М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 46
Текст из файла (страница 46)
форму- лу (5) п. ЗЗ) и обозначим с'(ю(г)3 =1(г), ()[ю(г)) = и(г). На нижнем берегу полосы при с = 1 — Ьс имеем: п1 зи — — 1 со = е" = (Ь вЂ” ' (( — йс) = н . 26 46 нс с)с— 26 ( — п<т<0), нем берегу от=а"=()4 — '(с 46 и си с(т= — . Подставляя зто в формулу (1!), будем иметь: 26 сн — ' 26 ! ( Г з — 1+1 с с(1 1 г з,+4+1,с, И1 1 где и (!) обозначают значения и( ) в точках ~=1-с- 16, х, и ст1 яа с,— гиперболические синус и косинус —, ! =!)4 —.
После 26' а 46' простых преобразований получаем окончательно ч): ! ( и+(1)+и (1) 46,) и 26 с)с — (1 а) — — з)с —; ) с(( + 1С. (12) с сса Г ис О) — и (1) 46 26 .) и:~1 н (1 — г) 26 26 1) Эту формулу обычно называют формулой П а л а т н и и. Однако последний опубликовал ее в (9(5 г., а между тем онз в несколько видоизмененном виде содержится в работе Д. Л. Г р а ве «Об основных задачах математической теории построения географических карта (Петербург, !896). п( 56 —, с ! 2/с откуда т = —.)п и п1 сн —;,— 26 и сп с(т=, .
Аналогично на верх- 26 сй — 1 26 н( зй — + с' 26 + йс) =, (О < т < и), откуда сн — ' 26 ГЛ. 1Н КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 228 (44 +2 1 ° (1)(йпо, ')(!+!СР (13) О 5) Формула Чизотти (!92! г) дает выражение для конформного отображения в = )(г) круга !Е( < 1 на произвольную односвязную область В, ограниченную контуром С, если в каждой точке е = еи окружности известен угол наклона 6 = 6(г) касательной к С в точке и, соответствующей е.
Пусть с(г = = !е' 4(1 и Йв = !4(в !е10 — элементы окружности и кривой С, соответствующие друг другу при нашем конформном отображении, тогда на окружности 1 — =е' '0 " ив )ив! и'и сй Так как )(г) реализует конформное йв отображение, то — Ф О н функ44г ~. дв1 ция — 11п 5 †) правильна в круге Рив !00. 00 !г~ < 1, причем по предыдущему ее действительная часть на окружности )г) = 1 равна 6 — й С другой стороны, из элементарных геометрических соображений ясно, что на окружности (4е ( — 1 !п [ — (1 — г)']) = и + 2 а ге (1 — г) =1 (см.
рис. 100, где обозначено агп(! — Е) = 40). Поэтому действительная часть правильной в круге !г! ! функции д (г) = — 1 1п [ — 1(1 — е) — „ 2 (14) на окружности !Е) = 1 совпадает с О. Если функция 6(1) известна, то функцея 41(г) восстанавливается с помощью интеграла Шварца Зи Р.(г)= — ~ О(1) н с(!+1Л, 0 (15) Для полосы О < у < 1 эту формулу можно переписать также в виде ~(Е) 2 „~ п0() 01!1 2 4~~+ в $1.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 44) где А — действительная постоянная. Зная д(г), мы из (14) на- ходим н искомое конформное отображение (16) Вообще говоря, функция б(1) неизвестна, н формула Чизотти (16) не дает эффективного решения задачи конформного отображения. Однако эта формула оказывается полезной всякий раз, когда б(1) можно найти из каких-либо соображений. Например, в задаче отображения круга на многоугольник б(1) равна известной постоянной на каждой дуге окружности, соответствующей стороне многоугольника, поэтому формула Шварца — Кристоффеля легко получается из формулы Чизотти. 6) 3 а д а ч а Н е й м а н а.
Наряду с задачей Дирихле для некоторых приложений важно рассмотреть так называемую вторую краевую задачу, или задачу Неймана* ): Найти гармоническую в области Р функцию и(г), зная значения ее нормальной производной на границе С: — = — соз а+ — з(па=д(~) ди ди ди ди дх ду (17) и значение и(га) в какой-либо точке га области Л, Для определенности мы будем предполагать, что в (17) рассматривается внешняя нормаль, а означает угол, образован.
ный этой нормалью с осью х. Функция д(~) может иметь на С конечное число точек разрыва первого рода, функция и и ее частные производные первого порядка предполагаются ограниченными. Из теоремы 12 п. 4! следует, что для разрешимости задачи Неймана необходимо выполнение соотношения ) д(ь) йз = О. с (!8) и, (г,) = и [7(г))] ') Карл Ней ма н (!832 — !925! — немецкий математик.
Докажем единственность решения задачи Неймана. Заметим прел!де всего, что с помоптью вспомогательного конформного отображения г = 1(г)) верхней полуплоскости 1т г) ) О на область Р задача Неймана для Р сводится к такой же задаче для верхней полуплоскости. В самом деле, пусть и(г) — регпение задачи Неймана для области Р с заданной граничной функцией у (-") . Функция 144 230 ГЛ. П1.
КРАЕВЪ|Е ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ гармонична в верхней полуплоскости. !'ак как при конформном отображении направление внутренней нормали к С переходит в направление положительной оси у, = 1ш г| (всюду, кроме угловых точек контура С, которых по нашему обычному предььоложению конечное число) и так как отношение элемента длины нормали 4(п к соответствующему элементу ыу, равно растяжению отображения, т. е. равно ~1'(хь) [, то на оси х| = Кег| имеем: — '=-~ — ] [1'(х) [=у[1(х)1 [1'(хь) [=дь(х,).
