М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 27
Текст из файла (страница 27)
48). По принципу соответствия границ функция (16) осуществляет конформное отображение внутренности втой окружности на внутренность кардиоиды. 9) Функция ю =)гг, (18) ГЛ. П. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 128 1м ~Р я я или р = )~г, О = —, где Ф = атк и меияется от — — до —, переводит 2' 2 2' ту же окру>киость в ветвь лемиискаты 9=у'соа26 (рис. 49). По прпиципу Рис. 49.
соответствия границ функция (18) осуптествляет отображение внутренности этой окружности иа внутренность правой ветви лемиискаты. й 2. Простейшие конформные отображения Этот параграф посвящен простейшим методам решения основной задачи теории конформных отобрагкений — задачи отыскания функции, осуществляющей конформное отображение одной заданной области на другую..Здесь будег приведено достаточное число примеров, на которых читатель ознакомится с тем, как можно решать эту задачу, подбирая надлежащие комбинации элементарных функций (еслн это удается сделать). Такой подбор предполагает свободное владение геометрией элементарных функций, поэтол1у перед чтением пп. 33 н 34 лгы рекомендуем еще раз просмотреть б 3 гл, 1, где приводятся отображения, которые могут осуществлять эти функции. В напсем изложении большое место уделяется также методам получения приближенных формул конформных отображений, особенно важным для практики.
При работе с простейшими конформными отображениями весьма часто приходится пользоваться дробно-линейными фупкциямн,— к изучению их геометрических свойств мы сейчас и приступаем. Отметим, что отображения, осуществляемые дробно-лииейными функциями, весьма тесно связаны с геометрией Н. И. Лобачевского; однако на выяснении этой связи мы ие можем здесь останавливаться ").
31. Дробно-линейные отображения. Так мы будем называть отображения„осуществляемые дробно-линеиными функциями (1) *) См. Маркушевич [2),т.1,стр. Ы5 — !55. $ Е ПРОСТЕР!ШИЕ КОНФОРМИЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ вп существует всюду при г чь — д/с, то функция (1) аналитична вс>оду на полной плоскости г, кроме точки г = — д/с, в которой она имеет полюс первого порядка. Уравнение (1) однозначно разрешимо относительно г: — т!м+ Ь см — а (3) причем функция (3) также определена на полной плоскости ит (ее значение в точке и = а/с считается равным оо, а в точке ю = оо — равным — д/с). Поэтому дробно-линейная функция осуществляет однолистное отображение полной плоскости г на полную плоскость и.
Легко видеть, что дробно-линейная функция — единственная функция, обладающая таким свойством. Именно, справедлива Теорем а !. Если функция /(г) всюду однолигтна и аналитична всюду в полной плоскости г, кроме точки С, то она дробно-линейна. В самом деле, С не может быть существенно особой точкой функции /(г), ибо тогда по теореме Сохоцкого (и.
22) /(г) была бы заведомо неоднолистной. По теореме Ляувилля (в форме и. 24) С не может быть устранимой особой точкой. Следовательно, точка С есть полюс, причем первого порядка, пбо в окрестности полюса высшего порядка функция опять-таки неоднолистна. Если С ~ оо, то главная часть функции /(г) в В окрестности точки С имеет вид с ', вычитая эту часть из В /(г), мы получим функцию !р(г) =/(г) —, не имеющую особенностей в полной плоскости (единственной особой точкой для тр(г) могла бы служить точка С, но она является устранимой особой точкой, ибо мы вычли из тр(г) главную часть). Следовательно, !р(г) = А — постоянна, и функция /(г) = А+ ь ') При аа — Ьс = О имеем — = —, н функция (!) сводится к нос тт' стояииой. М.
А. Лаввевтьев в Б. В, Шабат где а, Ь, с и д — комплексные постоянные, причем ад — Ьс чь ~ 0*). Функция (1) определена на полной плоскости г (ее значение в точке г = — д/с считается равным оо, а в точке г = оо — равным 1пп ц! =-а/с). Так как производная вят ат) — Ьс ттс (се+ тба (2) ГЛ. И. КОНЕОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ дробно-линейна.
Если С = сю, то главная часть функции )(г) имеет вид Аа, и точно таким >ке образом доказывается, что 7(л)=Аз+В, т. с. является целой линейной функцией. Теорема доказана. Формула (3) показывает, что функция, обратная к дробно- линейной, снова дробно-линейна. Легко показать, что сложная функция, составленная из дробно-лннейных функций, также является дробно-линейной. Выясним геометрические свойства дробно-линейной функции.
Если с = О, то функция (1) приводится к целой линейной функции, геометрические свойства которой уже рассмотрены в п. 4. Для изучения геометрических свойств функции (!) прн с Ф 0 мы представим ее в виде и!=А+ —, В а — В ' (4) Отображение (а) сводится к сдвигу, (в) — к сдвнгу и повороту с растяжением.
