М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Отсюда заключаем, что г(г) является дробно-линейной функ- цией одяого из двух видов: ! (г) = аг, (6) ! (з) =-- где а — комплексная постоянная. В обоих случаях равенство (5), очевидно, выполняется. Достаточность условия (5) следует из того, что при его выполнении кольца подобны и их можно отобразить друг на друга простым растяжением. В дополнение к доказанной теореме укажем, что любая двусвязная область все >ке может быть отображена на некоторое кольцо Р~ ( (ш ! ( Рь пРичем пРи заданом РадиУсе Р, РадиУс Рз определяется для данной области однозначно. Точно так же произвольную и-связную область можно отобразить на некоторую область, получаемую выбрасыванием из плоскости и кругов.
Доказательства этих предложений читатель может найти в статье М. В. Ке л дыша [7) или книге Р. Кура н та (5). В заключение приведем обобщение принципа симметрии на случай, когда границы отображаемых областей содержат анал>ппческне дуги. Дуга С называется аналитической, если она может быть задана параметрическими уравнениями х=х(!), у=у(!), а(Е((>, 351 5 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 163 в которых х(!) и у(!) являются аналитсс сескими функциялси действительного переменного ! на интервале (а,()), т. е, функциями, разлагающимися в окрестности каждой точки (3 этого интервала в степенные ряды по степеням т' — !ь. При этом предполагается, что ин в одной точке интервала производные х'(1) и у'(!) не обращаются в нуль одновременно (т. е. на С нет особых точек).
Кривая С может быть и замкнутой, если х(и) = = х((1), у(и) = у(!3). Имеет место так называемый п р и н ц и п а н а л и т и ч еского продолжения: Т е о р е м а 4 (Г. Ш в а р ц) . Пусть функция и = 1'(г) реализует конформное отображение области Р, граница которой содержит аналитическую дугу С, на некоторую область Р*, причем дуге С соответствует аналитическая дуга С' границы области Р*. с3' этих условиях функцию св = )(г) можно аналитически продоллсить через дугу С. В самом деле, пусть г„— произвольная точка дуги С, г = г(1) = х(!) + су(!) — уравнение этой кривой и гь —— г(!3). Так как С по условию — аналитическая дуга, то в некоторой окрестности )! — (3~ ( б функцию г = г(1) можно разложить в ряд по степеням ! — (м по теореме Абеля последний будет сходи~ься и для комплексных значений (, которые мы обозначим через с., в круге )К вЂ” Ьь) ( й.
Следовательно, в этом круге определена аналитическая функция г = г(т), Так как г'((ь) Ф. О, то, уменьшая в случае надобности б, можно считать отображение г = = г(~) конформным. По построению г = г(с.) отображает диаметр круга )с,— (3)( б на некоторый отрезок кривой С, содержащий точку гм мы будем предполагать, что верхний полукруг при этом преобразуется внутрь области Р, а нижний — в ее внешность.
Точно таким же образом, если ш = св(т) есть уравнение кривой С*, мы можем построить конформное отображение ис = = св(сь) некоторого круга )сь — ть)( б, с центром на действительной оси иа окрестность точки шь = ш(ть) = ((гь), преобразующее диаметр этого круга в отрезок кривой С'. Мы предположим также, что верхний полукруг при этом преобразуется внутрь области Р*, а нижний — в ее внешность.
Функция ш =((г) порождает конформное отображение и(г Ю)) = (ч) (со = сь(ш) — функция, обратная ш = ж(са)) верхнего полукруга )с — !3) < й на некоторую часть верхнего полукруга )сь — ть! < ( бь причем диаметр первого полукруга переходит в часть диаметра второго. По доказанному принципу симметрии (теорема !) функция ср(т) допускает аналитическое продолжение в нижний полукруг и (вместе со своим продолжением) реализует 164 Гл. и конФОРмные Отогрлгкения !Зо тельяои оси.
Далее мы применяем отображение яз Уя, — а'=У зз — а', (1) преобразуюшее полученную область на правую полуплоскость. Вспамогательный разрез при © Этан ПЕРЕХОЮгт В СОДЕРжаЩИй оь ОТРЕЗОК мнимой оси от течки Г( — (!), где ) = )' аз + с', до точки В(яг), где я = Уаз+ Ьз В(,71/ ь" В(а)— (рве.
