М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Так как из (18) дут дхт ' дхе дут имеем: Р =4 — = 4 —, то др дд дх ду' ди дг(У др до дЧ1 дг! 2)А — = — — +й —, 2)А — = — —,+й —, дх дх' дх ' ду дуе ду ' где 2=2 ", Интегрируя полученные соотношения, имеем: А+ 2р А+и 29 = — — д+йр+( (у) 2ро= —, +йч+)б(х) (28) д(У дУ ') Между прочим, из выражения (22) вытекает, что для любой функции у, представимой по формуле (19), Лет является гармонической функцией, следовательно, такая функция (I бигармонична. где положено ф(г) =х'(г).
Дифференцируя (20), находим: ЛУ= д, + д е =2(бр'+ф') =4ке(ср'(г)) ч). (22) '278 ГЛ. П1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ и, используя (2!), получаем: Р„= Х, + (У„= 1р' (г) + ф' (г) — гф" (г) — ф' (г), (26) — 1РР— — ӄ— 1Х„= 1р' (г) + ф' (г) + гф" (г) + ф' (г). 1 Складывая уравнения (26), а также вычитая нз второго первое, получим формулы, также принадлежащие Г.
В. Колосову и дающие комплексное представление напряжений: Х„+ У, = 2 (1р' (г) + ф' (г)) = 4 (Ае ср' (г), Ух — Х„+ 21'Х„= 2 (гф" (г) + ф' (г)) (27) Для определения функций )1(у) и ),(х) воспользуемся третьей формулой (15). Из формул (23) находим: ( ду + дх ) дх ду + 2 1Г1 (У) + (х ( )1' сравнив это с выражением (!5), получим ),'(у)+1,'(х) =О, илн 11(у) = — );(х). так как здесь слева стоит функция только от у, а справа — функция только от х, то обе части равны одной и той же постоянной. Обозначив эту постоянную через а, будем иметь: !»1 (у) = ад + (1, !'1 (Х) = — аХ + у.
Нетрудно видеть, что смещение тела, обусловленное этими чле- нами формул (23), является «жестким смешением», т. е. сме- щением тела как целого. (Действительно, вектор такого смеще- ния )'1 + 1)х = — сиг+ () + 14А) Отбрасывая в формулах (23) эти члены как несущественные, ибо они не влияют на напря- женное состояние тела, получим: ! Гдгт . д77~ А и + 1о = — — ( — + 1 — ) + — 1р (г), 2Н ! дх ду ) 2Н илн, используя соотношение (2!), найдем в окончательном виде комплексное представление смещений: и + 1о = — ( р (г) — гф'(г) — ф (гй; (24) здесь х = /г — 1 = л+Зн = л+и Это представление было получено Г.
В. Колосовым в!909 г. Перейдем к представлению напряжений. По формулам (!4) находим: дЧ/ . дЧ7 . д гдГ7 . д!71 ) Р =Х +1У = — — 1 — = — 1 — ( — +1 — ), х= х х = ду1 дхду ду 1дх ду)' дЧ7 . дЧ7 . д !дрт . д111 Р = Х + ГУ = — + 1' — = 1 — ( — + 1 — ) У У х дхду дх' дх (,дх ду) 5 В ПОСТАНОВКА КРАВВЫХ ЗАДАЧ м1 (во второй формуле мы перешли к комплексно сопряженным величинам).
Мы видим, таким образом, что напряжения а сл5ещения в плоской задаче теории упругости выражаются через две аналитические функции комплексного переменного ф(г) и ф(г). В заключение вьисним, насколько определяются эти функции заданием напряженного состояния и смещений. При заданном напряженном состоянии функция ф'(г) определяется из первой формулы (27) с точностью до чисто мнимой постоянной, ибо действительная часть этой функции задана.
Отсюда следует, что все функции, которые могут играть роль функции ф, выражаются через одну из них формулой ф(г)+аьг+ Ь, (28) где а1 — 'чисто мнимая и Ь = р+ 5у — комплексная постоянная. Вторая нз формул (27) определяет тогда ф'(г), следовательно, совокупность функций 1р описывается формулой (29) ф (г) + Ьн где Ь1 = ~~ + (у5 — комплексная постоянная. Очевидно, и обратно, напряженное состояние не изменится, если, заменить ф и ф соответственно через ф+ а5г+ Ь и ф+ Ь,.
Пусть теперь заданы компоненты смещения. Из формул (6) — (8) видно, что тогда определяются и компоненты напряжения. Поэтому допустимо заменять функции ф и ф только с помощью формул (28) и (29). Но, как показывает формула (24), при такой замене и+ 5в изменяется на величину Ьи+1ЬО = а1г + я+1 .
ХЬ вЂ” Ь, 2и 2и (30) следовательно, мы имеем дело лишь с жестким смешением всего тела, которое условились не учитывать. Формула (30) показывает, что не изменяют с м е щ е н и й лишь такие замены функций ф и ф вида (28) и (29), для ко- торых а=О, иь — Ь, =О. (31) Таким образом, при зада нных с м еще н и я х постоянная а определена вполне, а из двух постоянных Ь и Ь1 можно задавать произвольно лишь одну. 61.
Краевые задачи теории упругости. Формулы Колосова (24) и (27) предыдущего пункта представляют о б щ е е р еш е н и е основных уравнений (3) и (8) плоской задачи теории гзо ГЛ И!. КРАЕВЫЕ ЗАЛАЧИ И ИХ ПРИЛОЖСИИЯ |51 упругости*). Однако именно в силу своей общности этн формулы не дают непосредственного решения практически важных задач, которые всегда приводят к некоторым условиям, налагаемым на значения рассматриваемых величин на границе области, т. е.
