М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 40
Текст из файла (страница 40)
28. В следующих двух главах читатель найдет дальнейшие примеры таких задач. В гл. П! конформные отображения будут встречаться в связи с решениями различных краевых задач теории плоских векторных полей, тесно связанных с приложениями. Гл. 1Ч посвящена вариацнонным принципам в теории конформных отображений; мы рассмотрим там поведение конформных отображений при изме- ЛИТГРАГУРА К ГЛАВЕ П 197 ненни границы отображаемых областей [проблема 3 из п. 28), а также некоторые приближенные формулы, Мы не будем касаться методов приближенных расчетов конформных отображений [за исключением метода сеток в п.
45, который может быть использован для втой цели). С аналитическими методами таких расчетов читатель может ознакомиться по гл. Ч книги Л. В. К а н т о р о в и ч а и В. М. К р ы л о в а [91 Для многих практических целей предпочтительнее методы расчетов, использующие физические аналогии — методика таких расчетов с применением несложных специализированных приборов и злектропроводной бумаги описана в книге П.
Ф. Ф и л ьч а к о в а и В. И. П а н ч и ш и н а [1 Ц. С некоторыми практическими методами читатель может ознакомиться по книге К опп енф ел ьс а и Шт альм а на [131 Литература к главе Н [!] А, И, Ма р к у ш е в и ч, Теория аналитических функций, тт. 1, 2, «Наука», 1966, [2) М. А. Лавре нт ье в, Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики, Гостехиздат, 1947, [31 Б.
В. Ш а б а т, Введение в комплексный анализ, «Наука», !969 [4] К. Каратеодори, Копформное отображение, перев. с англ., ОНТИ, 1934. [5) Р. Кура н т, Принцип Дирихле, конформные отображения и мннималь. ные поверхности, перев.
с англ., ИЛ, !953. [6] Г. М, Гол узин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, Гостекиздат, 1952. [7] М. В, К е л д ы ш, Конформные отображения многосвязных областей ва канонические области, Успехи матем. наук. вып, У!, 1939, стр. 90 — 1!9. [6] Г. М. Г ол у вин, Л. В. К а и тор о в н ч н др., Канформное отображение одиосвязных и многосвязных областей, ОНТИ, 1937. 191 Л. В.
К а н тор о в и ч и В. И. К р ы л о в, Приближенные методы выс. щего анализа, Физматгиз, !962 [19] П. Ф Фильчако в, Приближенные методы конформных отображений. Справочное руководство, Киев, 1964. [!1] П. Ф. Ф ильча ко в и В. И. Панчи щи н, Интеграторы. Моделирование потенциальных полей на злектропроводной бумаге, Изд-во АН УССР, Киев, 1961. [12) Г.
Н Поло жий, Эффективное решение задачи о приближенном конформном отображении односвязных и двухсвязных областей и определение постоянных Кристоффеля — Шварца прн помощи злектрогидродннамических аналогий, Укр. матем, журн. 7, № 4 [!956), 423 — 432. [!3] В. Коппен фельс н Ц. Шт аль ман, Практика коиформных отображений, перев. с нем., ИЛ, !963. Глава Пу Краевые задачи теории функций и их приложения Мы уже говорила, что теория функций комплексного переменного и в особенности ее геометрическая часть — теория конформных отображений — возникла и развилась на основании физических представлений. Леонард Э й л е р и Жан Д а л а ибер р пришли к условиям аналитичности функций комплексного переменного из гидродинамических соображений, Бернхард Р и м а н в своих исследованиях постоянно пользовался интерпретациями аналитических функций, связанными с плоскими течениями жидкости и тепловыми потоками.
С другой стороны, обратно, развитие теории функций комплексного переменного позволило созда гь новые методы решения важнейших практических задач из различных разделов математического естествознания (гидро- и аэродинамика, теория упругости, электростатические, магнитные и тепловые поля и т. д.). Следует отметить, что большие заслуги в приложениях теории функций комплексного переменного принадлежат ученым нашей страны.
Николай Егорович Жуковский и Сергей Алексеевич Чаплыгин (1869 — 1942) в начале ХХ в. пришли ко многим принципиальным результатам в применении теории функции к гидро- и аэродинамике. Методы теории функций комплексного переменного играют весьма существенную роль в их замечательных статьях, а также в книге Н.
Е. Жуковского «Теоретические основы воздухоплавания» (1911 г.). И в наши дни важные и глубокие применения теории функций к гидро- и аэродинамике получены советскими учеными (М. В. Келдышем, С. А. Христиановичем, В, В. Голубевым, Л. И. Седов ы м и другими). Г. В. Колосов* ) в 1909 г. положил начало серьезному применению теории функций комплексного переменного к плоской задаче теории упругости. Блестящее решение этой задачи *) Гурий Васильевич К о л о с о в (!867 — )936) — русский ученый, спенивлист по теории упругости. б г.
гдрмоничвские чгункции 199 методами, опирающимися на теорию функций, получил в двадцатых годах Н. И. М у с х е л и ш в и л и. Эти методы изложены в его книге [10], первое издание которой вышло в 1933 г. Методы теории функций комплексного переменного занимают видное место и в исследованиях по различным отраслям физики (В. А. Ф о к, Н.
