М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Вершина этого пучка будет, очевидно, лежать в точке г1, симметричной точке г, относительно Со. По свойству симметричных точек все окружности (!') ортогональны к С, зп % 1. ПРОСТЕП1ИИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 1ЗЗ и так как инверсия сохраняет углы (мы доказали выше, что она является конформным Отображением второго рода), то образ С* окружности С.будет ортогонален пучку прямых (Г*). Отсюда следует, что С' является окружностью. Свойство доказаноо.
Точно так же доказывается еше одно важное свойство инверсии: инверсия преобразует любую пару точек г, и г,, симметричных относительно произвольной окружности С, в пару точек г; и гг, симметричных относительно окруакности С*— образа окружности С (свойство сохранения симметричных точек).
В самом деле, построим пучок окружностей (Г) с вершинами в г, и гь При инверсии он перейдет в пучок окружностей (Г*) с вершинами в г; и г;. Так как окружности Г ортогональны к С, то и окружности Г* ортогональны к С". Отсюда следует, что г", и гз симметричны относительно С". Свойство доказано. Так как отображение Те = 1/г составляется из двух симметрий (симметрии (сл) относительно единичной окружности и симметрии (б) относительно прямой), то оно обладает и круговыы свойством и свойством сохранения симметричных точек. Так как остальные преобразования, составляющие у у произвольное дробно-ли- А нейное отображение (преобразования (а) и (в) из Р 1 формулы (5), т.
е. сдвиг лев и поворот с растяжением), очевидно, также и обладают этими свой- а1 б/ ства ми, то эти свойства остаются справедливыми у' и для произвольного дробно-линейного отображения. Докажем, что произвольное дробно-линейное отображение (1) сохраняет углы в полной плоскости г. Это очевидно для всех точек г, кроме г =. — Н/с и г = ь, ибо для таких точек существует дш/дг Ф О (см, (2)).
Чтобы говорить о сохранении углов в точках г = — д/с и г = ьо, нужно ввести понятие угла в бесконечно удаленной точке, причем можно, очевидно, ограничиться определением угла между двумя прямыми. Под углом в бесконечно удаленной точке между двумя прямыми понимают взятый с противоположным знаком угол во второй (конечной) точке пересечения этих прямых (на рис. 52,а угол в бесконечности между прямыми / и П отрицателен). Ясно, что отображения (а) и (в) сохраняют углы всюду. гл и. конФОРмпые ОТОБРАжепия (34 (аЫ вЂ” Ьс ) (аа — Ьс ьа) (10) в) Окружностям ! г — го ! = г, не проходящим через точку г = — — (г Ф ~ го + — ~ ), — окружности 1 и — ио ! = р, где ио= (аео+ Ь) (ого+ от) — асг' г(ао( — Ьс( 1 с ее + и (г ! с (г го 11 сео + а (о — ! с (г го 1 о (11 а г) Окружностям! г — г, (= ~ го+ — ~ — прямые с йе( ао( — Ьс ! ао( — Ьо !'+ 2йе (с (аг, + Ь) (аа — Ьс)! (, с (сео+ гб и-',-- 2! с (соо+ а) Р Эти формулы можно получить непосредственным подсчетом.
Остается показать, что отображение (б) нли, что тоже са- мое, отображение и = 1/г сохраняет углы в точках г = О, г = = оо. Но это непосредственно видно из рнс. 52 и принятого нами определения (прн отображении и =!!г прямая ага г = ор переходит в прямую агди = — гр). Основные свойства дробно-лннейного отображения, доказан- ные в этом пункте, мы формулируем в виде следующей тео- ремы: Те о р е м а 2.
Произвольная дробно-линейная функция и= ее+ ь аа — Ьс ~ О, ос+ о( осуществляет однолистное конформное отображение полной г- плоскости на полную и-плоскость. Это отображение !) преобразует любую окружность полной г-плоскости в окружность полной и-плоскости (круговое свойство); 2) любую пару точек, симметричных относительно окружно- сти С, преобразует в пару точек, симметричных относительно образа окружности С (свойство сохранения симметричных то- чек), В заключение приведем без вывода формулы, по которым можно вычислять образы прямых и окружностей при произ- вольном дробно-линейном отображении (1): а) Прямым л(е(гг) = а, не проходящим через точку г = — д(с ( о( у а Ф вЂ” йе () — )), соответствуют окружности ! и — ио(=р, где с) 2аас+ аЖ+ Ьсь ( а ( ! (ао( — Ьс) Х 2а)с)о+2йе(со)Л) ! с ! ~ 2а!с!'+2йе(сЖ)) о( '1 б) Прямым г(е(Хг)= — Ке(Х вЂ” ), проходящим через точку г = — с(/с, — прямые 135 й з.
пРОстелшие копФОРмные ОТОБРАжешзя зг) Н р и м е р. Найдем образ прямой р = к+ 2 прн отобрзжениииз = я+1 г — 11 тзк кзк прямая ие проходит через точку г = 1. то оиа преобразуется и окружность„центр и радиус которой находятся по формулам (9): 2 — з ',з+1! )з2 3 ' 3 3 (у нас а = Ь = с = 1, с( = — 1 и тзк как уравнение прямой записывается и ниде ке(( — 1 — 1) (х+ (р) з' = 2, то Х =- — з' — ! и сз = 2). 32. Частные случаи. Выясним сначала вопрос об условиях, определяющих дробно-линейное Отображение.
