М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Г!усть из полуплоскости Гт г ) О исклю. чен отрезок (а, а+ ГИ). Для получения искомого отображения мы восполь. зуемся тем, что отображение ы = г' удваивает углы в начале координат и, следовательно, может «расправить» угол между исключенным отрезком и осью х. В соответствии с этим мы сдвигаем полуплоскость г па отрезок а влево: г, = г — а и, примення отображение гг г!, получаем плоскость с выбро- 2 шенным лучом — Иг ( (!его ( оо, Ггп -., = О. Затем мы снова сдвигаем плоскость го на величину И' вправо: г, = г,+ И».
Применяя, наконец, отображение г,=1 г,, получаем верхнюю полуплоскость. Таким образом, искомое отображение имеет вид 4 к ИРООтеишие кОИФОРмные ОтОБРАжеппя 143 зз1 Приближенная формула (10) перестает быть справедливой для точек г близ. ггэ ких к точне а, нбо для них величина перестает быть малой. г — а Рис. 56. 3) Отображение круга с выброшенаым отрезком радиуса на единичный круг (рис.
57). Пусть из круга [г! (1 исключев прямолинейный отрезок [(1 — Ь) ео, ещ), Отображение полученной области на единичный круг с помощью дополнительных дробно-линейных ото. бражсний можно свести к предыдущему отображению (7). Однако проще воспользоваться свойсгнамн функции Жуковского (и. 7). Повернув область н Рис. 57. 1/ плоскости г яа угол — а и применив функцию Жуковского ь = — ~ — + — /, 2 ещ г/ мы преобразуем эту область во внешность отрезна [ — 1, ! + 2Ь1), где Ьз 1/ ю е"! Ь, = *). Аналогичное преобразование ю = — ! — + — 7! переве.
4 (1 — Ь) дет круг в плоскости ю во внешность отрезка [ — 1, 1]. Легко видеть, что линейное отображение ю = — — — преобразует друг в друга Ь~ =!+Ь! 1+Ь, *) В самом деле, образом точки г = (! — Ь)ег" при рассматриваемом 1/ ! ( /Р отображении является точка 5э = — ! 1 — Ь+ — ! = 1+ 2[ 1 — Ь) 2(1 — Ь)' 4 2. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМИЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ зз) !45 луч (О, ео), а затеи в действительную ось, используя отображение .г — / г+и г, =ф г, г — а' Рассматринаемая область переходит при этом в верхнюю полуплоскость.
Дли получения нужного соответствия точек подвергнем зту полуплоскость дробнолннейному преобразованию на себя, так чтобы образы бесконечно удаленных 1-,, — -'-, 2) г1 Т-1 — 1-1- 1 Рнс. 58. точек А и С первоначальной области на плоскости г (т. е. точки гх = т !) попали в 0 и ео: 1+22 й аз = й — — — (г+9 г' — а') 1 — г, а (й — произвольная положительная постоянная). Остается применить лога- Н рифмическую функцию, ю = — !п гз, чтобы почучнть отображение на полосу и с нужным соответствием границ: пг = — )п (г + )' гт — а') + Нг + с = — агой — + — 1п а + Н! + с, (15) Н Н г Н Л и а и Н й здесь с = — !п — — произвольная действительная постояпнаи. Двум семей- и а ствам прямых а = сопа1 и о = сопз( при отображении (!5) в плоскости г соответствуют семейства эллипсов н гипербол с фокусами ~а.
Рис. 59. 5) Отображение полосы 0(у<2Н с вырезом — ес(х( ц у = Н н а п о л о с у О ( и ~ 2Н (рис. 59). Функция г =енг)ЗИ г,=е ГЛ. 11. КОНФОРММЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ !23 146 отображает полосу с вырезам ча верхнюю полуплоскость с аыброшенным отрезком (О, ь1) мнимой оси, где а = еэюзп. Функция (7] примера 2): )/ 2+ ЬЪ )7 Яа)П 1 ЯЮН 22 =- 21 (в формуле (7) надо положить а = О, Ь = Ь) отображает эту последнюо область на полуплоскость.
Применив логарифм, получим искомое отображение м = — 1п аз — — — 1г (енх ~ + ено(П). (16) д и 6) Отображение полосы О ~ у <! с вырезом 0:- у(Ь, х = а на полосу 0 ( о ~ 1 (рнс, 60). Функция а, = е" (е я)отображает 4' Г Рпс. 60. полосу с вырезом на верхнюю полуплоскость с вырезанной дугой единичной окружности. Отображение 21 — ! и (а — о) 22 = — =1)1 21+! 2 переводит эту дугу в отрезок мнимой оси (О, Ь!), где Ь=,16=1Š—. ! пя! пй 2 2 Используя опять функцию (7) примера 2), мы получим отображение заданной области на верхнюю полуплоскость: Точки А и Е при этом отображении перейдут в точки т- !7 1+ 1йз— пй 2 дробно-линейным отображением мы переведем их в 0 и ео н затеи применим логарифм 1 аз = — 1п г,. и В итоге мы получим отображение на нужную почосу.
