М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Применяя формулу (7) предыдущего пункта, получаем: Сс [ (~ а[),-1 (ьс аде-! (сь я)лл ! ц Приведем выражение в каждой скобке к общему знаменателю и вынесем нз каждой скобки множитель а„' — а' (а = 1, ..., и — !); — 1 *) Если олив из точек аь = о, то прилется взять 7. — + а, гле а а л отлично от всех аь.
зз! $3. ПРИ!ЩИП СИММЕТРИИ !77 ек Рис. 8!. ... ( — а„)" ' йг+Со (З) где а' и а" — измеренные в долях п углы при вершинах А' и А,",, а а' и а„" — точки осн х, соответствующие этим вершинам, будем иметь: те = С ~(г — а,)'~ ' (г — ат)'~ ' ... (г — а„,)' -1 ' Х 4(Я Х „„, „„,,+С„ 1 2 ''' а ! где ад —— ,, — некоторые действительные постоянные, а а„— аь С вЂ” комплексная постоянная (в ее выражение включены все вынесенные множители). Используя элементарное геометрическое предложение о сумме утлов п-угольника, согласно которому а, + аз+ ... + а„=п — 2, (1) получим окончательно с те= С ~ (г — а,)' ' (г — а,)"' ... (г — и„,)'"-' ' йг+С,. (2) о Таким образом, если одной из вершин многоугольника Л соответствует бесконечно удаленная точка, то относяи!ийся к этой вершине Ь;,, л!ногситель в Формуле Шварца — !тристофсреля выпадает.
Это обстоятельство используется на пракзике для упрощения интегра- !с сг Л~ д ла Шварца — Кристоффеля (см. п. 39 и след,). 2) Одна илн несколько вер- я.', а,'7! шнн многоугольника лежат 8' в бесконечно удаленной точ-, ке. Пусть вершина Аь многоугольника Л лежит в бесконечно удаленной точке. Возьмем на лу !ах Ач 1Аь и А„Аь+, произвольно по точке Аь и Аь', соединим нх отрезком прямой н рассмотрим полученный (и+ 1)-угольник Л' (рнс. 81). Функция, отображающая полуплоскость на многоугольник Л', по предыдущему выражается формулой / а ге= С ~ (г — а,) ' ...
(г — а') " (г — а,",) ь «а ГЛ. П, КОНФОРМН11Е ОТОБРАЖЕНИЯ )за !?8 Пусть отрезок АААА удаляется в бесконечность, оставаясь параллельным самому себе; при этом точки а' и аа сливаются в одну точку аа, соответствующу'ю вершине Ае, и в пределе множители формулы (3), содержащие а' и а", переходят и аач.на -е в (г — а,) ' а . Обозначим через ата взятый со знаком минус угол пересечения лучей АА,АА и АА„,АА в конечной точке А".
Тогда из треугольника А'А"А' имеем а' + а" — ае = 1, т. с. а'+ а„" — 2=а — 1, и формула (3) принимает обычный вид: ил =- С ~ (г — а,)"1 ... (г — аь)"и ... (г — а„)" ' де+СИ (4) 7 Это же рассуждение можно привести и в случае, когда в бесконечности лежат несколько вершин многоупульника. Таким образом, форл1ула Шварца — !(ристоффеля остается в силе и для иногоугольников, у которы одна или несколько вершин лежат в бесконечно удаленной точке, если яри этолл угол между дву.ия пряны ии с вершиной в бесконечности определяется как угол в конечной точке их пересечения, взятый со знаком минус (ср.
п. 31). Прн нашем определении угла в бесконечности остается в силе соотношение (1) для суммы углов многоугольника. Действительно, для (и+ 1)-угольника Л', с конечными углами, на основании формулы (1) имеем: ~ + а' + а" = я — 1, где ~ означает сумму всех углов Л', кроме угла прн вершине А, = со (мы придерживаемся принятых выше обозначений). Заменяя а' +а"=а + 1, получим соотношение (!) и для многоугольника Л. 3) Отображение внешности многоугольника. Этот случай отличается от разобранного в п.
37 тем, что в пеКОтОРОй КОНЕЧНОН и) ТОЧКЕ а ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСтн, СООтВЕтствующей бесконечно удаленной точке многоугольника, функция )( ) имеет полюс первого порядка (наличие полюса высшего порядка противоречило бы однолистности). Так же, как и в п. 37, доказывается, что в этой точке д(г) будет иметь полюс первого порядка с вы 1етом, равным — 2. То же самое б)л дет иметь место и для точки а нижней полуплоскости, ибо д служит полюсом первого порядка для аналитического продолжения функции )(г).
Таким образом, для функции д(г) будем *) Если бесконемо удаленной точке лжогоугольиика соответствует бесконечно удаленная точка плоскости а, то зта точка является граничной для ыногоутольиика, и мы имеем случай, уже разобранный в разделе 2), за1 $ Х ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 179 иметь разложение а,— 1 а,— ! аа — 1 2 2 е — а~ е — аз ''' е — а е — а е — а Отсюда получим следующую формулу для функции, реализующей конформное отображение верхней полуплоскости на внеси- ность многоугольника е ш=С~ (г — а,)'1 ...