Как показывает определение (1) и. 31, такие отображения задаются четырьмя коэффициентами а, 6, с и с!. Так как хотя бы один из этих коэффициентов отличен от нуля и его можно считать равным 1, деля на этот коэффициент числитель и знаменатель дроби, то дробно-линейное преобразование фактически зависит от трех комплексных пли шести действительных параметров. Отсюда ясно, что дробно-линейное отображение определяется условиями, приводящими к шести независимым соотношениям между действительными и мнимыми частями коэффициентов.
Простейший вид таких условий сводится к заданию в плогкостЯх е и пз пРоизвольных тРоек точек гь ез, гз н Раз, шз, цзз, соответствующих друг другу при рассматриваемом отображении. Для построения отображения, удовлетворяюшего этому условию, рассмотрим вспомогательную плоскость й и построим дробно-линейные отображения плоскости г и ш на эту плоскость, переводящие заданные тройки точек в О, 1 и о, Такие отображения легко указать: (1) г — г, -, — гз пз — нз~ ыг — мз г — гз гз — гз пз — зез мг — мз Исключая й из этой системы, мы получим дробно-линейное отображение плоскости г на плоскость ш, переводящее точки зь гг и гз в точки ы!, пзз и пзз соответственно; это отображение запишется так: м1 мг зез г-г, гз — гз (2) зо мз изз — зе! г — гз гг — гз Докажем, что отображение, определяемое формулой (2), есть единственное дробно-линейное отображение, удовлетворяющее поставленному условию.
В самом деле, если существуют два различных таких отображения ен = !!(Е) и ю = !з(е), то, применяя еше второе из отображений (!), которое мы обозначим й = !(и), получим два различных дробно-линейных отобразкения ь ! (1! (Е)! ~ 1 (е) ь ! (!2 (г)1 з з (е) 1зт ГЛ. Н. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ переводящих точки гь в О, 1 и РО. Рассмотрим теперь отобра- жение С"=~ <ТГ'(~')!, где А~ ' — отображение, обратное к Т.1.
Оно дробно-линейно, следовательно, его можно представить в виде аг'+ ь (3) сь'+ и Отображение (3), очевидно, оставлядт на месте точки О, 1 и ьо. Из соответствия бесконечно удаленных точек мы получим, что с = О и, следовательно, Ь' = е Ь'+ —. в Соответствие двух других точек дает условия Ь/й = О, а/а=!. Таким образом, Ь =Се!ь '(Ь)!= — "', т. е.
Л1 обратно к Ез и Ь1 — = (.в Но тогда и 11 ва 1м а это и доказывает наше утверждение о единственности отображения (2). Нетрудно убедиться в том, что формула (2) сохраняет смысл и в том случае, когда одна из точек гд или гвь есть бесконечно удаленная, если только в этой формуле заменить единицей числитель и знаменатель отношения, в котором участвует эта точка (в формуле (2) каждая точка участвует один раз в числителе и один раз в знаменателе). В самом деле, пусть, наПрИМЕр, ШЗ = Рь, гг = Оо, тОГда фОриуЛа (2) ПрИНИМаЕт Внд ! — 1 1 ы~ м~ 2 гр ! е г1 или и=ш1+(гее — ш1) и непосредственно видно, что г — г, полученное отображение решает задачу.
Таким образом, доказана Теорема 1. Существует одно и только одно дробно-линейное отображение полной плоскости г на полную плоскость 1е, переводящее три произвольные различные ~очки гА в трипроизвольные различные тачки 1еь. Из этой теоремы вытекает Т е о р е м а 2. Любой круг полной плоскости г с помощью дробно-линейной 4ункиии можно преобразовать в любой круг полной плоскости 1с. В самом деле, возьмем на границе С круга в плоскости г три точки гю занумерованные в порядке положительного обхода этого круга.
Если на границе С' круга в плоскости 1е взять три произвольные точки геА и по формуле (2) построить дробно-линейное отображение, то это отображение, согласно круговому свойству, будет переводить окружность С в С*. Тогда по принципу соответствия границ она переводит круг К, ограниченный 5 е пРОстеяшие конФОРмные ОтОБРАжения 137 окружностью С, в один из двух кругов, ограниченных окружностью С*.
Действительно, пусть К и К' будут заданные круги соответственно в плоскостях е и и, а С и С' — их границы. Выберем на С три точки ем занумерованные в порядке положительного обхода К, и такие же три точки гаА на С'. Если теперь по формуле (2) построить дробно-линейное отображение, то это отображение согласно круговому свойству будет переводить окружность С в С" и согласна принципу соответствия границ круг К вЂ” в один из двух кругов, ограниченных С*, Но так как канформные отображения сохраняют ориентацию (см. п. 27) и точки сеА расположены относительно К' так же, как точки ЕА относительно К, то К преобразуется именна в К".
Теорема доказана. йУ Рис. 53. Отметим один предельный случай формулы (2). Поставим своей задачей построение дробно-линейного отображения по двум парам соответствующих точек гь гт и геь гее и по задан- Г Ыв 1 ной производной а= ~ — 1 в точке еь Для решения этой за- ии г, дачи заменим последнее условие условием соответствия точек г, = гх+ Й и юс = и, + ай; тогда отображение найдется по формуле (2) ю — ю1 — ии и — и~ — Ь м — мс — иа мс — м, и — си — 6 ии — и, ' Сокращая обе части на — й и переходя к пределу при й-РО, получим искомое отображение а и — еи ы,— и, и — и, (4) ы — Фс ис — и1 и ис Рассмотрим теперь несколько важных примеров дробно-линейных отображений. !) Отображение верхней полуплоскости иа е д и н и ч н ы й к р у г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
