М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 52
Текст из файла (страница 52)
поток скорости 17 через произвольную кривую у, соединяющую линии Се и С!. Пусть и = ) (г) — комплексный потенциал искомого поля. Условие обтекания С, и С! сводится к тому, что на этих кривых функция о = 1т) (г) должна принимать некоторые постоянные значения, например: (о, на С„ (4) По формуле (11) п. 46 расход Л'= ~ (17, и') ггз = о, — еш следовательно, Разность о! — пе известна. Так как 1(г) опРеделяется лишь с точностью до постоянного слагаемого, то всегда можно принять ое = О, о! = Лг. Без дополнительных ограничений на поведение 1(г) в бесконечности задача неопределенна.
Действительно, рассмотрим, например, полосу О < р < Лг, где М вЂ” заданныи расход; тогда всем поставленным условиям удовлетворяет функция /шх(г)=г+Леи !н, ибо при любот! целом и и действительном Х ее мнимая часть иир у+Хе лхгн ебп — — принимает на границах полосы постоянные А! значения по=О, о! — — М. Поэтому мы предположим дополнительно, что: 1) кривые Со и С! обладают гладкой кривизной, 2) при г — со остается ограниченной ширина полосы О, а также кривизны кривых С, и С, н производные этих кривизн, 3) рассматриваются лишь течения с ограниченной' в бесконечности скоростью. Докажем, что в этих предположениях прн заданном расходе Лг существует единственный безвихревой поток в области О, обтекающий Се и С!. В самом деле, пусть 1(г) — комплексный потенциал любого потока, удовлетворяющего условиям задачи, и г = гр(ю) — функция, реализующая конформное отображение полосы О < 1гп щ < Л! на область О, причем гр(Н-оо) = ~оо *).
Очевидно, функции 7г (гв) = 1 [!р (гв) [ = (7 + !')г (6) ') Точка з = оо является двойной точкой границы области Т!; одну из этих точек мы обозначаем — оо, а другую +ос. При этом мы заботимся лишь о том, чтобы по отношению к обходу границы области хэ эти точки были расположены так же, как и на горизонтальной прямоугольной полосе. Гл. !7! кРАввыя зхдлчп н нх пгиложеиня будет служить комплексным потенциалом потока в полосе О ( о ( й7, обтекающего прямые о = О, о = М с заданным расходом Л7. В силу условия ограниченности скорости данного потока в бесконечности и теоремы 1 и.
29 о соответствии границ при конформных отображениях производная Г(в) =['(г)р'(в) также остается ограниченной в бесконечности. Рассмотрим гардр моническую в полосе О «.. о «. й7 функцию — =1т Г'(в). Она, <7и очевидно, равна О на границах полосы и ограничена в замкнутой полосе О < о < й!. По обобщенному принципу экстремума зь' (теорема 5 п. 42) можно заключить, что всюду в полосе — = — О, ди а значит, р'(в) = а — действительная постоянная. Отсюда г(в)=ав (мы отбрасываем несущественную постоянную), и так как функция )т(в) = ао должна быть равна О на прямой о = О и Ж на прямой о = 7!7, то а = 1; окончательно г (в) = и!. Из формуль! (6) получаем тогда: )[!р(в)) = в, т. е.
1(г) должна быть функцией, обратной к !р(в). Единственность решения задачи доказана. Вместе с тем доказано, что искомый комплексныи потенциал в = 1(г) реализует ззаильчо-однозначное конформное отображение области 0 на полосу О ( о ( М с соотзегствиел! бесконечно удаленных точек: [(-~-ьь) = ссо. 3) Поток в криволинейной полуплоскости.
Пусть дана линия С без точек самопересечения, содсрлсащая бесконечно удаленную точку, и замкнутая на сфере комплексного переменного; 0 пусть обозначает одну из двух областей, ограниченных линией С. В области 0 требуется построить поток, обтекающий кривую С и обладающий заданной по величине скоростью в бесконечности ~ )т„~. Если дополнительно предположить, что С во всех точках обладает непрерывно дифференцнруемой кривизной, включая н бесконечно удаленную точку, и рассматривать лишь потоки с ограниченными скоростями, то единственность решения доказывается точно так же, как в предыдущей задаче (только полосу надо заменить полуплоскостыо). Искомый комнлексньш' потенциал в =1(г) реализует конформное отображение области 0 на верхнюю полунлоскость при условиях [(со) = сь, )1!'(ьь)1 = 1(т„[, В качестве примера укажем видоизменения, которые надлежит сделать в задачах 1) — 3) при рассмотрении электростатических полей.
Всюду термин «обтекаемый контур» заменяется термином «проводник» (точнее, след проводящего цилиндра, перпендикулярного плоскости г), «скорость» заменяется «напряженностью поля», «функцня ток໠— «потенциалом», «потенциальная функция» — «снловой функцией», «расход» вЂ” «разно- % т, пОстАнОВкА кРАеВых зллчч чз1 259 ри = Рп', (7) где р — плотность жидкости и РП1 — импульсивное давление в ней. Обозначим через Е> область, занятую жидкостью, через С вЂ” ее границу. С состоит пз дуги Со — стенки сосуда, дуг СА— l поверюгостей тел ВА и из дуг СА — участков свободной поверхности жидкости между двумя последовательными дугами Сж СА, ~ (рис.