7!). Функция я, = )' ят — аз удовлетворяет А А условиям прпяципа сичиеэрпя, следовательно, допускает аналитическое продолжение через Рпс. 7!. РАВ в левую полуплоскость н вместе со своим аналитическим продолжением, которое мы обозначаем снова через зз = У ят — а' осуществляет отображение внешности заданного креста па внешность отрезка Вг мнимой оси плоскости яз. Остается отобразить последнюю область на внешность единичного круга. йг ) — я Для э1ого применяем линейное отображение з, = . зэ —, пре!+ь. 1+к образуюшее внешность отрезка ВГ во внешность единичного отрезка, и затем — обратное отображение ))(уковского (см.
п. 7); ш 1(з + Уг 2 1) = — [ ) аэ — аз+ у з' — аз+ )я+ (7" — и) 1)' яа — аз+— )+а[ 2 конформное отображение всего круга [ь — (о[(б на некоторую часть круга [ш — то[( бь содержащую отрезок диаметра. Построенное продолгкение со = гр(ь) порождает аналитическое продолжение функции ((е) через отрезок кривой С. В самом деле, в части внешности области О, соответствуюшей нижнему полукругу [~ — (о[ ( б, определена аналитическая функция ш = ш(ср[Ь(а))) (Ь(е) — функция, обратная е ф), граничные значения которой на отрезке дуги С совпадают с граничными значениями )(е). По принципу непрерывного продолжения эта функция является аналитическим продолженлем функции )(е). Так как еа — произвольная точка кривой С, то можно утверждать, что 1'(а) аналитически продолжаема через всю дугу С, Теорема доказана.
В частности, если полные границы С и С" данных областей — аналитические кривые, то 7(г) будет аналитически продолжимой через всю границу области 0 (и, следовательно, аналитической в замкнутой области б). В следуюшем пункте мы приведем ряд примеров применения принципа симметрии в практике конформных огображений.
36. Примеры. 1) Отображение внешности креста на внеши о с т ь е д и н и ч н о го к р у г а (рис. 7!). Проведем вспомогательный (пунктирный) разрез гАВ по мнимой ося и в правой половине фигуры рас- сьготрим отображение я, = е'; оно преобра- А Ф зует эту половину иа плоскость я, с выброшен- ным лучом от А( — ее] до В(а') по действи- В(б / 'зз) 4 т ппиицип симмнтпии 165 В частности, при Ь=с=а получаем в= () з' — а'+)'х'+аз) /— а)' 2 а в+! а )'в'+ ! (3) )'2 в (ср.
п. ЗО, пример 3). 2) Отображение внешности единичного круга с исключенными отрезками!ч (х) (1+а,агяя=2йл/л(й=0,1,... ..., « — !) на внешность единичного круга (рис. 72). Проведем вспомогательные разрезы от точки В, н В, до бесконечности по продолжениям радиусов круга и построим конформное отображение полученного сектора на такой же сектор, но так, чтобы точки В, и Вз попали на место А, и Аз ,Г янгвлщ ун/вгзпд / рглг/лллл / "гв ад Рис, 72. Это мвжно осуществить следуюгпим приемом; с помощью преобразования з, = з"'з отображаем сектор нз верхнюю полуплоскость с выброшенным ! / ! полукругом и затем с помощью функпии Жуковского х, —,!а~ +— 2 а| / на верхнюю полуплоскость, Точки В1 и Вт при этом переходят в точки . (1+а,) = —,' ((!+а)"/э+(1+а)-"ж). 2 (4) зз Долее мы сжимаем полуплоскостсс з, = — и применяем обратное !+а, отображение Жуковского; аз хз + г зз — 1 В итоге получаем снова верх.
т/ з нюю полуплоскость с выброшенным единичным полукругом, но точки В~ и Вз переходят тверь в точки ~!. Остается применить отображение в = в '" ил чтобы получить нужное отображение сектора на сектор; -2'л л = ' - — (з" + з 'л + )/(а"// — з ":з) — Оа, — 4а!1 1 4 ГЛ. Н, КОНЧОРМНЫЕ ОТОБРАЖГНИЯ 166 Функция (5) удовлетворяет условиям принципа симметрии; применяя этот прннцвп, получим, что эта функция продолжнма через луч ВзС и вместе со свопм продолжениеы осупгествляет отображение совокупности 1-го и 2-го секторов плоскости а на совокупность 1-го и 2-го секторон плоскости ш (рпс. 72).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
