в которож они выписаны, и на дугах (аы (гг,), (Ьз, аае!) (й = 1, 2,..., и; а„„.! —— = а!) заданы соответственно действительные функции грн(ь) и ф(Ь). Требуется найти гармоническую и ограниченную в области ГЛ. П1, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 314 Р функцию и(г), удовлетворяющую граничным условиям: и=ф(ь) на (а».
6,), д„—— Ф(ь) на (Ьы а»+!), (11) ди д» где — обозначает производную в направлении внутренней д» нормали к С. Докажем разрешимость н единственность решения смешанной задачи. Очевидно, с помощью дополнительного конформного отображения задача сводится к частному случаю, когда область .Р представляет собой верхнюю полуплоскость и граничные условия (11) имеют вид и=!р(х) на (а», Ь»), — =ф(х) на (Ь», а»,,) (12) ду (способ сведения такой же, как обычно, см., например,б) и. 44). Для этого же частного случая решение смешанной задачи дается с помощью формулы Келдыша — Седова.
В самом деле, пусть 1(г) = и+ !о будет аналитическая в верхней полуплоскости функция, имеющая и своей действительной частью, и )! (г) = )' (г) = и, (х, у) + »о, (х, у). ди дв ди Имеем: и, = — , о, = — = — — , следовательно, граничные дк ' дк ду ' условия (12) для функции 1!(г) принимают вид и, = ф'(х) на (а», 6,), о, = — ф (х) на (Ь», а»„,). (13) Решение )!(г) задачи (13) дается формулой Келдыша — Седова (13) предыдущего пункта, причем принятое там условие об ограниченности интеграла ~т!(г) дг вблизи точек а» н ЬА обеспечивает ограниченность решения и(г) задачи (12), которое определяется через )!(г) по формуле и (г) = !!е ! ) ! (г) с!г. При сведении задачи (12) к задаче (13) мы днфференцируем функцию ф(х), заданную на совокупности и отрезков (а„,Ь„), а затем, применяя формулу (14), интегрируем построенную функцию )!(Е).
Поэтому наш метод приводит к функции и(г), совпадающей на отрезках (амЬ») с заданной функцией ф(х), лишь с точностью до постоянных слагаемых (разлнчных для разных отрезков). Однако наличие в формуле Келдыша — Седова и произвольных постоянных позволяет выбрать эти сла- $ з. ПРИЛОЖЕНИЯ гаемые так, чтобы значения и на (амди) в точности совпадали с ~у(х). Таким образом, разрешимость смешанной задачи для гармонических функций доказана. Докажем теперь единственность решения этой задачи в классе ограниченных гармонических функций.
Пусть будут л,(г) и ид(г) — две гармонические в верхней полуплоскости ограниченные функции, удовлетворяющие условию (12). Разность и(г) = и1(е) — из(г) также ограничена и гармонична в верхней полуплоскости, причем ди и=О на (а„Ь,), — =О на (Ьы пью). ду ди По принципу симметрии п. 42 гармоническая функция — доду пускает аналитическое продолжение через совокупность отрезков (Ьмахм), следовательно, такое продолжение допускает и функция и. Продолженная функция и оказывается ограниченной и гармонической вне совокупности отрезков (аю Ьи), а на этих отрезках она принимает значения, равные нулю. Таким образом, функция и решает задачу Дирихле для плоскости с выброшенными отрезками (амди) при нулевых граничных значениях. По теореме единственности решения задачи Дирихле и = О, что и требовалось доказать. $4.
Приложения В этом параграфе мы рассмотрим приложения методов теории функций комплексного переменного к некоторым вопросам теории уравнений с частными производными, а также к задачам механики сплошной среды и другим задачам пз числа поставленных выше. Изложение будем вести на конкретных примерах, иллюстрируя ими частью уже изложенные, а частью новые приемы. 56.
Уравнения с частными производными. Выше мы подробно выяснили связь теории фугнгций комплексного переменного с уравнением Лапласа. Это — классическое направление в теории функций, восходящее к работам Эйлера и особенно Римана. Однако в последнее время усиливается внимание к связям теории функций с другими уравнениями с частными производными. Простейшие из таких связей мы и разберем в этом пункте. 1) Систем а К ар лемана. В теории уравнений с частными производными за последние годы успешно используются методы, основанные на представлении решений в комплексной форме.
Эти методы развиты главным образом в работах И. Н. Веку а, Л. Берса, С. Бе р гм а на и др. В качестве примера мы приведем, следуя И. Н. Векуа, такое представление 4 е пРИЛОЖения с малого радиуса, и применим к области 0 — а' ы (ь) формулу (3); мы получим: г о — л окружностью н к функции Ц Устремляя радиус окрестности к нулю, увидим как и в п. 14, что предел интеграла ) аь равен 2п(в(г) и, следователь- Г в (ь) с но, получим искомую формулу представления: Для аналитических функций двойной интеграл исчезает, и мы приходим к интегральной формуле Коши. Применим эту формулу к решениям системы Карлемана (1).
