М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Зададимся тачкой а верхней полуилоскости, переходящей в центр круга в = О (рис. 53). По свойству ГЛ. 11. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРА>КЕНИЯ [22 сохранения сопряженных точек точка а, симметричная точке а относительно действительной оси, должна перейти в точку в = Оэ, симметричную точке п1 = 0 относительно единичной окружности.
Поэтому искомое отображение должно иметь вид 2 а и=й = 2 — Д (7) Граничная производная Н., — — -„,.„,— ЯЭ ') Ых Ь Ь ам ~~,1Э ИВ З,, а — В ! — соэ ( — а) г (9) непрерывна всюду на окружности, кроме точки га = е'", кото- рая соответствует точке г = ОО (ср, теорему 1 п. 29), где й — постоянный множитель. Прн любом Й эта функция Отображает верхнюю полуплоскость иа некоторый круг с центром в п1 = О, ибо точка п1 = ОО должна быть симметричной точке ш = 0 относительно окружности этого круга. Подберем й так, чтобы круг был единичным.
Для этого достаточно потребовать, чтобы точка з= 0 перешла в точку единичной окружности: ! а= й й — ~ =| й ~ = 1. Таким образом, можно положить й = е1" н нашу задачу решает функция Ш=Е1а 2 а (6) 2 — а где а — любое действительное число (изменение а означает поворот круга относительно центра и = О). По свойствам дробно-линейных отображений пучку радиусов круга (ю((1 (т.
е. дуг окружностей, проходящих через точки н1 = 0 и га = ФО) соответствуют (принадлежащие верхней полуплоскости) дуги окружностей, проходящих через точки а и а. Семейству окружностей с центром в точке н1 = 0 соответствуют окружности, имеющие а н а своими симметричными точками (см.
рис. 53). Отметим еще обратное к (6) отображение единичного круга на верхнюю полуплоскость. Полагая для упрощения а = (й чисто мнимым, получим из формулы (6) е'+м а 1а е — м Полагая здесь п1 = еЭЭ н умножая числитель и знаменатель а+О на е ' находим соответствие между точками единичной окружности и оси х, которое устанавливает отображение (7): х — Ь с(п —. (8) а| $ д пРОстеии!Не кОнФОРмные Отоерлжения 139 2) Отображен н е един и ч ного к руга н а е д ин и ч н ы й к р у г. Зададимся точкой круга (г(( 1, переходя- 1 щей в центр круга )ш((1. Точка а'==, симметричная с а а ' относительно единичной окружности, должна переходить в точку ти = оо; следовательно, искомое отображение должно иметь вид а — а и и и=й —,= й| и — и 1 — йа где й и й, — некоторые постоянные. Подберем й| так, чтобы круг в плоскости ю был единичным. Для этого достаточно потребовать, чтобы точка г = 1 перешла в точку единичной окружности.
())! ! — ! Й|1 — 1 Следовательно, можно принять й, = е|", н нашу задачу решает функция а|а (10) и 1 — ая ' где сс — любое действительное число. Так как |Уш 1 и!а ча ]с=а 1 — 1а)т Рис. 54, и )а)< 1, то а геометрически-означает угол поворота отображения (!О) в точке сн а = ~агй' — ] (1 !) Заметим, что растяжение отображения (1О) в точке а (12) стремится к бесконечности, если точка а приближается к границе единичного круга. На рис.
54 указаны линни, соответствующие друг другу при этом отображении. Сетка в плоскости г является частью сетки на рис, 53, Отметим еще соотношение, связывающее аргументы соответствующих точек единичных окружностей г = е'т н ш = е|а (мы считаем для упрощения, что а = 0 и полагаем а =ге'о): 11 + г') соа 1|р — |рс) — 2г и) (13) — — — соя 1|р — |р ) + га ") Лля получения соотношения 113) достаточно подставить в формулу (10) выра|кения для г, ш н а, помножить оое части на е-|Р н отделить действительные части. ГЛ. Н.
КОНФОРМЫЫЕ ОТОВРЛЖГНИЯ 1зз Переходя к более общему случаю, заметим, что если радиус круга в плоскости г равен )т, то функция гс = !(г), Отображающая этот круг на круг ) и) ( 1 при условиях !(а) = О, агд/'(а) = а, имеет вид ,са и (г — а) )(г — аг (14) где а, Ь, с,с( — действительные числа. Наоборот, любая функция (!5) с действительными коэффициентами преобразует ось х в ось и и, следовательно, верхнюю полуплоскость г в одну из полуплоскостей и, верхнюю или нижнюю. Мы получим верхнюю дю полуплоскостгь если потребуем, чтобы производная — на дейс(г ствительной оси была положительной; 1 1 'д — ьс , >О, с)г )2=х (сх + н) откуда ас( — Ьс ) О.
