М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Кроме того, мы представим крыло в ваде бесконечно длин- Рис. ! Ю. ного цилиндра с образующими, перпендикулярными вектору скорости. Тогда поле скоростей частиц воздуха будет плоско-параллельным и можно ограничиться изучением плоского поля в любом сечении, перпендикулярном образующим цилиндра. Наконец, для удобства мы представим, что крыло покоится, а на него набегает воздух с постоянной скоростью в бесконечности 17„ (рис. 110). Величина давления в установившемся безвнхревом потоке определяется известной формулой Бернулли — Эйлера "): р А Р )72 2 (4) где А — некоторая постоянная, р — плотность и Р' = ~17( †величина скорости потока (действием силтяжестимы пренебрегаем).
'1 См. Н. Е. К о ч и и и И. А. К и б е и ь 161, т. Е стр. >5. '248 ГЛ. И!. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ ит а полная сила, действующая на С, равна векторной сумме р! с(г, т. е. ( =Х+(у= ~р (~= — !," ~)гЧ~ (5) (иятеграл по замкнутому контуру от постоянной А!' исчезает). Так как поток обтекает контур С, то в точках С скорость потока направлена по касательной: хт — )т (ть) — )те!е где тр = агйс(~. Отсюда величина скорости $'= ~'(г)е-!е и формула (5) принимает вид — ~ (!" (Ь))'е "' 2Ь = — 2' ) (('(Ь))'Ж, с с где е-а!Мг = е-'е(с(Ь( = ~1~.
Переходя к сопряженным величинам, получим вектор, комплексно сопряженный вектору подъемной силы: Ф=Х вЂ” (У= '2' ~(ГЕ'(й (6) с Это и есть классическая формула С. А. Чатглвтгина (!9!О г.). 2) Тепловое поле. Как известно, температура в плоском тепловом поле' ) без источников тепла удовлетворяет дифференциальному уравнению (7) где ~ — время, а а' — некоторый постоянный коэффициент. Ограничиваясь рассмотрением установившихся режимов, для которых температура не зависит от времени, мы придем к уравнению Лапласа; дти дти — + — =О, длт да' (8) ') В пространстве ену соответствует плосно-параллельное поле, в котороп в каждой плоскости, параллельной плоскости кд, распределение температур совершенно одинаково.
Пользуясь этой формулой, мы и вычислим полную силу, действующую на контур С сечения крыла (подъемную силу). Так как давление на С направлено внутрь по нормали, то сила, .действующая на элемент с(ь контура С, равна (векторно): р!' с(~ = А ! сЦ вЂ” —" Р в!' с(ть, 2 4 2. постановил к»левых задач 249 т. е. температура оказывается гармонической функцией. Сопряженную к ней гармоническую функцию о(х,у) назовем 4уккцией тока тепла, а аналитическую функцию 1(г)= и(х,у)+ +1о(х,у) — комплексным потенциалом, Выясним физический смысл функции о(х,у).
В теории теплопроводности принимается, что количество тепла, протекающее за единицу времени через элемент длвны 2(з, пропорционально Ыз и нормальной производной температуры ди —, т. е, равно ди ' — 1г д е12=( — йдга11 и, по)2(з=(2д ио)гЬ. (9) Здесь й — коэффициент ввутренней теплопроводности, знак минус берется с учетом того, что тепло течет от высоких температур к низким; вектор Я= — йдга11 и (10) называется вектором потока тепла. Из (9) видно, что поток вектора Я через линию С означает количество тепла, протекающее через С за единицу времени. По свойству градиента в каждой точке поля вектор потока тепла Ц направлен по нормали к линии и(х, у) = сопз1 (изотермической линии), проходящей через эту точку.
Но это направление, очевидно, является касательным к линии уровня функции о(х, у), следовательно, линии о(х, у) = сопз1 служат векторными линиями Я (т. е, линиями, по которым «течет тепло»), Далее, нз формулы (1О) и уравнений Коши — Римана имеем; (ди . дит до . до Д= — й( — +1 — ) = — й — + й) —. (,дх де) ду дх ' Следовательно, поток тепла через произвольную линию с левой ее стороны на правую (по движению вдоль этой линии), так что и' г(з = — 1 г(Ь = г(у — 12(х, равен Щ, и') 11~ = — й ) — г(у+ — а~= ( до до ду дх с с й (о (г1) о (г2)) (11г с (мы считаем А постоянным; г, и г,— концы линии С).
