М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Полученное продолжение снова продолхсается через луч ВзС, и новое продолжение отображает 3-й сектор плоскости к на 3-й сектор плоскости ш (так, !то точка Вз попадает на окружность). Повторяя это рассуждение, мы находим, что функция (5) вместе со своими аналитнчесигми продолжениями реализует искомое отображение. На рпс.
72 показаны части прообразов окружностей (ш( = р прп рассматриваемом отображенян для л = 8 и а = 0,25; видно, что пря р = 1,8 и больше влияние исключенных отрезков практвчески ие сказывается — практически эти прообразы не отличаются от окружностей.
г(ля а =- 0 имеем и а! = О, следовательно, формула (5) переходят в фор. мулу ш ~ з Найдем главную часть отображения (5) для малых а. Из соотношения (4) находим: а, як пзазг'8. Пренебрегая малыми порядка вьпие аз, из формулы (5) получаеы приближенную формулу для нашего конфорчпого отображения: ,.-+,(.+ .-+)(, =,(1 или окончательно: (6) (ср, формулу (!0) из примера 4 п. 30).
Формула (6) пригодна для точек„ не слишком близких к корням и-й степени из!. 3) Отображение верхней полуплоскостн с исключенными отрезками 0~(у(А, к=да (А=О, -г1, 62, ...) на верхнюю ю п оп у плоскость. Проведем дополнительные разрезы А,С и А,С от концов отрезков в бесконечность (штрих-пунктир на рис. 73) н отобразим полученную полуполосу СВ-,ВоС ва такую же полуполосу, но так, чтобы точки А-~ и Аэ перешли в вершины этой полуполосы.
Для этого отобразим пз сначала нашу полуполосу иа полуплоскостес з! — — соз — (см. п. 9), сожмем а 1 последнюю: я,= пй я, (та«, что точни А ! н Аз перейдутв точки зз = ~-1) с)!в а в воспользуетгся отображением, обратным к первому: ю = — агссоз аз, Таким и образом, мы получаем искомое отображение полуцоласы на полуполосу: и 7 1 !та'! ш = — агссоз — соз— л м/г а (7) Приыеняя к полученной функции неограниченное пшло раз принцип симзгетрип, найдем, что она осуществляет искоыое отображение <решетки» рис. 73 на полуплоскость. На рпс. 73 показаны прообразы лений и = сопз1 и о = сопз( прв рассматриваемом отображении для Л = 0,5 и а = 2; видно, что при о = 2 н 168 ГЛ.
Н. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ !Зе больше влияние исключенных отрезков практически не сказывается — рассматриваемые прообразы практически не отличаются от прямых. 4) Отображение плоскости с исключенными отрезками — а(х(а, ур ЬН (А=О, ~1, ~2, ...) на плоскость с исключенными отрезками действительной оси (рис. 74; обе области бесконечносвязны).
Проведем дополнительный (пунктирный) разрез по мнимой оси н одну из двух образовавшихся областей, например правую, отобразим на верхню1о полунлоскость. Для этого мы по- У вернем плоскость з на 90' и воспользуемся реаультатом предыдущей задачи: функция 1Нг и( ! В Г х ВВ 'лс вс— '-а в, а -вг 1 пз) Ф агссоз сй— на Н (8) Н осуществляет конформное отображеаие правой половины области на верхнюю полуплоскосгь. При этом точка А, (з = а) переходит в точку щ = агссоз ! = О, ~очка В , (з = О) — в точку ш = 1 зп = агссоз — = Ь, точка С Л~ Вс Га Лс Вч В~ В-~ Вг и си— па Н (г = — /Н) — в точку щ= — 1 Р, 74. ис, агссоз — = н — Ь, А, вереиа сй— Н ходит в — н, В з — в и+ Ь и вообще точии Аь переходят в точки щ = = — йи, а отрезки ВьСх — в отрезки ( — (4+1)ге+ Ь, — йн — Ь) (Ь = О, ' 1, ~2, ...). Согласно принципу симметрии мы можем продолжить функцн1о 78) через совокупность отрезков ВьСь и получим тогда, что эта функция вместе с ее продолжением осуществляет кояформное отображение заданной области на плоскость ю с выброшенными отрезками (йн — Ь, йн+Ь) (Ь = О, ~1, ~2, ...), Задача решена.
5) Отображение областей, ограниченных кривымн второго порядка. а) П а р а б оп а. Пусть начало координат помещено в фокусе параболы у'= 2р ~к+ — ) (рис. 75). р) 2) (1) С помощью функции ю ='ггз внешность этой параболы отображается на полуплоскость 1ш ш >'ггр/2, Действительно, полагая к = х+!у, ш = = и+ г'е, вайдемг х=и' — о', у=2ио, (9) Ф,'еги:ага- — — аа мы часгтию -Ь В Ь Л-Ь Л ЛгЬ д откуда видно, что прямые о = с переходят в параболы у'= 4с' (х+ с'); при с = Ьгр/2 получаем заданную параболу. Таким образом, функция щ =)га — ! Р р/2 (10) реализует конформное отображение внешности параболы на верхнюю полу- плоскость.
Внутри параболы функция (!0) имеет точку ветвления. (2) Чтобы получить отображенае внутренности параболы, мы проведем разрез по лучу Вгы (рис. 75) а заметим, что верхняя половина парабольз 5 3 ПРИНИИП СИММЕТРИИ 169 отображается с помощью фуннции г~ — — )/г на полуполосу О< у, < 1/ р/2 Г2 0< х, < ео. С помощью функции гт соз ~ а/ — н!г, ) эта полуполоса ото- Р бражается иа верхнюю полуплоскость, причем разрезу Врб соответствует луч — 1 ( х ( оо.