Таким образом, формула (! 5) прн действительных коэффициентах, удовлетворяющих условию ас( — Ьс ) О, дает общий вид линейных отображений верхней полуплоскостн на верхнюю полуплоскость. 33. Примеры. Рассмотрим примеры конформных отображевий, которые осуществляются комбинациями элементарных функций, 1) Отображение полосы на единичный круг. Пусть в плон и скости г задана полоса Ри — — < нег< — которую'требуется конфориио 4 4' и отобразить иа круг (ю! <! с соответствием трех граничных точек: !(ш — ) = 4/ = ш 1, ! ((со) =1 (1се обозначает верхнюю бесконечно удаленную точку полосы). Прежде всего мы повернем на прямой угол и расширим вдвое нашу полосу: а|= 2)г, (1) затем воспользуемся тем, что показательная функция гг е*' (2) Эта формула получается нз формулы (!0) заменой г на г//! и соответственно а на а//с.
3) Отображение верхней пол уплоскости на верхнюю полуппо с кость. Найдем общий вид таких отображений. Всякую дробно-линейную функцию то = !(г), осуществляющую отображение верхней полуплоскости з на верхнюю полуплоскость тп, можно получить из формулы (2), задавая две тройки соответствующих точек г» = х», ш» = и» действительных осей х и и. Так как числа г» и и» действительны, то после преобразования формула (2) прилсет внд аг+ Ь се+а ' 4 э. пиостнишнн конеонмнын отоннлжнлптп !41 —,(1+л) = ю л гэ нли 1 гт — ! Ф= —— г,+1' (3) в (3), получим окончательное решение за- Подставляя выра>кения (2) и (!) лачн 1 Ю=— енг — г =!йг е"г+ ! (см. п. 9).
Выясним еще соответствие линий при этом отображении. Семейство нертикальных прямых )(е г = сопя! при отображении (1) переходит в семейство горизонтальных прямых, которое отображение (2) преобразует в семейство лучей агп ге — — сопя!, т. е. в семейство «окружностей», проходящих )и !3( в 1 в ,Ю( л) Рис. 55, через точки г, = О и г, = сс, Дробно. линейное отображение (3) преобразует эти точки в точни ю = ! и ш = — 1, следовательно, рассматриваемые нами лучи оно переводит в семейство окружностей, проходящих через точки ш = ~!.
Ортогональное семейство отрезков !юг = сопз1 переходит в семейство окружностей, имеющих ш = ~! своими симметричными точками (рнс, 55). Обратная функция 1 1+!г щ= ага!й г= —,. !п —. 2! 1 — ьа н н преобразует полосу — —,(1шгл( — на которую функция (1) отображает (у, 2 2' в правую полуплоскость Ке г, ) О (действительно, г, = еж ° е!"', следовательно, (гт) = е"' меняется от нуля до со, а агй гэ = у1 от — н/2 до н/2). Остается отобразить эту полуплоскость на единичный круг так, чтобы точки гз = л, — 1,0, соответствующие точкам г н/4, — н/4, ~ее, перешли в точки ш = 1, — 1, !. Такая задача решается с помощью формулы (2) предыдущего пункта (мы меняел~ принятые там обозначении): ГЛ. !!. КОЫФОРМНЫЕ ОТОБРАЖГНПЯ (зз 142 реализует обратное отображеаие круга на полосу.
Заменяя здесь (г на г, и (ш на — шь получим отображение круга (г(< ! на полосу ширины Н! и 2Н Н Н вЂ” — ( Ггп м < — —. Опо имеет вид 2 2 Н !+г 2Н ш = — (п — = — аг(й г (5) и ! — г и мы опускаем индексы у г и ш). Отображение (5) переводит точки г = ~ ! . Н в точки ш Ш оо и точку г=! в точку ш=! —. Его производная 2 ' Ыв 2Н ! «Гг от ! — г гл = )д(г — а)'+ Ио. (г,) Сдвигая слпс плоскость г, на отрезок а вправо, чтобы точка г = а -)- ГИ перешла в точку а, получим окончательно ш г~ (г — а)о+ И'+ а. (7) Производная отображения (7) Аа г — а гн:лг» л (8) обращается в пуль в точках В и ГЗ (где г = а) и в бесконечность в точке С (где г = а-)- гй).
Прямым е = со = сопз! соотнетствлют линии четвертого порядка И у=со Г+ (х — а) + е„ (9) симметричные относительно прямой х = а, на которой пх ордннаты достигают своего максимума. Прп больших о, кривые (9) мало отличаются от и я»1ых (рнс. 56). ри И = О отображение (?) обращается в тождественное преобразование ш = ж Найдем главную часть отображения (7) при малых И. Для этого мы преобразуелл формулу (7), пренебрегая степенями И выше второй, Применяя известную приблимсенную формулу для корпя, получим: Ио Ио ш=(г — и)1/ !+»+а=а+, (г — а)» 2 (г — а) обращается в бесконечность н точках г = ." !. 2) Отображение полуплоскости с выброшенным отр е з к о м н а п о л у п л о с к о с т ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