С помощью символа дифференцирования (2) эта система записывается в виде одного комплексного уравнения = =Ав+ Вв, дм дг где в=и+ (о, А = — (а+ й+ (с — (Ь) и В = — (а — и+ (с+(Ь). 1 4 4 Поэтому формула (4) дает следующее комплексное представление решений системы (1); 1 ( в(С)аС 1 ( ( Л(С) мК)+В(С)юК) 2л~ .) Ь вЂ” г я,),) ь — г с о Приведем еще одну, более удобную формулу комплексного представления решений системы Карлемана (5). Пусть в= =- в (г) будет произвольное решение этой системы и )У вЂ” совокупность точек 0, в которых в = О; через М мы обозначим множество 0 — (У. Положим ( А (г)+ В(г), если г принадлежит М, м (г) Х(г) = м(г) ' О, если г принадлежит У; функция )((г) непрерывна на М и на (У в отдельности и, очевидно, ограничена, нбо для любой точки г нз 0 мы имеем 1)((г) ( < )А (г) (+) В (г) ). Поэтому функция )((г) интегрируема по области 0, т.
е. имеет смысл интеграл 319 % 4. пинложено!я оо1 Действительно, функция тс(г) аналитична в каждой точке, где она равна нулю, нбо в таких точках согласно уравнению (5) — =0; поэтому для любой точки го из )У отношение ды/ д« Ч («) — Ч («о) Ч («) се («) и !«! « — «о « — «о « — «о ио!еет предел при г го, равный ш'(го) е м1, т. е. ср(г) днфференцируема в точке го, Таким образом, функция !р(г) аналитична всюду в области Р. Заметим, наконец, что согласно формуле (9) нули из(г) совпадают с нулями !р(г), и по теореме единственности и. 20 множество й( этих нулей не может иметь предельных точек внутри О.
Это множество, следовательно, не влияет на величину интеграла в формуле (7), и эту формулу можно переписать в виде 1 ( ( А (Ь) ы (Ь) + В (Ь) и (й) со (Р (й — ) и Формула (9) дает теперь искомое комплексное представление решений системы Карлемана через аналитические функции ср(г): ш(г)=(р(г)ехр — — и. д ' с(ах( ) о).
(10) н д д ш(й)(С вЂ” «) о Эта формула была получена И. Н. Веку а и независимо от него (в более ограниченных предположениях) Л. Версом. Из нее вытекает, что в отношении нулей н полюсов решения системы Карлемана ведут себя так же, как аналитические функции: на этн решения распространяется теорема п. 20 о нулях (что мы уже отмечали выше), принцип аргумента и теорема Руше п. 23 н другие теоремы.
Заметим, однако, что геометрические свойства системы Карлемана существенно отличаются от свойств аналитических функций **). 2) Линейные эллиптические системы. Рассмотрим так называемое плоско-меридианное электростатическое поле, т. е. пространственное поле, векторы которого расположены в плоскостях, проходящих через некоторую ось (мы примем ее за ось г), и зависят лишь от расстояния г до этой оси и от координаты г вдоль нее.
Это поле, очевидно, полностью описывается плоским полем, расположенным в плоскости декартовых координат (г, г), но его уравнения отлича1отся от уравнений п. 47. В самом деле, пользуясь известными выражениями о) Символом ехр а обычно обозначается е'. ") См. Б. Б. Шаба т, Об отображениях, осуществляемых решениями системы Карлемана, Успехи матем. наук, т. Х1, вып. 3 (69), 1956, 203 — 206. гл. пь крлввыв задачи и пх приложения для дивергенции и ротора в цилиндрических координатах и обозначая через Е„ и Е, соответствующие компоненты вектора напряженности Е, мы запишем условия отсутствия зарядов и потенциальности поля в виде: д (гЕ*) д (гЕ») О дуг М» дг дг ' д» дг Из этих условий, так же как в пп. 46 нли 47, мы заключаем, что существуют две функции и(г,г) и п(г,г), для которых дп до .
дн ди гЕ= —, гЕ= — — ' Е= — —, Е= —— » д, г д,1 г= д, .= д, и которые связаны, следовательно, соотношениями дм до ди до г — = —, — г — = —. дг д» ' д» дг ' (12) А=ас — ( — ) > О (14) ( ди для простоты письма через и„, ... мы обозначим —, ...). дх * К таким системам приводят также некоторые задачи газовой динамики, теории пластичности, теории изгибания поверхностей и другие. Они рассмотрены в работах И. Н. В ек у а, Л.
Берса, Г. Н. Пол аж его, Б. Боярского и других авторов, которые установили ряд фактов, роднящих решения этих систем с аналитическими функциями. Теория решений линейных систем входит как простейшая составная часть в общую теорию квазиконформных отображений*). В работах перечисленных авторов доказано, что для систем (13) справедлива теорема существования отображений, обобщающая теорему Римана п. 28, и что решения этих систем обладают целым рядом геометрических ') См, работы М, А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
