М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 55
Текст из файла (страница 55)
2 -а (34) С другой стороны, по теореме о количестве движения Р = = т()А! — )А2) и сравнивая это выражение с предыдущим, находим: га 1'! 2 есть также скорость, которую приобретает тело при неупрутом ударе о тело массы пра2/2. В соответсзвии с этим пра2/2 называется присоединенной .кассой пластинки, ударяющейся о жидкость. Дальнейшие примеры решения прикладных задач мы приведем в 5 4 этой главы.
50. Плоская задача теории упругости. Несколько особняком стоят приложения теории функций комплексного переменного к плоской задаче теории упругости. Наметим вкратце основания, на которых строятся эти приложения — подробности читатель найдет в прекрасной книге Н. И. Му с х ел и ш в и л и (!0). Плоская задача теории упругости применяется в следующих двух случаях: а) длинный цилиндр подвергается напряжениям„ приложенным к его боковой поверхности, причем эти напряжения лежат в плоскостях, перпендикулярных к образующим цилиндра, и одинаковы во всех таких плоскостях (рнс. !23,а); б) тонкая пластинка подвергается напряжениям, приложенным к ее периметру и лежащим в плоскости пластинки (рис. 123, б).
В обоих случаях задача описывается плоским напряженным состоянием. Остановимся на этом подробнее. 5 В постАноВкА кРАеВых 3АдАч 501 273 В общей задаче теории упругости рассматривают силы двоякого рода — массовые сильц дейсгвующие на элементы объема или массы тела (такова, например, сила тяжести), и поверхностные силы, действующие по поверхности элементов, мысленно выделяемых в теле (таково, например, давление).
В плоской задаче этим случаям соответствуют массовые силы, действующие на элементарные площадки, и линейные силы, действующие па границы элементов. совые салы отсутствуют. Ли- ' ' '", 1111~", нейную силу, действугощую на т ф, элемент Из, мы обозначим ГсЬ, где à — силу, отнесенную к единице длины, — будем называть налряжениеле Напряже- Рис, 123. ние Г в данной точке зависит от направления элемента (оно имеет тензорный характер) В частности, напряжения, отнесенные к элементам, перпендикулярным осям х и у, мы соответственно обозначим Г, и Г„.
Величины Г„и Гх — векторные; для нх компонент примем обозначения Хх, У„и Х„У„, так что Г„=Х,+1У„, ) Гу Х» + 1УР,( (1) причем Хх и У, будем называть нормальными, а У„и Մ— касательныхги наелряженияли. В плоской задаче компоненты напрягкения являются функциямп двух действительных переменных х и у. Можно показать, что напряжение Ги = Х„+ 1У„, отнесенное к элементу, нормаль которого и образует с осью х угол а, выражается через напряжение (1) формулой Г„= Г, соз а + Г„з! и а (2) (ср. (10), стр. 31). В теории упругости выводятся следующие уравнения равновесия, связывающие компоненты напряжения: дхх дхх дух дтд — х+ — '=О, — '+ — "=О, (3) дх ду ' дх ду доказывается также, что (4) (см. (1О!, стр.
20). Под действием упругих сил тело подвергается деформации, т. е. изменяются расстояния между точками тела. Мы 274 50 ГЛ. !И КРЛСВЫЕ ЗДДЛЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ обозначим х =1!(х, у), у*=)з(х, у) новые (после деформации) координаты. точки (х, у) тела и разности и=к* — х, .о=у — У (5) назовем компонентами смещения. Компоненты смещения в плоской задаче являются фуикциямн двух действительных переменных х, у. В дальнейшем компоненты смещения, а также их производные по х и у пргдполагаготся столь малыми, что их произведениями и квадрата.ии можно пренебречь (а!алые деформации).
Далее, величины (6) ди до ! 7до ди! е = —, е = —, е = —,! — + — ! дх ' зз ду ' хн 2 ( д„ др ) называются компонентами деформации; величина ди до (7) ь) То есть тела, упругие свойства которого одинаковы по всем направлениям. *') В случае длинно~о цилиндра на частицы тела действует еще компонента напряжения йм так же как и другие компоненты, зависящая лишь от х и у. Мы не внлючаем содержащее ее уравнение в основную систему, нбо она равна 2, = ьй и может быть найдена после решения этой системы (см. 1)0), стр. 90).
В случае плоской пластинки постоянную Х надо заменить 2ХИ постоянной ь' = , (см. 1)ой стр. 95]. Такая замена пе меняет харакХ+ 2и гера уравнений (8), поэтому мы и не отмечаем это в основном тексте. представляет собой поверхностное расширение при деформации (см. 110), стр. 47). По основному закону теории упругости (закон Гука) компоненты напряжения являются линейными однородными функциями компонент деформации. Для изотропного тела*) (мы ограничиваемся лишь такимв телами) эта зависимость имеет вид Х„=ЛО+ 2)хг„„уз —— ) О+ 2рг„„, Хн = Ух = 2ргху (8) где Х и и — некоторые постоянные неотрицательные коэффициенты (см. 1101, стр.
