М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

Для дальнейшего полезно отметить следующее предложение, обратное теореме о среднем. Теорема 9. Если функция и(г) непрерывна в области В и в любой точке г для достаточно лгалык г ги и (г) = —, ) и (г + ге'е) йф, о то функция и(г) гарлгонична в 1>. Наше доказательство основано на теореме существования гармонической функции, принимающей на границе односвязной области заданные значения; эта теорема будет доказана в п.

43. ПУсть г, — пРоизвольнаЯ точка 1> н (Уо — замкнУтаЯ односвЯзнаЯ область, принадлежащая Е> и содержащая точку го внутри. По цитированной теореме построим гармоническую функцию ио(г), принимающую на границе Со области 1То те же значения, что и функция и(г), и обозначим У(г) = и,(г) — и(г). По построению и условиям доказываемой теоремы функция (У(г) непРеРывна в Оо и Равна нУлю на гРапицс этой области, Кроме того, значение У(г) в центре любого круга, принадлежащего О,, равно среднему арифметическому ее значений на окру>кности этого круга, ибо этим свойством обладают обе функции и(г) и ио(г): первая по условию, а вторая по теореме о среднем, *) В любой замкнутой области гармоничности функпни и(г) монсет находитьсл конечное число кратных точек линии уровня (в каждой такой точке 1'(а) = 01; в противном случае по теореме единственпостд (п.

20) должно быть 1'(а) — О. 207 5 ! Глрмоцнчвские Функции еи Отсюда вытекает, что функция У(г) не может достигать экстремума во внутренних точках Ро., доказательство этого предложения опирается лишь на непрерывность функции и теорему о среднем (см, замечание после теоремы 5). Но так как непрерывная в замкнутой области функция Р(г) должна достигать своих экстремальных значений, то она достигае~ их на границе Ро.

Л так как на границе всюду У(г) = О, то и максимальное и миниъ1альное значения Р(г) равны нулю, а следовательно, У(г) = О всюду в Ро. Это означает, что всюду в 5о функция и(г) совпадает с гармонической функцией ио(г) и, в частности, гармонична в точке го. Так как г,— произвольная точка Р, то теорема доказана. Приведем теперь теорему, аналогичную теореме Вейерштрасса п. !9. Теорема !О. Пусть задана последовательность функций ио(г), и1(г), ..., и„(г), ..., гармонических в области Р и непрерывных в Р. Если ряд ~ иь(г) равномерно сходится на арво=о нице Р, то он равномерно сходится и внутри Р, причем его сумма является гар.ионической в Р функцией.

Из принципа экстремума вытекает равномерная сходимость ряда внутри Р. В самом деле, по известному признаку сходи- мости Коши* ) из равномерной сходимости ряда Х иь(г) на ~о границе области Р следует, что для любого е) О найдется целое число М такое, что для любого и з» М и любого целого положительного р и всех точек Ь границы ! и„+, ( ) + и„о (ь) + ... + и„.ьр С) ! < Так как сумма, стоящая под знаком модуля, гармонична, то по принципу экстремума и для всех точек области ! и„+, (г) + и„+, (г) + ...

+ и„„р (г) ! < е. Но по тому же принципу Коши отсюда вытекает равномерная сходимость ряда ~ иь (г). Остается показать, что сумма этого ~о ряда и(г) — гармоническая функция. Для этого воспользуемся теоремами 9 и 4. Для любого достаточно малого г имеем: гп тР$ еп ) и(г+ геок) с(ср= ~ ~)~~и (г+гесч)йр='С ) иь(г+ге'ч)ЫФ о а о о=о «=о о ') Си. Ф яхт он гозьц, т. 11, стр, 309. з !.

ГАРмоническис Функйп!и 42! 209 ди дя изводных, а следовательно, и их комбинаций — и —, равенди ди ' ство ()3) имеет место и на границе С области 44. Поэтому вдоль замкнутого контура С ~ — 44з = ~ — „с(з = ~ 4(а =О в силу однозначности функции о(г). 42. Свойства гармонических функций (продолжение).

Здесь мы рассмотрим вопросы об особых точках, теоремах единственности и аналитическом продолжении гармонических функций. Начнем с изучения поведения однозначной гармонической функции и(г) в окрестности ее изолированной особой точки. Пусть функция и(г) однозначна и гармонична в окрестности О < )г — а( < )с точки а. Обозначим через Г циклическую постоянную гармонической функции о(г), сопряженной с и(г) в этой окрестности. Так как приращение любой ветви функции 40(г) при обходе в положительном направлении замкнутого контура, окружающего точку а, равно 4Г, а приращение при том же обходе любой ветви !.п(г — а) равно 2п4, то функция ! (г) = и (г) + !о (г) — — ! и (г — а) Г будет в нашей окрестности распадаться на совокупность однозначных аналитических функций, значения которых в любой фиксированной точке отличаются друг от друга на целое кратное 4Г.