Применяя принцип симметрии, а затем еще преобразование ю=-!У ! +гл, почучим искомое отображение внутренности параболы на верхшою полуплосность: — н!г, .г— ю ! у 2 соэ = = ! у 2 с)) п1, ) 2р т 2Р ' б] Гивер б о па, (1) Чтобы найти конформное отображение на верхнюю полуплоскость области, заключенной между ветвями гиперболы к' у' — — — =1 ае Ьз (рнс, 76), мы проведем разрез В0 по действительной оси и заметим, что функция г, = — (г+ У г' — с'), где с=фа'+Ь' отображает верхщою пол .ловипу заданной области иа сектор 0 ( агдг~ ( н — О, )г~) ~ 1, где Рис. 75, Рнс.
76. а 0 = агссоз — (см. и. 7). По принципу симметрии эта же фупнция осущес сгвляет конфорлщое отображение всей заданной области ва несь сектор 0 ( атй г~ ( н — О. Такил~ образом, функция )и/!и ээ) (г+'т~г~ л ' /1 — ) л 2 л лп/(и-20) ю=(е ' г, се' (12) ос)ществляет отображение области, заключенной между ветвями гиперболы, па верхнюло полуплоскость. (2) Чтобы получить отображение внутренности правой ветви гиперболы ! проведем разрез получу ()РО и заметим, что функция г, = — (г + ф г' — с') = с г асс)л- = е осуществляет конформное отображение верхней половины области на сектор 0 ( агй г~ ( О, (г! ) 1. Функция гт — — — (г) /э+ г) "/ ) 2 /н г! .= с)л~ — асс)) †) отображает этот сектор на верхнюю полуплоскость, причем !0 с/ Г7О ГЛ. П.
1<ОНФОРМНЪ|Е ОТОБРАЖЕНИЯ лу >у ОГО соответствует луч ( — 1, со) действитсльпой осп. Применяя принцип снмметр|ш и затем дополнительное отобрал<ение щ = > У! + г>, получим искомое отображение в»утренностн правой ветви гиперболы на верхпю>о полуплоскость: >и ш = > т 1+ сй( — агой — )' = > !' 2 ей< — агс)> — ~.
(!3) в) Э л л ни с. (1) Конформпое отображение внешности эллипса х' к> — + — =1 и' Ь' на внешность единичного круга осуществляет функция а+ )Гз" — с> ш = 1!.1) где с=~ ах — Ьа (см. п. 7). Внутри эллипса эта функция имеет топи ветвлеаня (рис. 77). (2) Чтобы получить отображение внутренности эл.щшса, мы сделаем раз.
рез вдоль бол> шой осн и воспользуемся функцией з, = — (з + ! аз — с') с Тогда получим отображение верхней половины эллипса на верхшо>о половпяу кольца л а+Ь ! < ~ а, ! <, (гпз> >О, причем разрез с переходит в отрезки АГ>, Г>С дейстэнтель- Ф ной оси и единичную полуокру>кность. Г Функция з> — — 1п а> отображает это солуг кольцо на прямоугольник О ( Ие г, ( |1, а+Ь О ( 1п>а> ( н, где г( = 1п . Прннпип с симметрии еще неприменим, нбо образом нашего разреза является трехзвепная ломаная А Г>1»В; требуется предварительно отобразить прямоугольник пя верхяюю по. луплоскость. чтобы эта ломаная перешла в один отрезок. Отображе>ше прямоуголы|пка на плоскость нельзя получить с помощью комбинации элементарных функций — его осущесталяет так называемая элл>штичсская функция (сн.
п. 39, пример 1). — поэтому и отображение впутреняости эллипса на полуплоскость не запнсьшашся через элснезтарные функц>ш 37. Отображение многоугольников. Прежде чем приступить к выводу формулы для отображения полуплоскости на много)тольникп ч), выясним вопрос о поведении конформного отображения в угловых точках областей. Предположим для простоты, что границы области А в окрестности угловой точки що состоит из прямолинейных отрезков; угол между этими отрезками мы обозначим через <хгс, считая 0 ( и «"'2 (рис. 78).
Пусть функция ш =1(г) реализует коиформнос отображение верхней полуплоскостн на область Л, причем угловой точке п>о соответствует точка го действительной оси. ч) Другой, более нонструктивный вывод этой формулы см. ниже в п. 44. зт! 5 х пРинцип симметРии 171 Для выяснения характера функции 1(г) в окрестности точки ,г, введем вспомогательное переменное св = (и! — и!с) !!'". Сложная функция =()(г) — ш.)ь =ы(г) (1) реализует копформное отображение части окрестности точки гс, принадлежащей верхней полуплоскости г, на часть окрестности точки с» = О, принадлежащую одной из полуплоскостсй, причем отрезку действительной оси плоскости г соответствует отрезок ,~ ф -о РЭ.~я~ "о Рис. 78.
прямой (рис, 78). По принципу симметрии функция ы(г) допускает аналитическое продолжение в полную окрестность точки г, и представима, следовательно, рядом Тейлора (г) = ~;(~ — гс)+ с;(г — г,)'+ В этом ряду отсутствует свободный член, ибо м(гс) = О, однако с', = !в'(г,) Ф О, так как функция осуществляет конформное отображение.
Возвращаясь с помощью соотношения (!) к функции 1(г), находим, что в окрестности точки гс функция 1(г) представнма в виде 1(г) =щ,+(г — г,)" (С, +с,'(г — г,)+ ...)'. Так как выражение в фигурной скобке отлично от нуля при г = г,, то в некоторой окрестности точки гс можно выделить од.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