к крвевыл! задачам. Основные краевые задачи плоской теории упругости формулируются следующим образом: Первая краевая задача (!). Найти упругое равновесие области 0 при заданных внешних напряжениях Х„, У„, приложенно|х к границе С этой области. Вторая краев а я зада ч а (П). Найти упругое равновесие области 0 при заданных слчещениях и и о точек границы С этой области. Рассматривают также смешанную краевую задачу, в которой на одних частях границы области задаются напряжения, а на других — смещения.
Докажем единственность решения задач 1 и !(, рассматривая для простоты случай, когда область 0 односвязна и ограничена. Рассмотрим интеграл 1 = ) (Х„и+ У„о) йз, с распространенный по границе С области 0 (он означает физически работу упругих сил, действующих на контур С). Заменяя Х„и У„по формуле (2) предыдущего пункта, мы запишем этот интеграл в виде 1 = ~ ((Х,и + У„о) соз а+ (Хан + Уло) з(п а) йз.
с Но по двумерной формуле Остроградского"*) наш интеграл преобразуется в двойной, распространенный по области 0: 1= ( ) ~ в (Х„и+ У,о)+ ~ (Х„и+ У„о))~г(хду = о о *) Мо|кно было бы показать, что при л|обых аналитических функцияк гр(з) и ф(з) функции Х, Уз, Х„н п, о, определяемые нз (27) н (24), удовлетворяют основным уравнег!ням (3) и (З). ь') Двумерная формула Остроградского имеет внд (Р сова+ |З Мни) |(з = ~ ) ( — + — ) с(хг(у, 1lдР дЯ! ,) (дх дд) с о где а — угол, образованный нормалью к С с осью х. $2.
ПОСТАНОВКА КРАВВых ЗАДАЧ эп 28) В силу формулы (3) и. 50 первые два члена подынтегральной функции в интеграле (2) равны 0; заменяя еще Х„Х„, У„по ди до де ди формулам (8), а — „, —,, — „+ — — по формулам (8) п. 50 и используя обозначейие (7) того же пункта, получаем: Т = ) ) (ЛОэ + 2р (е',„+ 2е',„+ е-„'Д с(х с(рс и Пусть теперь в области Й можно построить два решения Х„', ..., и' и Х,", ..., и" одной краевой задачи 1. Так как основные уравнения (3) н (8) п.
50 линейны, то разности Х =Х' — Х",, п=п' — п" также будут давать решение плоской задачи теории упругости, причем, в силу краевых условий, на линии С будет Х„= У„= О. Поэтому интеграл (1), а следовательно, и (3), равен О. Но под знаком интеграла (3) стоит неотрицательная функция, следовательно, этот интеграл может равняться 0 лишь в том случае, когда в обласпг 0 тождественно 8 = е„„= е„„= е „= О. Тогда из формул (8) п. 50 мы заключаем, что в области 0 тождественно Х, = У„= = Х„= О, т.
е. что напряженные состояния Х,', У„', Х„' н Х, У„", Х совпадают*). Единственность решения краевой задачи ! доказана. Доказательство единственности решения краевой задачи П проводится совершенно аналогично "ч), с той лишь разницей, что обращение в нуль интеграла (!) мотивируется обращением в нуль смешений и и э на линии С. Покажем теперь, как решение задач ! и 11 сводится к решению краевых задач теории аналитических функций. Так как, по доказанному в предыдущем пункте, напряженное состояние полностью определяется через две аналитические функции гр(х) и чр(г), то и решение наших задач должно выражаться через эти функции. Пусть по-прежнему область 0 односвязна и ее граница обозначается через С.
В задаче П граничное условие записывается непосредственно с помощью формулы (24) п. 50 м~р (ь) — ьгр' (ь) — ф (ь) = 2)ггг (ь), (4) где м и р — постоянные коэффициенты, а д(~) = и+ )и — задан- ное на контуре С смещение. *) Напомним, что при одинаковых напряженных состояниях смещения н, о могут отличаться лишь «жестким смещением», которое мы условились считать несущественным (см. предыдущий пункт). ") Если на граниие смещения Заданы, то «жесткое смещение», о котором говорилось в предыдущей сноске, исчезает н и, о определи~ется вполне. йзй ГЛ. И1, КРАЕВЫР ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ (61 где з — длина дуги С, отсчитываемая в положительном направ. ленни от некоторой фиксированной точки, и А — произвольная постоянная. В задаче ( значения Г„ на контуре С заданы, по- этому известна функция 1 ~ Р„йз = У (О = ) (Ц + !)з Ю.
о (7) Подставляя это в соотношение (6) и пользуясь формулой (21) предыдущего пункта, найдем краевое условие задачи 1 в виде а +! а = р©+~р'Ю+ф©=У(ь)+А (8) где 7(~) — известная функция и А — произвольная постоянная. Таким образом, решение задачи 1 плоской теории упругости сводится к отысканию в области 0 двух аналитических функций гр(г) и ф(г), связанных на ее границе С краевым условием (8). Выясним вопрос о числе параметров, остающихся свободнымн в рассыл. трнваемых краевых задачах. Кйк мы видели в конце предыдущего пункта, при задании напра>кения (задача !) ы определяется с точностью до слагаемого вида ага-(- Ь, а зр — с точностью до постоянного слагаемого Ь, (а дейятвителыю, Ь н Ь, комплексии), а при задания смещений (задача !!) о и ф определнются с точностью до постоянных слагаемых Ь и Ьг, связанных соотноглеиием кЬ = дг, Таким образом, решение задачи П плоской теории упругости для области с) сводится к отысканию в атой области двух анплитических функций гр(г) и ф(г), связанных на ее границе С краевым условием (4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
