М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 32
Текст из файла (страница 32)
П КОНФОРМНЫС ОТОБРАЖЕНИЯ Далее, имеем с точностью до малых четвертого порядка: 2пй =2 (созб — созХ ) = Х вЂ” 62 — — (Х4 — 94) = 2 1 ! ! ! 12 = аий2 — 92+ — а4й4+ — б4 ! 4 1 4 ! 19 (19) (Ой + озьз) (Ой ) (1 + 4!2й2) (озй2 92 + 94) ОЗБЗ бз + б4 + о4ь4 О2й292 3 6 ' 6 Деля первое из этих разложений на второе, получаем с точностью до малых второго порядка включительно; ~ Г(*4! — „(6 4. (,',1, 4- ' ) Рис. 69. отрезком действительной оси СЗ и дугой окружности С! кривизны й4; через и" обозначим отрезок мнимой оси, заключенный в луночке 0*, а через б — угол, образованный дугой С, с перпендикуляром к мнимой оси в точке их пересечения (рис.
69). Отобразим конформно нижнюю полуплоскость ь на внешность окружности С. кривизны ЕЗ: ! ! — й 412 9! ! ЯЗ !+~ ' 41~ 22 (1+Я! ' (21) Используя справедливое с той же степенью точности соотношение 2пй,=2 (соз б — соз ) !) = ОЗЙЗ! — 92, получаем окончательно; =-"„( +( — ""+ "'") —..')=-"(+Ф+Ф что совпадает с формулой (8) при й2 —— О. Для перехода к обшему случаю, когда й2 ~ О, мы возьмем вспомогательную плоскость Ь и в ней луночку 4!*, ограниченную ! х пгостепшие конаогмные отовгхжсния 34! и окружность С, образует с перпендикуляром к действительной оси в точке г! их пересечения угол 0 (рис.
69). Найдем теперь связь между ))! и другими параметрами. Для этого обозначим через с(з элемент длины дуги С,, через а(з)— угол касательной к С, с осью х (з отсчитывается от точки го так что а(0) =0 + — ! и через с(з* — элемент дуги С!, соответ- 2) оа ствующий с(з. Имеем й, = — „, Но бесконечно малое приращение угла а можно представить в виде с(а =))! с(з'+ с( агр —, ос аг а'г где второе слагаемое с(аги — =1птс((п — означает приращеаь ние аги — на дуге с(~=е!ос(з* окружности С!, примыкающей ис к точке Ь! = — и"1. Согласно формуле (21) это приращение равно е!о оо* 2 соо Ю вЂ” 21т ., = — „с(з' и для кривизны имеем: (1 — а)! 1 — а* — = — (1 — и") .
Отсюда оя ! Ьг "2 сЬ )~Ы ~ 2 1 ьйа которой †, = 1 + — , находим: 1 — а* 2 ), ( + 2 ) — 2созб(1+ 2 ). (23) нбо по той же формуле (21) и из второй формулы (21), по /г, 2 Ао (! — и')' 2соо Е ! — а' Пусть функция се=((г) реализует конформное отображение луночки, ограниченной дугами С, и С„на полосу ширины Ь. Согласно формуле (21) в точке го — — 1/Ц, соответствующей точке ь =О, имеем: При этом луночка )9' переходит в луночку (), ограниченную дугой С, и дугой окружности С, некоторой кривизны йо мнимая ось переходит в действительную, а отрезок п" — в отрезок а действительной осн, причем ! 1 + а ! 2а Фса (сса 1 ао 1 — а" ао аг(1 — а ) 2 + аса 2 Йса ' (22) !+ 2 135 ГЛ. Н.
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНПЯ 188 Величину ~ — ~ можно вычислить по формуле (20), заменяя 4м ЛЬ 1=5 в ней и и й1 на и' и й1. Используя найденные значения (22) и (23) для и' и 121, получаем с точностью до малых второго порядка включительно." Так как по условию разность й, — й2 является малой величиной, то с той же степенью точности й,й п2= й,'и', и мы получаем искомую формулу: ь ( А1л йел 2211 е 1 22 21 ! Г(г) ~=-,(+ — + — + — + — /.