64). Формулы (3) и (8) представляют собой основные уравнения плоской задачи теории упругости. Это — система пяти уравнений с частными производными первого порядка относительно пяти неизвестных функций Х„ У„, Х„, и и о двух независимых переменных х и у '*). Из этой системы легко получить уравнения, содержащие одни лишь компоненты смещения. Для этого достаточно под- % К ПОСТАНОВКА КРАБВЫХ ЗАДАЧ зя ЛО= О. Заметим, что из первых двух уравнений (8) и формулы (7) вытекает соотношение 1 О 2!л+„) (Х +Ух) (10) подставив это в предыдущее уравнение, найдем: б (Хх + У„) = О. (11) Уравнение (11) вместе с уравнениями (3) и дает искомую систему уравнений, содержащих лишь компоненты напряжений (три уравнения с тремя неизвестными функциями).
Введем так называемую функцию напряжений, особенно удобную для описания решения плоской задачи. На основании формул (3) выражения — Ху гЬ + Хк йу = йВ, Уу г(х — 1'х г(у = г(А (12) являются дифференциалами некоторых функций. Равенство ка- дВ дА сательных напряжений Х„ и У„ приводит к равенству = =— дх ду ' из которого следует, что выражение А г(х + В г(у = й(/ (13) является полным дифференциалом некоторой функции 0(х, у), которая и называется функцией напряжений, Эта функция была введена в 1862 г. английским астрономом Эри.
Из (12) и (13) получаем следующие выражения компонент напряжений через функцию (7(х, у): Х = = ! = = ° Х =Ух= . ° (14) дВ дкГ) дА дЧ) дЧ/ х= ду = ду2 ' У дх дхк У х — 'дхду' ставить выражения (8) для Х„, У„и Х„в уравнения (3); тогда с учетом (6) и (7) получим систему двух уравнений второго порядка относительно двух неизвестных и и гл () +)А) д +)хоп=О, (А+)х) д +)Ада=О, (9) да дВ где 22 — оператор Лапласа. После решения системы (9) напряжения можно найти простым дифференцированием по формулам (8). Легко получить и уравнения, содержащие одни лишь компоненты напряжений. Для этого продифференцируем первое уравнение (9) по х, второе — по у и сложим полученные уравнения.
Учитывая еще выражение (7), будем иметь (А+ )А)оО+ + )х ЛО = О, откуда ГЛ. И1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖСИИЯ 2те (во Через функцию (!(х, у) можно выразить и компоненты смещений. Подставив в формулы (8) выражения (14) для Хх, 1'в и Х, выражения (6) для е,„, е„„и ех„, а также вырал ение О= ! ЛУ, которое получается подстановкой значений (14) 2(А+ И) в (10), будем иметь: ди д'и даи Л 2р — = —,— Ли, 2„— = ли,1 дх дуа 2 ()С+ И) ' ду дхх 2 (Х -1- И) ) (15) р Я+ф= — „„,. Из соотношения (14) следует, что Х„+ У„= бог, где Л— оператор Лапласа; из уравнения (11) видно теперь, что функция напряжений 0 удовлетворяет уравнению д1с! дод дтУ (16) т, е., как говорят, является бигирмонической функ!(пей.
Мы докажем сейчас, что любую бигармоническую функцию можно представить с помощью аналитических функций комплексного переменного. Так как, с другой стороны, через бигармоническую функцию выражаются компоненты напряжения и смещения, то мы приходим, таким образом, к комплексному представлению решений плоской задачи теории упругости. На з1ом представлении и основываются развитые Г. В.
Колосовым и Н, И. Мусхелиш вили методы приложения функций комплексного переменного к теории упругости. Пусть ст' будет произвольная бигармоническая функция. Функция ьтУ тогда, очевидно, гармоническая. Мы обозначим М/ через Р, через () обозначим сопряженную к ЛУ функцию н положим )(г) = Р+ 1Я. Удобнее, однако, рассматривать функцию 4)~() Г (17) так что — = — = — Р, др дд дх ду 4 др дд ! — = — — = — — () ду дх 4 (18) Простой подсчет показывает, что функция Р =() — Рх — И является гармонической *). *) Действительно, ислольауя соотвошевия (!8) и условия Коши — Ри! мана для фуиидии 1(х), находим: о (рх) = и (еу) = — Р, следовательво, Ьр! = ЬУ вЂ” Р =' О.
б б. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ бо) Обозначим через Х(г) аналитическую функцию, имеющую р, своей действительной частью, тогда будем, очевидно, иметь: ()= рх + с(у + р, = не ( ф ( ) + Х (г)). Переписан эту формулу в несколько ином виде, мы получим искомое комплексное представление бигарнонической функб(ни: (У = — 2(гф+ гф+ Х+ Х) 1 (! 9) (Э. Г у р с а, 1898 г.) . Для дальнейшего полезно найти также представления част- ных производных функций (т'.
Дифференцируя (19) по х и у (г и 2 мы считаем при этом промежуточными переменными и д д, д д пользуемся тем, что — ф= —. р =ф' и — ф= — бр = — !ф'1, дх дх ду ду /' получаем: дх = —,(ф+гф'+ф+гФ'+Х'+ Х'), 1 (20) — „= 2 ( — ф+гбР'+ф — гф'+Х' — Х') ду 2 '! откуда д0 .дУ дх+ ду Р()+ Р ()+ (21) Перейдем к комплексному представлению компонентов смещений и напряжений. Заменим в первых двух формулах (15) дти дЧ1 дЧ/ дг(Г ЛУ = Р— = Р— —., — = Р— —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