Н. Б о г о л ю б о в, В. С. В л а д и м и р о в и др.). В этой главе мы рассмотрим основные физические представления, связанные с теорией функций комплексного переменного, и простейшие приложения этой теории. Изложение мы начнем с теории гармонических функций двух переменных, тесно связанных с потенциалами плоских векторных полей, основных краевых задач теории гармонических и аналитических функций и затем на основе развитой теории изложим основпыс вопросы приложений. 5 !. Гармонические функции Гармонической в области 11 функцией называется действительная функция и(х, у) двух действительных переменных, обладающая в этой области непрерывными вторыми частными производными и удовлетворяющая дифференциальному уравнению *) д'и д'и Аа= —,+ — =0 — дхг дуг— (=" дг дг А = — „, + —,, — символ дифференциального- оператора).
Это уравнение обычно называют уравнением Лапласа. Однако Лаплас рассмотрел его в 1782 г., а задолго до него это уравнение использовал Л. Эйлер в своих работах по гидродинамике и другим разделам математической физики. Заметим сразу, что в силу линейности уравнения Лапласа любая линейная комбинация ~ аьиь(х, у) ь=! гармонических функций иь(х, у) с действительными постоянными коэффициентами ал снова является гармонической функцией. Как мы увидим в последующих параграфах этой главы, потенциалы важнейших векторных полей, рассматривающихся *1 Здесь погоду будет идти речь о гармонических функциях двух переменных, ибо именно они тесно связаны с аналитическими функциими. Для практики не менее важны гармонические функции трех переменных и(х, д, я), д'и д'и д'и удовлетворягошие уравнению гги = —,, + —, + — = О, которые, однако, дхг дух дяг мы не будем рассматривать.
ГЛ. [П. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [4! 200 в физике, являются гармоническими функциями, и любую гармоническую функцию можно представлять физически как потенциал некоторого поля. Поэтому и в общем случае гармонические функции часто называют потенциалами, а теорию гармонических функций — теорией сютгнциала. 41. Свойства гармонических функций. Выясним прежде всего связь между понятиями аналитических и гармонических функций. Эта связь выражается в следующих двух простых теоремах: Т е о р е м а 1. Действительная и лснимая части произвольной функции 1'(е) = и(х, у)+ со(х, у), однозначной и аналитической в области О, являются в этой области гармоническими функция.ии.
Доказательство непосредственно вытекает из условий Коши— Римана ди до ди до (1) дх ду ' ду дх ' В самом деле, так как аналитические функции обладают производными всех порядков, то уравнения (1) можно дифференцировать по х и у. Дифференцируя первое из них по х, а второе по у и пользуясь теоремой о равенстве смешанных производных, находим: д и д'о дси дх = дхду = ду откуда д'и дси схи = —, + —, =- О. дхс ду' Для функции о(х,у) доказательство аналогично. Две гармонические в области 0 функции и(х, у) и о(х,у), связанные условиями Коши — Римана, называются сопряженньслси. Т е о р е и а 2. Для всякои функции и (х, у), гармони [вской в односвязной области О, лсожно найти сопряженную с ней гармоническую функцию о(х,у).
В самом деле, рассмотрим интеграл оь(х, у) = ~ — д д~+ — ду, ди ди в где еь — — хь+ су,— фвксированная, а е = х+ су — переменная д 1 ди 1 д Сди[ точка области О. В силу уравнения Лапласа — ~( — — ~ = — 1 — ), ду (, ду ~ дх[дх/' этот интеграл не зависит от пути интегрирования и является функцией только точки г; мы и обозначаем эту функцию !. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ а ив ЕО) о,(х, у). Имеем, пользуясь свойствами криволинейных интегралов, г+» — = 1нп доа оа(х+Ь, у) — га(х,у) . ! ! ди ди =1пп — ) — — дх = —— д о »+О Гв ду ду (мы можем брать интеграл от а до а+6 по горизонтальному до, ди отрезку, на котором ду = О); аналогично, — = —.
Следоваду дх ' тельно, о,(х, у) и является искомой функциен, сопряженной с функцией и(х,у). Так как функция определяется своими часг- ными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций, сопряженных с и(х,у), дает формула ди ди о(х, у) = ~ — — дх+ — ду+ С, ду дх гв где С вЂ” произвольная (действительная) постоянная. Заметим, что в многосвязной области Р интеграл (2) г о(х, у) = ~ — — с(х+ — с!у+С ди ди ду дх г, (2) определяет, вообще говоря, м и о г о з н а ч н у ю функцию, Он может принимать различные значения вдоль двух путей Р и Г, соединяющих точки ао и а, если эти пути нельзя деформировать друг в друга, оставаясь в области Р (т.
е. если внутри области, ограниченной Ь и Е, имеются точки, не принадлежащие к Р). Очевидно, на наш случай полностью переносится соответствующее рассуждение п. 13 и можно утверждать, что в многосвязной области общая формула для значении функции о(х,у), определяемой интегралом (2), имеет вид; о (х, у) — ~ — — дх + — а(у+У,Г,+УЕГг+ ...
+ У„Г„+С, (3) св г, где Уд — произвольные целые числа и Г» — интегралы вдоль замкнутых контуров ум каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы Р: ди ди Гд = ) — — дх+ — а(у ду дх Уд (ср. формулы (2) и (3) из п. !3). Постоянные Гд называются периодами интеграла (2), или циклическими постоянными. ГЛ. гн. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ !4! Если в некоторой области Т)', лежащей в Т), можно выделить однозначную и непрерывную ветвь функции о(х, у), определяемой формулой (3), то эта ветвь, очевидна, является гармонической функцией, сопряженной с и(х,у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