л1 6 3 12 3/' 3 3. Принцип симметрии и отображение многоугольников Здесь мы рассмотрим методы, играющие важную роль при фактическом построении конформных отображений. Первый из этих методов опирается на так называемый принцип симметрии, который был сформулирован Б. Р и м а н о м и обоснован Г. Ш ва р цеи. Этот метод, как мы увидим в и. 36, позволяет в некоторых случаях довольно существенно упростить решение задачи Отыскания конформных отображений. Второй метод особенно важен для приложений, так как он дает возможность выписать (правда, вообще говоря, лишь в виде интеграла) функцию, реализу1ощую отображение верхней полуплоскости на произвольную область, органиченную многоугольником.
33. Принцип симметрии дает в одном частном случае простое достаточное условие существования аналитического продолжения функции, реализующей конформное отображение. Теорема ! (Б. Р н ма и, Г. Шва р ц). Пусть граница области 01 содержит дугу окружности С и пусть функция в = =11(г) реализует конформное отображение этой области на область 01 такое, что дуга С переходит в участок С* границы П1, также являющийся дугой окружности. В этих условиях функция 11(г) допускает аналитическое продолжение 12(г) через дугу С в область Пм симметричную с 01 относительно С, причем функция и =12(г) реализует конформное отображение об- $3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 159 ласти Ва на область Рв, силгметричгерю с 01 относительно С*, а функт(ия ~~ (г) в Р„ щ = 7 (г) = ), (г) = ), (г) на С, ),(г) в Ре реализует конфорлсное отображение е) области Р, + С-)-Ря на область 0;+ С*+ Ря.
Для доказательства мы совершим дробно-линейные отобра- жения преобразующие С и С* в отрезки Г н Г" действительных осей плоскостей Ь н ии области Р~ и 01 пусть переходят прн этом Рис. 70. в области Л1 и Лн а функция и = (с(г) — в функцию го = = (.7,Р(Ь) = ср(Ь), осуществляющую конформное отображение Л, и Л; (рис. 70)""). Обозначим через Ля область, симметричную с Л1 относительно Г.
Построим в Ля функцию от = сре (ь) = ср, (1) и покажем, что она является аналитическим продолжением функции грс(ь). Прежде всего функция фе(ь) аналитична в области Ль В самом деле, для любых точен ь н ь+ Л(. из Ля имеем: фе(й+ бс) — Че(Ь) т1 (Ь+ ЛЬ) — Ес (и) ) Ч1 (и+ 51) — Ес (Ь) бй Л1 *) Для однолистнос н области 0, и 0ь а также 01 '*) Для етого случая в !777 г.
етого отображения надо потребовать, чтобы и 0а яе пересекались. принцип симметрии сформулировал еще Эйлер 160 ГЛ, НЬ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ где ь и ь+ Ль — точки из Ль В силу аналитичности ф,(~) в Ь1 правая часть имеет предел при ОЬ О, следовательно, существует н производная фг (Ь) = ф~ (й) (2) в любой точке Г, области Ль т. е. фг(ь) аналитична в Ьь По построению функции фз(ь) ее граничные значения на отрезке Г существуют: фг (х) = !нп ф>г (ь) = 11гп ф1 (~), (3) с-эх й+Ф ибо по теореме О соответствии границ при конформном отображении (п. 29) существует !пп ф, (ь) = ф, (х). Соотношение (3) ~+я принимает вид фг(х)= ф1(х), но так как значения ф,(х) действительны (Г', по условию, — отрезок действительной осн), то на отрезке Г (4) По принципу непрерывного продолжения (п.
25) можно, следовательно, утверждать, что ф,(~) является аналитическим продолжением ф~(ь) через Г. Из построения функции фг(Ь) следует также, что она реализует конформное отображение области Ьз на область Л$, симметричную с Л~ отнрсительно 1'*. Функция же ф(Ь), составленная из ф~(Ь) и ее аналитического продолжения ф,(Д; ф,(~) в Лн ф (ь) = ф1 (ь) = фг (ь) на Г, фе(ь) в Лм реализует конформное отображение Л1'+ Г+ Лз наМ+ Г*+ бт. Возвратимся теперь к старым переменным г и гв с помощью подстановок, обратных (1).
В силу свойств дробно-линейных отображений мы получим в области Рз, симметричной с Р1 относительно луги С, функцию !Я(г), аналитически продолжающую 1,(г) через дугу С и реализующую конформное отображение области Рг на область Рг, симметричную с Р! Относительно дуги С'. Теорема доказана. В качестве примера применения прннцнпа симметрии докажем теорему единственности конформного отображения при заданном соответствии трех граничных точек, о которой мы говорили в п. 29.