Функция д1(хь) непрерывна на оси х| всюду, кроме конечного числа точек, соответствующих угловым точкам кривой С, и конечного числа точек разрыва функции у[1(хь)); она вполне определяется конформным отображением и заданной граничной функцией. Если теперь, не зная и(г), решить задачу Нсьзь|ььапа для верхней полуплоскости 1т г| ) О и граничной функпии дь(х|), то очевидно и|[|с(г)), где г| = ьр(г) — отображение, обратное к г =1(гь), будет являться решением задачи Неймана для области Р. Приведенное рассуждение показывает, что прн доказательстве единственности решения задачи Неймана можно ограничиться случаем, когда область Р представляет собой полуплоскость.
Предположим, что имеются два решения задачи Неьйьхьаыа и,(г) и и,(г); тогда их разность и(г) = и,(г) — иа(г) будет гармонической в верхней полуплоскости функцией, причем на оси ди х ее нормальная производная — = О и в некоторой точке ге дд дч будет и(гч) = О. Функция — гармонична и ограничена в верхду ней полуплоскости и равна нулю на оси х, т. е, решает для верхней полуплоскости и нулевых граничных значений задачу Дирихле. Так как эту же задачу решает функция тождественно ди равная нулю, то — ==О. Но тогда и(г) должна быть постоянду ной н равной нулю в силу условия и(г,) =- О. Едино-венность решеьшя задачи Неймана доказана.
В дополнительном предположении непрерывности частных производных в Р решение задачи Неймана сводится к решеншо задачи Дирихле для сопряженной' гармонической функции. Действительно, пусть о(г) — гармоническая функция, сопряженная с и(г). В силу условий Коши — Римана, записанных в точках кривой С для направлений з н и (см. конец п.
5), иэ|еем| д д аК)' де ди $ !. Гломоническив Функции 5а 231 до Зная — вдоль С, мы непосредственным интегрированием опред5 делаем д5 со Ь Теперь разыскание о(з) в области В сводится к задаче Ди- рпчле; зная о(г), мы простым интегрированием найдем и иско- м)к! функцию и(г). Для случая, когда 0 представляет собой единичный круг, легко получить формулы, дающие решение задачи Неймана.
В самом деле, пусть Г(г) = и+ !о будет решение этой задачи. 1 Г ди . до ! Полагая г = ге", имеем, очевидно, Г'(г) = — г! ( — + ! — ) или е ! (, дг дг ) ди . до — "('(г) = — + !' —. г дг дг Отсюда видно, что значения действительной части аналити- ческой функции г)'(г) на единичной окружности совпадают ди с заданной функцией — =д(ь). Поэтому гГ'(г) можно запи- сать с помощью интеграла Шварца (3): .Г(.) = —., Г е(Г) дй !с!=! (мы учитываем, что значение рассматриваемой функции в на- чале координат равно нулю). Интегрированием получаем: ! ~ Ые ~ Л(~)дь (19) ! с !.=! й(е!!яя порядок интегрирования и вычисляя элементарный ни- !оград до ! 1 2 Я вЂ” г) = — — !и (~ — з)+ — 1пе+ сопа1, нзходим: ! (з) = — —. ~ — 1п(Ь вЂ” а) 5(Ь+ —.
) 5(Ь+сопз(, Г д (~) Г дК) он 11(=! 2и нлп, учитывая, что согласно (18) ) г(ь=! ) Я(е ) 2(=б а (й) Г и (с 1=! о получаем выражение для функции Г(г): 2и Р(а) = — — ) д(е!г)1п(еи — е) Ж+ сопз(. (20) о ГЛ Н!, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 232 Отделение действительных частей дает Исков!ую !рормулу и(г) = — — ~ у(е")!п) ем — г)с(!+ сонэ! о (Дннн). (2 !) Такие же приближенные выражения можно написать и для производных вто- рого порядка, вапример; 1 ( и (х + 2Л. д) — и (х + Л, у) и (х + Л, у) — и (х, у) ~ и„» — Л ) Л Л 1 = —, (и (х + 2Л, у) — 2и (х + Л, у) + и (х, у)).
Заменяя для большей симметрии х+ Л через х, получим: 1 ихх = — (и (х + Л, у) — 2и (х, у) + и (х — Л, у)) (2) и аналогично ! иээ = — '1и (х, у+ Л) — 2и (х, у) + и (х, у — Л)). (3), стаи лги Таким образом. уравнение Лапласа —. + — = 0 приближенно замедха дуэ няется следующим разиостным уравнением: и (х + Л, у) + и (х — Л, у) + и (х, у + Л) + и (х, у — Л) — 4и (х, у) = О. (4) Уравнение (4) связывает между собой значения искомой функции в пити точках, которые расположены, как белые кружки на рис. 10!. Для того чтобы решить задачу Дирихле методом сеток, надо покрэшь, заданну!о область Р квадратной сеткой с шагом Л, иак указано на рис. 101.
Границу сеточной области следует выбирать так, чтобы она лучше всего приближала границу области Р, при этом граничные точки сеточной области могут лежать как вне, таи и внутри Р. Заданные на кривой С значения фуницин и переносятся в граничные точки сеточной области с помощью 45. Метод сеток. Мы приведем здесь наиболее употребительный приближенный метод решения задачи Дирихле, таи называемый люегод сеток. Обоснование метода сетон было дано в 1924 г. Л, й. Л !о с терн и ко м. Этот люетод применим также для решения многих задач математической физики. Мы поясним идею метода, отсылая за подробностями к. специальной литературе. Метод основан на замене производных, входящих в уравнение Лапласа, соответствующими отношениями конечных разностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