114). Для потенциала скоростей и(х, д) имеем следующие граничные условия: а) Вдоль стенки сосуда Са дгт — „=О, дл (8) ') Сосуд н тела предполагаются, конечно, цнляндрнческнмн, движение жидкости плоско-параллельно; на рнс. !14 изображено сечение, перпенднкулнрное образуюпгнм цилиндров.
стью потенциалов» и т. д. В задаче 1) задание циркуляции заменяется заданием суммарного заряда е=-т,=~ 1'(г) гуг= с = — (см. формулу (21) п. 47), следовательно, в формуле (1) с ~ = — 2ет и член с логарифмом в формуле (2) имеет вид 2ет'1л — (ср. (23) п. 47).
1 В заключение приведем два примера несколько более сложных краевых задач. 4) У д а р н ы е з а д а ч и. Значительная часть таких задач охватывается следующей схемой. В сосуде А находится покоящаяся или движущаяся жидкость, в которой плавают твердые тела ВА (й = 1, 2, ..., и) (рис. 114")). В момент времени г = О на тела подействовали импульсивные силы так, что тело Ва получи- В, 8 Нз ло мгновенно приращение скорости )А~,' (удар). Требуется найти поле им- ба — — — ~' ~ — з:с пульсивных скоростей 171г1 и распределение импульсивных давлений Р1г1 в жидкости в момент, непосредственно Сев слсдующип за ударом. гу Перейдем к математической поста- Рпс.
114. иовке задачи, причем для простоты ограничимся случаем, когда до удара жидкость покоится. Кгтк известно, при отсутствии массовых импульсивных сил движение после удара потенциально, причем потенциал скоростей и(х,у) в момент, непосредственно следующий за ударом, удовлетворяет условию Ыз 2бо ГЛ И1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И НХ ПРИЛОЖЕНИЯ ибо из условия обтекания получаем о(х, у) = сапа!, и тогда нз условий Коши — Римана, записанных для направлений зе и а', дн до будем иметь: — = — —.=О. дл дз б) Вдоль дуг С1, соприкосновения жидкости с телом (тг! о тго) дл (9) где и' — единичный вектор внутренней нормали к СА.
При этом мы считаем, что не происходит отставания жидкости от стенок (кавитации); (9) следует из известной связи между атаби= = У!1! и производной по направлению. Импульсивные скорости тел ВА считаются известными, так что в правой части формулы (9) имеем известную функцию. в) Вдоль дуг СА (т.
е. вдоль свободной поверхности) и(х, у) =О, (! 0) ибо давление на свободной поверхности конечно; следовательно Рю = 0 и тогда ()0) следует нз (7), Найдем и(х, у) в области О, мы получим распределение ско- ростей )А = йтаб и, а давления определим по формуле (7), Эта краевая задача является частным случаем слгешанной краевой задачи теории гармонических функций, исследованяе и решение которой мы приведем в п. 55 (см.
также пример 9) п. 49). 5) Обтекание со срывом струй. Так называют об- текание„ при котором одна из линий тока идет нз бесконечности к некоторой точке В обтекаемого тела, где она разделяется иа две ветви, каждая из которых идет г вдоль стенок тела до не- в которых точек Сг и Сг и а затем отрывается от стенок, снова уходя в бесконечность (рис. 1 ! 5) . При этом предполагается, что Рнс. 1!о. свободные струи С1А1 и С Аг отделяют зону дви- жения ! от зоны покоя !! так, что вдоль этих струй происходят разрыв скоростей '). В зоне ! движение считается потенциаль- ным; в зоне покоя 7! скорость везде равна нулю, следовательно, ') Такая схема в известной мере отрагкает фактически наблюдаемый разрыв скоростей за двнжугннмнся в реальных жндкостлх телами; однако в ре.
альных жндкостях зона г! является не зоной покоя, а зоной вихревого двнження н не простирается в бесконечность. $ г постАПОВкА кРАВВых 3АдАч 26! давление постоянно (см. формулу Бернулли — Эйлера (4) п.47) и струи С1А~ и СЗАз можно рассматривать как свободные границы жидкости. Мы приходим к следующей краевой задаче: а) на участке С,ВС, тела (длина которого не известна) имеется обтекание, т. е. о(х, у) =сопз1; (1 !) б) на свободных струях С1А~ и СзАз (форма которых не известна) величина скорости постоянна: ! 1т!=!1т (, это следует на основании формулы Бернулли — Эйлера из постоянства давления в зоне покоя.
Методы решения этой краевой задачи будут приведены в и. 65. В последующем изложении мы еще не раз будем встречаться с краевыми задачами различных типов. 49. Примеры. Приложения. !) Формула Жуковского. В п. 47 мы получили формулу С. А. Чаплыгина для подьемной силы обтекаемого профиля; Р=Х вЂ” П'= Р ~[~'(г)]гдг. 2 с Учитывая разложение в бесконечности для производной комплексяого потенциала в задаче обтекания замкнутой кривой, полученное в предыдущем пункте: Г(г)=~ + —,"„,—,'+ ..., и применяя к интегралу (!) теорему о вычетах, находим: — ги . 1т Р= г '2ти' =~рГЪ Перейдя к комплексно сопряженным величинам, получим знаменитую т е о р е м у Н. Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