Теорема 2. Существует одно и только одно конформное отображение гв = )'(е) области Р на область Р", переводящее три граничные точки гА области Р в три граничные точки геь $3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ м1 1б! области !>'. Точки гь и и», задаются произвольно, но с соблюдением порядка следования при обходе границ областей. Рассмотрим сначала случай, когда Р и 0* представляют собой единичные круги. По формуле (2) п. 32 можно построить дробно-линейное отображение круга (г! с, 1 на круг (ш)( 1 с заданной нормировкой !(гь) = и>ы Докажем единственность этого отображения. Пусть ш = а(г), я(гь) = ш„будет другое отображение круга )г)(! на круг )ш)( !.
Функция е,(г) удовлетворяет условиям принципа симметрии и, следовательно, аналитически продолжается в область, симметричную с кругом !г) .,1 относительно окружности )г)=1, т. е. во внешность круга (г( ' !. Вместе со своим продолжением ш =д(г) реализует однолистное отображение полной плоскости г н по теореме 1 п. 3! является дробно-линейной функцией. Но тогда можно утверждать, что д(г) = !(г), ибо по доказанному в п. 32 дробно-линейное отображение вполне определяется заданием соответствия трех точек.
Общий случай просто сводится к рассмотренному. В самом деле, пусть г = >р(г), ~~„= ц(г„) и ь> = ф(ш), ыь = >(>(ш>,) будут какие-либо конформные отображения областей 0 и !У* на единичные крути (~(<! и !>ь((! и ь> = Г(ь), г(сь) = ь>ь— отображение круга (с! ( 1 на круг !ь>(( 1 (его существование и единственность гарантированы).
Отображением области Е1 на область В* с заданной нормировкой будет, очевидно, служить ш=ф > р'т(г) =!(г) где ф-> — отображение, обратное >!. Существование второго отображения и> = с>(г) области 0 на ТУ* с той же нормировкой привело бы к существованию второго отображения ы= фар '(ь) =О(ь) круга 1ь! 1 на круг !о>(( 1 с нормировкой 6(~ь) = ь>м что противоречит установленному выше. Теорема доказана полностью. Рассмотрим еще применение принципа к вопросу о существовании конформных отображений многосвязных областей.
По основной теореме п. 28 любые две односвязные области можно однолистно и конформно отобразить друг на друга. С другой стороны, мы видели, что нельзя так же отобразить односвязную область на многосвязную, Возникает вопрос о возможности отображения друг на друга областей одного порядка связности, Оказывается, и этот вопрос, вообще говоря, решается отрицательно. В самом деле, даже в простейшем случае концентрических колец имеет место Те о р е м а 3. Для того чтобы существовало кон4ор иное отображение а> = !(г) кольца г>< !г) -гз на кольцо р>< !ш) (рм Гл. и, конФОРмньш отОБРлження !62 необходимо и достаточно подооие этих колец: Рг гг р~ г~ (5) Для доказательства необходимости условия (5) заметим, что функция г(з) удовлетворяет условиям принципа симметрии н на основании этого принципа аналитически продолжается 2 гя в области — < ! г ! < г, и ге < ! г! < —, симметричные с кольцом г, г~ ' г, < ! г ! < г, соответственно относительно окружностей ! г != г, 2 Г1 гз и ! г !=г,.
Расширенное кольцо — <)г! < =' функция )(з) г1 9 2 Р1 Р> (вместе с ее продал>кением) отображает на кольцо — <! и !< †. Рг Р~ Поэтому к функции )(г) снова применим принцип симметрии гг,>2 гг, !> и ее можно продолжить в кольцо г, ( — ) < ! з ! < гз! — ) . Прог, изводя такое продолжение неограниченно, мы получим, что г(з) реализует однолистное отображение области О < ! г ! < сь на область О <!ги!< со, причем либо !!т )( )=О, )!гп >г(х) =со, г.>О г+ либо (нп )(г) = ос, Игп !'(г) =О, в зависимости от того, соотг->О Е.Ф ой ветствует окружности ! г ! = г, окружность ! ы ! = р, или ! в ! = р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