Остается изучить отображение (б), которое, изменив обозначения, мы запишем в виде 1 (6) Б полярных координатах г = Рече, гн = рече отображение (6) перепишется в виде р= —, В= — р. 1 (7) г Удобно рассматривать отображение (7) как составленное из двух геометрически более наглядных отображений: ! (а) р, = — „, 6! =!р; ())) р=р!, 0= — Ои -Отображение (р) есть преобразование симметрии относительно действительной оси. Отображение (сс) — инверсия, преобразо.
ванне симметрии относительно единичной окружности (см. п. 2). Будем вообще называть точки г и г* сшнлгетричными относительно окружности Со. 1г — го(= !со, если 1) они лежат на одном луче, проходящем через го! 2) ! з — ае ~ ~ а* — ао! = Йо. ) Чтобы представить функцию (1) в ваде (4), достаточно поделить в выражении (1) числитель на знаменатель по правилам деления многочлевов. где А, В н С вЂ” некоторые постояинные е), и будем рассматривать это отображение как сложное, составленное из отображений: (а) г! = г — С; (б) гз = — ; (в) ш = А + Вгв. (5) 1. г, ' й т.
ппостепшне конФОРмные Отопнлженпя зп (Способ построения симметричных точек, изложенный в п. 2, остается справедливым н в общем случае.) Преобразование, переводящее каждую точку г плоскости в точку г*, симметричную относительно округкности Со, называется симметрией относительно этой окружности или инверсией. Докажем основное свойство симметричных точек: точки г и г* тогда и только тогда являются симметричными относительно окружности С,, когда они являются веритинами пучка окружностей, ортогональных к окружности Со. та В самом деле, пусть точки г н г' симметричны относительно Со и à — производная окружность, проходящая через г и г" Рис.
50. (рис. 50). Проведем через точку го касательную к окружности Г. По известной теореме квадрат длины этой касательной )г' — го(з равен пронзнедению секущей ) г* — го) на ее внешнюю часть ) г — га), т. е. ! г гог=! г го!'! г го!. Так как г и г* симметричны относительно Со, то это произведение равно тсо и, следовательно, (г' — го) = Йо Таким образом, касательная к Г является радиусом окружности Со, т.
е. Г ортогональна к Со, Обратно, если г и г* являются вершинами пучка окружностей (Г), ортогональных к окружности Со, то они лежат на одном луче, проходящем через го, ибо этот луч принадлежит пучку"). Далее, касательная гог' к любой окружности Г ивляется радиусом окружности Со и по той же теореме ) г — го ! ~ г'— — г ~=тсо, т. е. г н г*симметричны относительно Со. Свойство доказано полностью. Из этого свойства, между прочим, вытекает, что в случае, когда окружность Со вырождается в прямую линию, симметрия относительно окружности превращается в обычную симметрию.
Инверсия относительно произвольной окружности Со является конфорлтным отображением второго, рода (меняющим ориентацию). В самом деле, пусть го и тсо — центр и радиус '] В полной плоскости мы рассматриваем прямые нак частный случай окружностей — зто окружности, проходящие через бесконечно удаленную точку. ГЛ. Н. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 132 П1 окружности Со, тогда точку г*, симметричную с точкой г отно- сительно Со, можно записать формулой у~о г'=го+ 2 — 20 (8) ибо отсюда следует, что (го — го1!г — го!=)1211 и агд(го — го) = = ага'(г — го) Следовательно, инверсия отличается от конформного отображения г ш =го+— 2 — 2о лишь дополнительной симметрией относительно действительной оси плоскости ш, т. е. является конформным отображением второго рода.
Покажем, далее, что инверсия преобразует любую окружность С полной плоскости снова а окружность (круговое свойство). В самом деле, пусть сначала окружность С проходит через центр го окружности Со, относительно которой производится инверсия (рис. 5!), Построим прямую С', перпендикулярную к линии центров ок- ,~2 оо ружностей Со и С, на расстоянии — о от 2н Со 1* с го ()со и Л вЂ” радиусы Со и С). Из подобия * треугольников го(,*г* и гогь (рис.5!) име- 1 2 — 2о ! 1 ь — го ! ем: „= „, или 1г — г„1.
С',2 12* — го1=1ь — го!1ь" — го!=2)1. — = 2А' Рис. 31. = ото Следовательно, точки г и г* сим- метричны относительно Со. Мы доказали, что точка, симметричная к произвольной точке г окружности С, лежит иа прямой С*, т. е. что С* является инверсией окружности С. Если, в частности, С есть прямая, проходяшая через го, то инверсия этой прямой, очевидно, совпадает с ней самой.
Пусть теперь окружность (или прямая) С не проходит через го. Построим точку г1, симметричную с г, относительно С, и рассмотрим пучок окружностей (Г) с вершинами в го и г1, Так как все окружности Г проходят через г,, то по доказанному выше при инверсии относительно Со пучок (Г) перейдет в пучок прямых (Г*).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