Поэтому функция 2и 2и — (и+!и! — 1м! е ' =(г — а)е г а(г) является однозначной аналитической, и мы получаем представ.ченне однозначной гармонической функции и в окрестности изо.чнрованной особой точки а: 2п Г Представление того же типа справедливо и в случае Г = О, ибо в этом случае однозначна функция )(г) = и + 4о и, положив едо = д(г), мы найдем: и (г) = (п ! Е4(г) !. (2) На формулах (!) и (2) основывается классификация изолированных особых точек однозначных гармонических функций. Возможные случаи поведения таких функций в окрестности особых точек исчерпывают следующие три теоремы: 210 Гл.

и1. кРАевые ЗАДАчи и их пРиложеиия Теорема 1. Если и(г) ограничена в окрестности точки а, то существует !ип и (г) = Ь; полоясив и(а) = Ь, мы получаем а+а функци1о, гармоническую и в точке а (устранил1ая особая точка). В самом деле, в этом случае функция д(г) в выражении (1) или (2) имеет в точке а устранимую особенность, т. е, существует 11ш д(г); этот предел, очевидно, отличен от нуля — отг-+а сюда и следует утверждение. Теорем а 2, Если и(г) стрели1тся к бесконечности при г — а, то в окрестности точки а она допускает представление вида (3) и (г) = й! и ! г — а )+ 0 (г), где й Ф О вЂ” некоторая постоянная, а У(г) — гармоническая в точке а функция (полюс). Действительно, в этом случае функция д(г) может иметь в точке а лишь полюс или нуль (если 膆), следовательно, ее можно представить в виде д (г) = (г — а)" 1р (г), где и — положительное нли отрицательное число и ~р(г) — аналитическая в точке а функция, причем Ч1(а) ча О.

Подставляя это в выражение (1) или (2), получаем искомое представление (3). Наконец, справедлива Теорема 3. Если и(г) не стремится при г- а ни к какому пределу, то она имеет в точке а полную неопределенность; для любого действительного Ь А1ожно найти последовательность точек г„- а, для которой Иш и(г„)=Ь (существенно Л-+ л особая точка).

В самом деле, в этом случае д(г) может иметь в а лишь существенно особую точку, и утверждение является непосредственным следствием теоремы Ю. В. Сохоцкого (п. 22). Прамер: Е(г)=ем, и= Все сказанное относится н к бесконечно удаленной точке, только окрестность О < (г — а( Я надо заменить окрестностью г1 ( )г! ( со и представление (3) представлением и(г) = й!п! г )+ У (г). Гармоничность функции в бесконечности означает, что г = ьо является устранимой особой точкой этой функции. э Н ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Мы не рассматриваем особыс точки многозначиого характера (примером такой точки является точка г = О для функции и =ЛГС(д — ), а также неизолиуованные особые точки.

р'г Х Перейдем к вопросу о теоремах единственности для гармонических функций. Внутренняя теорема единственности теории аналитических функций (п. 20) не переносится полностью на гармонические функции, пбо гармонические функции, совпадающие на линиях, вовсе пе обязаны совпадать в области.

Действительно, гармонические функции принимают каждое свое значение на некоторых линиях (линиях уровня) и, следовательно, совпадагот с постоянными на линиях, не будучи постоянными и области. Справедлива, однако, такая Т е о р ем а 4. Если две функции, гармонические в области Р, совпадают в какой-либо области Рся лежащей в Р, то они соэ«адагот и во всей области Р.

Действительно, разность и(г) таких функций гармонична н ~ождественно равна нулю в области О,. Построим в области 0 (быть может, многозначную) аналитическую функцию )(г) такую, что и = Ке((г). В области Ро сопряженная с и гармоническая функция о(г) должна быть постоянной, ибо в силу услодо ди до вий Коши — Римана в этой области — = — — = О, дх ду ' ду дп = — =О. Следовательно, )(г) постоянна в Ра, а значит, и во дх всей области О, Но тогда и(г) постоянна в 0 и равна там, следовательно, нулю (ибо она равна нулю в 0,). Теорема доказана. Граничная теорема единственности теории аналитических функций, выражающая, что функция, аналитическая в области, определяется своими значениями на границе (см.

и. !4), переносится на гармонические функции. Для гармонических функций эта теорема является непосредственным следствием принципа экстремума (теорема 5 предыдущего пункта). Чтобы получить ее в достаточно общих для практики предложениях, мы предварительно докажем обобщенный принцип экстрелгума: Т е о р е ы а 5. Если гармоническая и ограниченная э области 0 функция и(г) принимает ч) на границе С этой области значения и(~), кусочно-непрерывные с конечным числом точен разрыва первого рода, то значения и(г) внутри 0 заключены лгежду максимальным и минимальным ее граничными значениями (значения и(Ь) в точках разрыва не учитываются), *) Говорят, что функция и(г), определенная в области О, принимает значение и(ь) в граничной точке Ь этой области, если при е-з-Ь по точкам области суысствует )нп я (а) = и (ь).

Характеристики

Список файлов книги