(г — а„)аа ',, +Сь (6) и Здесь ссх — измеренные в долях и в и е ш н и е углы многоугольника, аь — точки действительной оси, соответствующие его вершинам, а — точка верхней полуплоскостп, соответствующая бесконечно удаленной точке многоугольника, га, С н С~ — некоторые постоянные. 4) Отображение внутренности (внешности) единичного круга па внутренность (внешность) многоугольника осуществляется функцией а ее = С ) (г — а,) ~ (г — а.,) " ... (г — а„) с(г + Сн (6) и Здесь ось — измеренные в долях и внутренние (внешние) углы многоугольника, ам ) ах) = 1 — точки единичной окружности, соответствующие его вершинам, С и С~ — некоторые постоянные.
При отображении внепиости круга на внешность многоугольника, кроме того, предполагается, что бесконечно удаленные точки плоскостей г и ш соответствуют друг другу. Для отображения внутренности единичного круга на внешность многоугольника имеет место формула 1с = С ~ (г — а,)" 1 (г — а,)" ~ ... (г — а„)"а 1 †, + Сь (7) г гр где смысл обозначений тот же, что п в формуле (6), и предполагается, что бесконечно удаленной точке многоугольника соответствует центр круга. Формулы (6) и (7) сводятся к предыдунгим с помощью дополнительного дробно-линейного преобразования плоскости г так, как зто делалось в начале этого пункта при выводе формулы (2).
6) О б р а т н а я з а д а ч а. Пусть теперь заданы произвольные совокупности действительных чисел аа и аь удовлетворяющие условиям — оо < а, < аг « ... а„< оо, — 2 ( ил ( 2, 180 ГЛ. П. КОНФОРЫЦЫЕ ОТОВРАЖЕНИЯ !Зз Оказывается, что в этих условиях интеграл Шварца — Кристоффеля определяет функцию, реализугои(ую конформное отображение верхней полуплоскости на некоторый многоугольник с углами сслп при вершинах. В самом деле, аргумент производной функции (8) ь сЫ ага — =агц С+ 1 (ал — 1) агд(г — ал) и=! (9) сохраняет постоянное значение на любомотрезке (а!зал+!),)г=1, 2, ..., п — 1 действительной оси ), а сама производная Ф им Б!х внутри такого отрезка не обращается в О.
Следовательно, функция (8) взаимно-однозначно отображает отрезок (ам аг,+!) на некоторый прямолинейный отрезок АлАл+ь То же самое относится и к содержащему г = оо отрезку (а„а,) действительной оси. В самом деле, во-первых, в силу условия ~за, =и — 2 отрезки (а„оо) и ( — оо,а!) поворачиваются при нашем отображении на одинаковый угол, а во-вторых, интеграл (8) сходится в точке г = о *а); следовательно, при г- -1-оо функция ьу стремится к одному и тому же пределу.
Таким образом, функция (8) осуществляет соответствие действительной оси и некоторой ломаной А,Аз ... А,, В общем случае эта ломаная может иметь точки самопересечения и не ограничивать никакой плоской области (она будет тогда ограничивать неоднолистную область на римановой поверхности). Исключая такие случаи, будем считать, что А,Аз...А„ является границей некоторого (однолнстного) многоугольника. Заметим, что некоторые из вершин этого многоугольника могут лежать в бесконечности — это будут те вершины Аж для ") Мы считаем агя (х — аь) равным О или и в зависимости от того, будет ли х ) оь или х ( ож следовательно, иа каждом отрезке (аж а*ы) ностоаииы все слагаемые суммы (9). ию '*) Первое утверждение следует из того, что агя — на отрезке (а„, ох равен зги С, а на отрезке ( — оч, а,) равен а!я С+(Хаь — и) и = ага С вЂ” 2п! второе утверждение из того, что главный член нодынтегральной функции в хоа-л оирестноста точки х = ео имеет вид х а =и хй аз =гг — 2, и произвольные комплексные числа С и С!.
Поа=! строим с их помощью интеграл Шварца — Кристоффеля х ш = С ) (г — а,)' ' (г — а,)" ... (г — а„)си ' йг + С,, (8) хь зз! $ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ которых аз~0 (в самом деле, при приближении к соответствующим точкам аь функция ги- сю, ибо интеграл (8) расходится, так как порядок бесконечности подынтегральной функции ) 1). Но и в этом случае применим принцип соответствия границ и можно утверждать, что функция (8) реализует конформное отображение верхней полуплоскости а на внутренность многоугольника А!Аз ... А „. Угол при вершине Аа этого многоугольника равен ссья, ибо, как видно из (9), при переходе а'ш через каждую точку аь в направлении слева направо агц— дз изменяется на — п(схь — 1) = и — ссап, следовательно, соответствуюшнй отрезок Аь,Ал поворачивается на угол и — ссзп против часовой стрелки.
Наше предложение полностью доказано. Предложение остается в силе и в том случае, когда усло- а вие ~ аа —— п — 2 не выполняется. В этом случае лишь появит- л=-! ся дополнительная (и+1)-я вершина многоугольника, соответствующая точке г = со. Читатель проверит, что эта вершина будет конечной, если Х аа < и — 2, и бесконечно удаленной, л=! а если ~ аь > и — 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
