М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Отображение (2) переводит, следовательно, наш круг во внешность луча, образующего с положительной осью угол 2б = и — сг. Таким образом, этот луч совпадает с полученным при отображении (!); исключая г1 из соотношений (1) и (2), мы получаем искомое отображение Из последнего уравнения находим 1 а'1 г= — '(ы/+ — ), ю=г+ т'г а.
21 м)' 134 150 ГЛ. !1. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ При рассматриваемом Отображении любая окружность С', касающаяся окружности С в точке и4 = а, переходит в замкнутую кривую, охватывающую дугу АВ и имеющую в точке В(е = а) точку возврата; эта кривая напоминает профиль крыла самолета (рис.
63), Ряс. бз. Функция (3) осуществляет конформное отображение внешности этой кривой на внешность круга, ограниченного окружностью С'. На этом замечании основывается предложенный Н, Е. Жуковским метод получения классов профилей крыльев самолета, особенно простых для расчетов (про~у Фили Жуковского), Форма профилей Жуковского зависит От трех параметров: а, характеризующего ширину крыла„й, характе,в ...: „..., ризующего его искривление, и с(— расстояния между центрами окружноРис. б4. стей С и С', характеризующего тол- щину крыла (рнс.
63). 2) Отображение полуплоскости с выброшена- а ным сегментом на пол у плоскость. Функция а1 =— а — г отображает заданную область (рис. 64) на сектор а ( агц'з1 ( и. Следовательно, функция 1ада-а1 (В-1аа ) алл — а1 1 а 11 а — а отображает эту Область на верхнюю полуплоскость. Зададимся еще нормировкой: ш(ОО) = ОО, ш'(ОО) = 1; так как при предыдущем отображении точка е = Оо переходит в точку аз = — 1, З Е ПРОСТЕЛ)НИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ то придется совершить дополнительное линейное преобразование дат )г )+Я2 ) а) Д -а) 1 — ~1 — — ) я где постоянная й находится из второго условия нормировки.
Действительно, откуда, разложив степень внутри фигурной скобки по формуле бинома, для больших ( е 1 найдем: Следовательно, ач 1 ( )=й( — "." '1 ° й= '" . )Я вЂ” о, н — о' Окончательно имеем: (1 (1 ' )"'" " ~ + С, (4) откуда ада-а) и, умножая это на =п((+ — „+$+$+ ...), получаем: на а'а а'а а'а П)=г(1+ 2 + 2 а +Е т + ...)+С = а+ — +СОПЗ1. (5) Подсчитаем площадь о выброшенного сегмента.
Имеем: о = аг'— а а — — г сова, где г = . — радиус круга. Пренебрегая малыми 2 2 я1п а *) здесь н далее многоточне означает члены 4-го порядка малостн. где С вЂ” произвольная действительная постоянная. Для получения главной части отображения (4) прн малых а и а воспользуемся первыми членами тейлоровских разложений. Имеем: ГЛ. Н, КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 134 а'! а а'а высшего порядка, получим: о = †! ., — с!на) ~ †.
Таким 4 !е!Беа ' ! 6 образом, формулу (5) окончательйо можно записать в виде ш = г+ — +сонэ(. (6) Прибегая к параллельному сдвигу, получим несколько более общий результат: функция тв 2+ — — „+ сопз1 (тв(оо) = оо, Ф'(оо) = 1) (7) осуществляет конформное отображение на полуплоскость о ~ 0 полуплоскости у ) О с выброшенной площадкой о, ограниченной отрезком (Ь, Ь + а) и дугой круга х!алой кривизны. 3) Отображение круга с выброшенной луночкой на круг.
Пусть угловые точки луночки близки к х ееа и площадь выброшенной луночки о мала (рис. 65). Совершим дополнительные дробно-линейные отображения 1 — ее . 1 — ве ь=(, се=! 1+ ге !а 1+ ае Рис. 65. единичных кругов плоскостей а и гв на верхние полуплоскости ьны. аьр а Луночка о. перейдет в луночку о =~ — ~ о= —, прин мыкающую к точке ь = О. По формуле (6) предыдущего примера получим тогда: а' о се=ь+ — =1+ —, аЬ 4аЬ ' или, возвращаясь к переменным г и гв, а !а ! — и ~ 4аь ае" (!+ее ") !+се ! ь ! а ва 1 — се 4ай (8) (мы всюду пренебрегаем малыми поридка выше о). При этом ае(а отображении точка г = О переходит в точку ше = — ; совере — ва сная дополнительное дробно-линейное преобразование ш! = $ е пРОстейшие конФОРмные ОтОБРл>ке>тия 166 ' круга на себя, так чтобы ше перешла в О, получаем: 1 асам> ое!» М> + (Сете->и Е>а) 8Л О ое-ш 8м 1 — — ае зл После подстановки вместо ш его приближенного значения (8) и простых преобразований (в которых мы опять пренебрегаем малыми порядка выше о) получаем окончательно: го=)(г) = е((1+ —,а~ )(0)=0 (9) 2я 1 — ае 'а (вместо ш! мы снова пишем го).
