М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 59
Текст из файла (страница 59)
В. С о х о ц к и м (1873 г ), затем И. П л е и е л е м (1908 г.) и, наконец, в более обших лредиоложеииих И. И. П рива ловы м (1918 г.). !'л. !!1 квлгвып злллч!! н !!х ппиг!Ожшн!я 222 !52 Пусть сначала С вЂ” замкнутая кривая, проходимая в положительном направлении. Имеем: с причем по доказанной лемме первый интеграл в правой части при г- Ео стремится к пределу )к) — 1(10) (г 1 — 10 с а второй интеграл равен 2пг, илн О, смотря по тому, лежит ли точка г слева или справа от контура С (т.
е. внутри или вне С). Учитывая это, мы перейдем к формуле (13) к пределу при г- ьо (слева нли справа от С): гт+(ь) ! ) 1(й) 1(со) +г ). 1' о' с Р- (г ) 1 ) 1(1) — ) (йо) (. 2п! с Подставляя сюда значение интеграла нз формулы (9), получим искомые формулы Сохоцкого (12). Если теперь С вЂ” незамкнутая кривая, то мы дополним ее произвольной линией С' до замкнутой кривой С, = С+ С' н положим Г(~) = О на линии С'.
Тогда, очевидно, Р(а) =— Г 1(ь) 2п! ь — 2 и если ье не совпадает с концом кривой С, то по только что доказанному будут справедливы формулы Сохоцкого (12), в которых интеграл Е(ьо) берется вдоль С,. Но так как Г(~) = О на кривой С', то последний интеграл можно заменить интегралом вдоль С. Теорема доказана е).
Если го является угловой точкой С с утлом между касательными, равным а, то, используя вместо (9) формулу. (10) (в ней надо положить а = Ь), получим формулу Сохоцкого в несколько *) Если ((а) во всех точках С удовлетворяет условию Гельдера с одним и теи же показателем р ) О, то интеграл типа Коши стремится к Е+(Ь) или Р-(Ь) при л ю б о м стремлении а к "„ (соответственно справа или слева), а не только, когда а/г( ограничено (см.[!41). З 3 ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 293 более обшем виде '!!.!=Ро,)л-(~ — —,"„)!!!,!.
!~ (ьо) = р (ьо) 2, ! (Ьо) (14) Из формул Сохоцкого (12), а для случая угловой точки— (14) заключаем, что при переходе через линию интегрирования С в точке Цо интеграл типа Коши испытывает скачок: р'(1о) — р (~о) =)(~о) (15) Формула (15) содержит решение проблемы, поставленной в начале пункта, о нахождении условий, при которых интеграл типа Коши является интегралом Коши. Мы видим, что если кривая С замкнута и в каждой ее точке с-(с) = О, то предельное значение Р(г) изнутри С, т. е. Р+(9), равно )(9), а это и означает, что Е(г) является интегралом Коши.
С другой стороны, если г'(г) является интегралом Коши, то сл (ь) = )(9) и, следовательно, Е-(ь) = О. Таким образом, условие ) 9")(ь) й~=О (а=О, 1, 2, ...). (! 7) с В самом деле, так как для больших )г) 1 1(! Ч Х Г ь=о то для интеграла типа Коши в окрестности бесконечно удален- ной точки имеем разложение Ю Е()= — ',~ж — "' = — ',)',— ' — „', „~ ~"~К)й~. (18) 2п! ! ь — 2 2п! г + с и с Р (,") =О, (15) выполняемое в каждой точке С, является необходимым и достаточным для того, чтобы интеграл (2) был интегралом Коши.
Это условие, очевидно, одновременно является и условием того, что заданные на С значения )(ь) являются граничными значениями функции, аналитической внутри С. Его можно высказать в более удобной форме. Т е о р е и а 3. Если функция ! (9) в каждой точке замкнутого контура С удовлетворяет условшо Гельдера с пока~отелем (А ( 1, то для того, чтобьс ее значения являлись граничнылги значениями функции, аналитическои внутри С, необходимо и достаточно выполнение следуюи!ллх равенств: 294 ГЛ.
И!. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕИИЯ Отсюда следует, что если выполнены все условия (17), то в окрестности бесконечно удаленной точки Р(г)= — О. Но так как интеграл типа Коши г"(г) аналитичен всюду вне контура С, то по теореме единственности п. 20 отсюда вытекает, что г (г) = — 0 всюду вне С. Таким образом, внешние предельные значения г-(ь) = О, т. е. г+(Ь) = )'(ь) и значения )(Ь) явчяются граничными значениями аналитической внутри С функция. Обратно, если значения 1(ь) являются граничными значениями функции, аналитической внутри С, то для любой точки г, лежащей вне С, дробь ь как функция точни ": будет ана- 1(0 литической внутри контура С и непрерывной на пем. Тогда по теореме Коши для всех таких г г (г) = —. ) = 0 Г 1(е) ле 2л!,) ь — г с и, следовательно, в разложении (18) все коэффициенты равны 0 Это и есть условия (!7); теорема доказана.
