М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 54
Текст из файла (страница 54)
е. расстояние между статором и ротором; пренебрегая влиянием других е ) Иа формул (19) дли этих линий имеем; л = — и, д = 6 У / и 1 и 1!А А — „к) = ел — 1Ае" + — ! откуда у= ~~ — -1- — е" 21' !А2 и /' достигается при и = — оо, т. е. на левом крае конденсатора. Если построить конденсатор, пластины которого имеют форму р . линий равного потенциала о = .+ — *) (жирные линии иа 2 рис.
118), то для такого конденсатора напряженность поля убывает при подходе к краям, а не возра- ГЛ. И!. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕ44ИЯ на пазов, мы будем предполагать, что это пространство представляет собой бесконечную в обе стороны полосу. После сделанных упрощений область интересующего нас поля принимает вид пятиугольника, изображенного на рис. !19, б. Мы предполагаем, что след границы ротора А4А,АЕА4Аз несет потенциал Г, а след границы статора А!А,Аз — потенциал О. (Предполагается, что магнитная проницаемость железа бесконечно велика,) Задача принадлежит к типу краевой задачи 2) п, 48 и сводится к конформному отображению ш = !(г) области поля на полосу О < 1т ш < У, ~(А!) = — са, ~(АА) = аа.
В п. 39 мы получили отображение верхней полуплоскости на область поля: =з(а) = — '(йа~с18' +Н а~114 1, (22) и и Уаа — а' Уаг а4!' И! -!- А! где а'=,, причем отрезок ( — 1, 1) действительной оси плоскости а переходит в прямую А,АЕАа а остальная часть оси — в АЗА4АЕАЕА! (см. п. 39, формула (23); мы изменили лишь обозначения переменных). Применив дополнительное отображение полуплоскости а на полосу О (!ш ш ( У с нужным соответствием границ: ш = — 1п = — аг1Ь а, !Г !+а 2'к' я 1 — а а (23) и исключив а из уравнений (22) и (23), получим функцию, обратную искомому комплексному потенциалу. Найдем.
величину вектора магнитной индукции В, который в нашем случае совпадает с и 2!! ! !В) и 1!-аН 2И ~) а' — а' (24) и ~Уа' — а'! (при вычислении производных мы воспользовались выражениями (23) и (22)). Для характеристики машины важно знать степень пульсации магнитного потока, т. е. отношение минимальной индукции на статоре к максимальной. Из физических соображений ясно, что минимальная индукция В !„достигается против паза ротора, т. е. в точке Аа а максимальная индукция В,„— против середины выступа, т.
е. в точке А!. Так как точка Аз соответ- чч! гл, ги киднвые злддчи и их пниложгния 269 ствует оз = О, а точке А, — точка со = — 1, то искомое отношение равно *) В, )го' — ! й Вшах а 'г Н'+ Ьх (25) 7) Обтекание наклонного прямолинейного отр е з к а (О, йе!"") бесконечно глубоким плоским потоком с заданной величиной скорости в бесконечности о (рьс. 120). Задача принадлежит к типу краевой задачи 3) п. 48 и сводится к конформно- д му отображению области потока на верхнюю полуплоскость.
Обратное дг отображение было получено в и. 39 = г (ш) = й (ш — 1)' (Рш + 1)' ", (26) Рис, 120. где )) =, „(см. формулу (10) п. 39; мы переменили роли г а и ш и растянули плоскость г, чтобы получить отрезок длины Н). Очевидно, г(оо) = оо, но производная в бесконечности равна = — — '(1+ ()) = = =— ай й 1 р« р«-г ') Этот результат можно получить н из математичесннх соображеннй. Границе статора АгАхлз соответствует отрезок ( — 1, !) дейстннтельной оси !' 1 плоскости еь и тогда пз (24) видно, что В«н« =, Вмах =— На Н )а' — ! "х) При атом следует заметить одно обстоятельство; если считать, что прн нг-ь 0 дробь -ь — 1 = е , то вторая дробь †> е ; поРв+1 ' гн — !я.
нг — 1 !!Ф+! атому — -ь егнн «!-1-е !"« =0 прн нг — но, с!нг Заменив в формуле (26) ш на увггн, получим функцию, обратную комплексному потенциалу, ибо ее производная в бесконечности будет равна 11н, как и требуется. На рис. 120 изображены линии тока. Отметим, что, как видно из выражения г)з 1 Ив для производной —, скорость потока 1У)=~ — ~ обраг1ге г!3 щается в бесконечность в точке А,, которой соответствует иг = 0 *е), и в нуль в точках А, и А,, которым соответствуют иг = — 1)0 и ш = 1.