Отображение (9) устанавливает следующее соответствие точек окружностей е = е'и и ш = — е е: е! 1е Р' = 1 + — с1 и 2и 2 или (если взять мнимые части и пренебречь малыми высшего порядка) 0 = ар+ — с1и —. (10) 2и 2 Рис. 66. Для модуля производной отобра>кения на границе имеем: (У'(е>е) )=~ — ~ = 1 — о 21оа— 2 (11) и для производной в начале координат: Г (0) 1+ — „.
4) Отображение полосы с выброшенной луночкойй н а полосу. Пусть из полосы 0(у < 1 выброшен сегмент о, ограниченный отрезком (О,а) действительной осн и дугой круга малой кривизны (рис. 66). Совершая дополнительные отображения ь = еи*, и ш = е" полос на верхние полуплоскости и применяя формулу (7): о' 1 о" «>=6+ — — + —, и С вЂ” 1 и где о'=~ — ~ ° о=пап — площадь образа сегмента а), полуа16 ма чаем искомое Отображение ! о и> = — 1и с» 2 + м .
е"а — ! (! 2) «) В формуле (7) мм считаем Ь = 1 и сова! оа/я. ГЛ. И. КОИФОРМИЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ !зч (мы всюду пренебрегаем малыми порядка выше о), Сдвигая еще плоскость иг на отрезок о/2, будем иметь окончательно: о е"х+! о яа ьт «+ — = «+ — с1)г — ° 2 енх — 1 2 Дополнительным сдвигом плоскости «получим более общий результат: функция то = «+ — с1)г о 11 (а — Ь) 2 2 + соне( (! 4) осуществляет конформнос отображение полосы 0 ~ у ( 1 с выброшенным круговым сегментом о, опирающимся на отрезок (К Ь+ а), на полосу 0 ~ о ( 1.
Она устанавливает следующее соответствие точен прямых у = О, у = 1 и прямых о = О, о=1: о и(х — Ь) и — х + — с1)г + сопз(, о и(х — Ь) (1 15) и=х+ — 1(т +сопи(. 2 2 5) Формула для растяжения при отображении круговой луночки на полосу, Пусть луночка 0 ограничена дугами С, и Сз окружностей, пересекающихся в точках ~а, и пусть — Й1 и — Йз — точки пересечения этих дуг с мнимой осью (рис.
6?). Используя функцию (5) из примера 1) предыдущего пункта, легко построить конформяое отображение луночки Е> на полосу О < о < )т: Рнс. 67. где Ха=2агс1д —, й =1, 2*). Дифференцируя выражение (16), йа получаем: Г(«) = (лг — Аз) (а' — «т) ' (17) ч) Для получения формулы (16) достаточно заметить, что функция (6) п. 33, в которой х заменено на х/а, осугцествляст отображение заданной лукочки на горизонтальную полосу, граница которой проходит через точки Н а — сйа .
Н Ьа Н и а+ма — )п = — 21' — ага!6 — = — 1 — Аа (ср. формулы (11) п. 9). Ши- п и Н рина этой полосы Ь= — (Аг — Хт)! отсюда находится Н. Остается с1(вянуть и полосу так, чтобы ее нижний берег совпал с действительной осью, и мы придем к формуле (16). э41 % г.
пРОстейшие кОнФОРмиые ОтОБРАжения Из формулы (!7) можно получить одну приближенную формулу, важную для приложений. Пусть ео — точка С,, и — отрезок нормали н онружности Сг в этой точке, заключенный в луночке Р, Ю вЂ” угол между касательными к С! и Сг в концах отрезка и н й!, йг — кривизны С! и Сг (рис. 67).
Предположим, что й и вместе с пим й, — й, и и — бесконечно мазые первого порядка, а кривизны й, и йг ограничены. Тогда можно утверждать, что "4а аго ага 1! + 6 + з ++2+ з (+ч' где Ч можно представить в виде однородного многочлена третьей степени относительно и, 6, й! — йг с ограниченными коэффициентами. для вывода формулы (!8) из фор- У мулы ((7) в последней надо выразить параметры а, Ль Лг, ео через и, 6, йь йг и затем Разложить 11'(ео) ( по степеням и, 6, й! — йг до членов второго порядка вмлючительно. Однако фактическая реализация этого пути приводит к чрезвычайно громоздким выкладкам.
Поэтому мы получим формулу ()8), отправляясь от частного ог случая, когда окружность Сг совпадает с осью Ох, т. е. когда йг = 0 а С, (рис. 68): В этом случае формула ()7) дает: I !)'(х) !=в 2аа 1 Рис. 68. ! где Л, = 2 а ге(д — ' — половина центрального угла дуги С, (рис. 68). а 1 С другой стороны, имеем Л, =агсз(п ай, = ай, + — агй', + ..., г!о Ю сог О сог Л, х =, и = —, следовательно, а, ' а~ /4, ааг + — а~а! а— й 1 2 (сог Ю вЂ” сог Лг) и 1 гг г!ог О 6 аь4 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