Отметим егце выражение вектора Я через комплексный потенциал 1 (г) = и (х, у) + го (х, у): l ди . до 1 Ц= — й1 — — 1 — ) = — Ц'(г), 1 дх дх ) (47 ГЛ. П!. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 250 Таким образом, между полем скоростей течения жидкости и тепловым полем имеется полная аналогия. Разница состоит лишь в том, что в первом случае могут быть многозначными обе компоненты комплексного потенциала, а во втором действительная часть — температура — всегда однозначна (мы не принимаем во внимание несущественного различия в формулах). В качестве примера рассмотрим систему источника и стока тепла интенсивности Ч 44, расположенных в точках ьа (рис.
111). Комплексный потенциал поля этой системы равен !(З) = — ?.п (е — о) — — 1.п (е + о) = †, 1 и . (13) Изотермические линии ) — ~ = сопз1 — окружности, имеющие 2+а -4-а своими симметричными точками (прообразы окружностей Рнс. ! !!. 1ш ~ = сопз( при дробно-линейном отображении ш= —" 1, а+а)' изображены на рис. 1! 1 пунктиром.
Линии тока тепла ага =сопз1 — окружности проходящие через точки ~-а (пра- а+а образы лучей агиш = сопз( при том же отображении), изображены сплошными линиями. Поток тепла через любую замкнутую кривую, окружающую лишь одну точку а, равен +4г, через криву!о, окружающую только точку — а, равен — д, через кривую, окружающую обе точки, равен О. В этом проще всего убедиться с помощью формулы (1!), следя за изменением какой- либо ветви функции в(г) = — „Аги(г — н) — — „Аги(я+ а). 9 То же самое поле возникает в эксцентрическом кольце между окружностями, нагретыми до постоянных температур и = сч А а постхновкА кРАеВых ВАдАч 251 йГ .= ) (Е, пс) Нз = 4пе, с (14) где е — суммарный заряд, расположенный внутри контура С, и и' — внешняя нормаль. Следовательно, в любой точке е дрх дду , Н с((ч Е = — „+ — = 1пп — =4пр (15) где р — поверхностная плотность заряда в этой точке, а 5 — пло- щадь, ограниченная кривой С.
Интеграл А = ~ (Е, ас) с(з = ~ Е г(з (16) означает, очевидно, работу сил поля вдоль пути С, Циркуляция вектора Е вдоль любого замкнутого контура равна О, ибо для поддержания электростатического поля не требуется затраты энергии, В самом деле, если бы вдоль некоторого замкнутого пути С циркуляция была отлична от нуля, то, обходя этот контур в определенном направлении неограниченное число раз, мы получили бы неограниченный источник энергии (вечный двигатель).
Отсюда следует, что в любой точке поля дЕР дпх го1 Е= — — — =О. дх ду (17) Таким образом, электростатическое поле всегда потенциально, т. е. существует однозначная функция о(х,у) — потенциал поля — такая, что Е = — — — 1 — = — пгаб о. дс .
дс (18) дх ду = и, и и = иь служащими линиями уровня нашего поля (выделены на рис. 111 жирными линиями). В пространстве ему соответствует тепловое поле в трубе из двух цилиядров с параллельными осями. Возможность замены линии уровня и (или, что то же самое, линии тока в поле скоростей жидкости) твердыми стенками — так называемый принцип отвердения — следует из единственности решения соответствующих краевых задач (п.
48). 3) Электростатическое поле. Под электростатическим полем понимают область, с каждой точкой которой связан вектор напряженности Е= Е,+1Е„, т. е, сила, действуюпаая на единичный заряд, помещенный в этой точке. Мы будем рассматривать плоские электростатические поля, соответствующие плоско-параллельным пространственным полям. Как известно из элсктростатики, поток вектора напряженности через произвольную замкнутую кривую С равен 252 ГЛ. П1, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 'Ит Если в области О нет зарядов, то в 0 всюду 4(1ЕЕ = О; отсюда следует, что существует силовая функция и(х, у) = ) — Ев4(х+ Е„42у+ сопз( Е (19) (которая в односвязной области всегда однозначна, а в многосвязной может быть н многозначной).
Так же, как и выше, легко убедиться в том, что любая линия уровня функции п(х,у) в каждой точке касается соответствующего вектора поля, т. е. является векторной или, иначе, силовой линией поля. Сравнивая формулы (!8) и (19), видим, что функции и(х,у) и о(х, у) удовлетворяют условиям Коши — Римана, т. е. яв,ияются сопряженными гармоническими функциями, а функция )(г) =и(х, у) +то(х, у) — аналитической функцией. Она называется комплексным потенциалом поля*).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