Однако точке С соотьегствует, очевидно, точка 2, = 0; чтобы перевести ее я точку а действитель- ! пя соз —, 2 а ='р'22+Ь'= у 162 ' +!а' —. «l 2 2 — 2 Л (2 — и) 2 пя пй 1 + зз соз 2 яг = пй 1 — гз соз— 2 4 з. пноптнишмн гсоыФСгпымын Отоннджнмып зз! 147 сднинуть эту полосу на а. Таким образом, искомое ото- пой оси, нужно еще бражепие имеет вид: пЬ ! + гз соз— 2 2 ! пЬ +а= — аг!и !соз — ° г, )+а, пlа и (, 2 ! — г, соз— 2 1 ю= — !и и илп окончательно ( нй у,п( — а),мй) ю = — аг!Ь 1соз — йу 1Ь' 2 У + !й~ — ~+а.
(17) Для малых Ь выраженне, стоящее под знаком аг1Ь, которое мы обозначим через ь, преобразуется следующим образом: ~ !й п(г — а) 11+ и'Ь' (с(йт п(г — а) !И (мы заменяем соз, 12 и гг их приближенными выражениями н пренебрегаем при умножении ьгалйми порядка выше Ь'). Используя элементарные формулы для гиперболических функций, получаем: и (г — а) иэй' 1 2 4 э(тп(г — а) ' Получим теперь приближенную формулу для конформного отображения (!7).
Для етого в правой части формулы (!7) заменим аг!Ь Ь первыми двумя г н(г — а) членами его тейлоровского разложения с центром в точке ьэ = Гп 2 агрп Ь = аг1Ь се+ — (Ь вЂ” Ьэ). ! ьо Подставляя в правую часть значения ь ги ьм мы найдем окончательно 2 1 птЬ' пйэ и (г — а) ю=г+ г + — с(Ь и . и ( — а) 4 зй и (г — а) 1 — (йг 4 2 ' (18) 2 7) Отображение эксцентрического кругового кольца н а к о н ц е н т р н ч е с к о е. Рассмотрим сначала слу'чай, когда каждая окружность кольца лежит во внешности другой (рис. 61). Построим на общей касательной к этим окружностям, как на диаметре, цолуокрумгность Г; она пересечет линию центров окружностей кольца в двух точках а и Ь, кото.
рые симметричны одновременно относительно обеих окружностей С, н Сь нбо через а и Ь проходят линия центров и тиния Г, ортогональные к обеим окружностям. По свойствам дробно-линейных отображений функция (!9) г — а Ф = г — Ь переводит окружности С! и Сз в две окружности С! и С, относи~ельно которых точки и=О н щ= ос, соответствующве точкам г=а й г=Ь, являются симметричными.
Следовательно, точка щ=О есть общий центр 148 ГЛ. Н. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ С1 и Сз. Энсцентрическое кольцо между С1 н Сз прн этом переходит в концентрическое круговое кольцо между С1 и Сз. На рис. 61 указано также соответствие линий при этом отображении; сетка в плоскости 7 яаляетсн частью сетки рис. 53. дополнительное отображение м, )п ш = 1п р+ 10, где 0 меняется от — со до +ао, переводит полученное кольцо на полосу. Этот факт не противоречит сназанночу а и.
28 относительно невозможности Рис. 61. отображения двусвязных областей на односвязные, нбо отображающая функция (20) многозначна. Более того, функция (20) осуществляет однолистное отображение на полосу области на своей римановой поверхности, лежа. щей над кольцом, а эта область, очевидно, односвязна. Случай, когда одна окружность кольца лежит внутри другой, приводится к рассмотренному с помощью дополнительного линейного преобразования 1 , где с — произвольная точка, лежащая между окружностями.
7 — с 34. Отображения круговых луночек. Круговой луночкой мы будем называть область, ограниченную двумя дугами окружностей полной плоскости (т. е., в частности, и отрезками прямых). Примеры, которые мы здесь рассмотрим, играют важную роль как в приложениях, так и в дальнейшем развитии теории. 1) Отображение внешности дуги на внешн о с т ь к р у г а. (Это — вырожденный случай, когда две дуги, ограничивающие луночку, совпадают.) Предположим, что концы дуги АВ на плоскости г лежат в точках ~а и что круг в плоскости в проходит через те же точки, Кроме того, предположим, что середина дуги лежит в точке г = Ь1, а центр круга — в точке ги = й(, так что касательная к дуге в точке г = а составляет Ь с отрицательной осью х угол а=2агс(д — „.
а касательная к и а окружности в точке гп = а — угол р= — ' — — с положительной 2 2 э г. пгостепшие конаогмные отовглженпя 149 осью и (рис. 62). С помошью дробно-линейной функции г — а г,= г+а (1) мы отображаем внешность дуги АВ на внешность некоторого луча. Так как 1 — 1 ) О, то угол наклона этого луча к отриГаг,1 аг ~~а цательной оси также равен а. Далее будем искать отображение Рис. 62. на внешность полученного луча внешности заданного круга в плоскости и1, Для этого снова воспользуемся дробно-линейной функцией м — а ге~ = —, в+а ' которая переводит круг в полуплоскость, а его окружность в не- Г ~Ъ,1 котоРУю пРЯмУю. Так как 1ь — „, г1 > О, то Угол наклона этой прямой к положительной оси равен й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