Очевидна также следующая Теорем а 4. В условиях предыдущей теоремы необходимым и достаточным условием того, чтобы значения 1(Ь) были граничными значениями функции, аналитической внутри С, является равенство (1Ог для всех точек г, лежащих вне С. Рассмотрим теперь условия того, что заданные па С значения являются граничными значениями функции, аналитической вне С, Прежде всего заметим, что если функция )(г) аналитична вне С, включая бесконечно удаленную точку, и непрерывна на самом контуре, то имеет место следующая форлсула Коши для неограниченнь1х областей: р 1(А) ЛА ( — )(г) +)(со) для г вне С, (20) 2и! 3 4 — г ) )(оо) для г внутри С с (контур С обходится против часовой стрелки).
В самом деле, если точка г лежит вне С, то мы окружаем С замкнутым контуром С', содержащим внутри эту точку, и к дву. связной области, ограниченной С и С', применяем интегральную формулу Коши и. 14: пз) 4 3 ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 295 (оба контура проходятся против часовой стрелки). Так как в окрестности бесконечно удаленной точки имеет место разложение в)=со+ ~' + ° +Ф+ где се=)(оо), то вычет фУнкции ь в бесконечно Удален)Я) ной точке равен — се = — )(со) и, следовательно (см. п.
24), — = Г(со), что и требуется. ! Г Г(й) чь с Если же г лежит внутри С, то функция © аналитична между С и С', следовательно, то теореме Коши — =0 с' с н учитывая предыдущий результат, мы получаем вторую формулу (20). На основании полученной формулы легко доказывается Теорема 5. В условиях теоремы 3 необходимым и достаточным условием того, чтобы значения ~© были граничными значениями функции Г(е), аналитической вне С, является равенство — = а =сопз1 Г 1(е) лс 2гц,) й — г с для всех точек е, лежасцих внутри С, причем постоянная в правой части равна Г(оо).
Необходимость условия содержится в формуле (20). Чтобы доказать его достаточность, заметим, что функция г(е)= — —.) +а ! Г 1(й) аь 2п),) й — г с аналитична вне С, причем из условия (2!) следует, что ее предельные значения изнутри г г(ь) = — О, а значит по формуле Сохоцкого г" — (Ь) = Г'(Ь). Теорема доказана. В заключение приведем несколько иную формулировку теорем 4 и 5, относящуюся к случаю, когда кривая С представляет собой единичную окружность. Теорем а 6, Для того чтобы значения функции 1('), ддовлетворяюи)ей в каждой точке единичной окружности С условию Гельдера с показателем )А 41, были граничными значениями функции, аналитической соответственно а) внутри круга !.л. пь кнлнвын задачи и их пш!ложения !53 )г) 1 или б) вне его, необходимо и достаточно выполнение условий: а) для всех г внутри С вЂ” =а =сонэ(, Г 1!г) лг 2н1" С вЂ” г с (22) где а равна значению упомянутой функции при г = О, или б) для всех г вне С (23) с Для того чтобы свести эту теорему к предыдущим, достаточно заметить, что функция р, (г) = р Я) Частный случай этой задачи, когда Ь(ь) = О, т.
е. когда граничное соотношение имеет вид: (~) = а (й) Г+ (9), (2) решил Д. Г иль берт "е) н 1905 г. Краевая задача Гильберта — Привалова находит важные приложения н различных вопросах математической физики (см. п. 55). Следует отметить, что решения Гильберта и Приналова были неполными. Полное *) Иван Иванович П р и в а л о в (1891 — 1941) — советский математик, специалист по теории функций комплексного переменного.
'*) давил Г и л ь б е р т !1862 — 1943) — немецкий математин, аналитична нне круга !г! С 1, если Е(г) аналитична внутри этого круга, и следовательно, на окружности )г) = 1, где 5 = = 1/г, предельные значения функции Р~(г) извне комплексно сопряжены предельным значениям функции р(г) изнутри (н обратно). 53. Краевая задача Гильберта — Привалова. И. И. П р и з алов) в 1934 г. поставил и решил следующую краевую задачу: На замкнутой кривой С заданы две комплексные функции а(ь) Ф 0 и Ь(ь), удовлетворяющие условию Гельдера с показателем )т ( 1, Требуется найти две функции, иэ которых одна, 1-(г), аналитична ене С, включая точку г = оо, а другая, !+(г), аналитична внутри С; граничные значения Г (Ь) и )+(Г) этих функций на С должны существовать и удовлетворять соотношению (9) = а (ь) Г+ (ь) + Ь |).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