8) Распределение температур в канале, дио которого поддерживается при температуре !', а стенки — при ГЛ. П!, КРАЕВЫЕ ЗАЕАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕИИЯ 270 температуре О'! между стенками и дном имеется теплоизоляция. Сечение канала плоскостью, перпендикулярной к дну, изображено на рис. 121. Задача сводится к обобщенной задаче Дирихле для полуполосы. Отобразим сначала эту полуполосу на верхнюю полуплоскость с помощью функции ~=В)п а дно ВС переходит при этом в отрезок ( — 1, 1), а стенки — в лучи ( — оо, — 1), (1, оо). Остается воспользоваться формулой (9) п. 44: и (с) = — — 1 + — ! = — (срв — <р ) = — агй' — ' !т! !Ев й — 1 л л л л й+1 (у 'нас и = 2, ио — — и, = О, и! =1, !р!,в = агй (Ь +- 1)) и заменить лх .
лх лу . лх лу ь = 5!и — = 3!и — с)! — + ! соз 3)! — ° Мы получим: а и а а а (Мп с!! — 1) + 1 сов вь ! 2 сов ° вь и(г) = — агп = — агс1 а л !вьп с)!+ 1) + ! сов вь л Мпв ° сн' — 1+ сов' ° вк! (мы освободились от мнимостей в знаменателе; аргументы круговых и гиперболических функций для простоты письма опускаем). После замены в знаменателе сйв = 1+е1!в мы приведем его к виду з)!в — соз'! если обозначить 2 сов ° вн агс1п „... = а, то будем иметь вп' — сов' ,, = сова, следовательно, 5!! + сов! и 2 $' !+сова в!! ' и формула для температуры принимает окончательный вид лх 2! а 21 савв и (г) = — ° — = — агс1д . (27) а л 2 л лу вн— а Рвс, 121. Пользуясь интегралом Шварца для полуплоскости, можно было бы найти и комплексный потенциал теплового потока.
9) Удар пл а с тип к и о воду. В заключение приведем простейший пример задачи об ударе. Пусть жидкость заполняет нижнее полупространство, а твердое тело представляет собой плоскую пластинку в форме полосы шириной 2а, которая в момент удара 1 = О касается свободной поверхности и мгновенно приобретает скорость )го, направленную вертикально вниз (рис. 122). Пусть ( — а, а) будет след пластинки в плоскости, перпендикулярной ее ребрам, и 1'(г) = и(г) + !п(г) — комплексный потенциал плоского поля, описывающего скорости жидко- сти после удара. 27! $ В ПОСТАНОВКА КРАЕВЪ|Х ЗАДАЧ 42! Краевые условия задачи формулируются следующим образом: на отрезке ( — а, а) имеем; ди — „= —.
Рм ду (28) а на оставшейся части оси х, соответствующей свободной поверхности, и =О. (29) По принципу симметрии мы продолжаем гармоническую функцию и в верхнюю полуплоскость через лучи ( — ао, — а) и (а, оо) (это возможно на основании условия (29), см. п. 42); на верхнем берегу вместо (28) получаем ди тогда условие — = )Аа. Задача д свелась, таким образом, к задаче — — и Неймана и. 44: найти гармоническую во внешности отрезка ( — а, а) Рии !22, функцию и(г) по граничному условию — = $'а ( — — производная но нормали, направленной ди Гд д (д внутрь области).
Для решения этой задачи воспользуемся конформиым отображением внешности отрезка ( — а, а) на внешность единичного круга плоскости ~ = в + (21: (30) Граничное условие при этом преобразуется следующим образом2 ди ди ! ди ! а др ди ~ дь ! 2 — ф'(! — соз 2ф)'+ ебпе 2ф = — )Ара з1п ф, 2 (31) где р = )~! и ф = агд~ (знак минус объясняется тем, что у нас на нижней полуокружности, где и ( ф ( 2п, должно быть — и > О) . На основании условий Коши — Римана в пелярпых др да координатах (см.
п, 5) на окружности р = 1 получаем дф ди = — = — )Ааа з!п ф, следовательно, о = (Ааа соз ф = (Аеа ке (;. др Таким образом, мы находим комплексный потенциал в плоскости (;: ш =!)7аа(;. Подставляя выражение ~ через г из (30), находим искомый комплексный потенциал в плоскости г: г (з) = и'а (г — )/ аа — п2~. ГЛ. П!. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ !50 По формуле (7) п. 48 находим импульсивное давление в произвольной точке х отрезка ( — а, а) Р!' = р Йе ( (г) = р У, ) та' — х'; (32) в момент после удара скорости частиц на свободной поверхности (1х~ ) а) нормальны к этой поверхности и равны по величине 1 О! 1 (33) Формула (32) позволяет решить следующую задачу: тело массы гп при свободном падении ударясзся о воду вдоль плоской полосы ширины 2а; найти скорость )22 тела после удара, если скорость до удара равна )!!. По формуле (32) на тело в момент удара действует импульсивная сила а Р = р)!2 ~ )! аа — ха г(х= — прУ,а2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
