М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 22
Текст из файла (страница 22)
26. Римаиовы поверхности. В заключение этой главы остановимся, на понятии поверхностей Римана для многозначных функций. Эти поверхности делают геометрически наглядным описанный выше процесс аналитического продолжения и само понятие многозначной аналитической функции. Пусть дана (многозначная) аналитическая функция ) (г), определенная гл, е основнын пОнятия (еа в области О плоскости комплексного переменного г. Условимся рассматривать области Ом из которых в процессе аналитического продолжения строится область О, как отдельные листы, изготовленные в таком количестве экземпляров, сколько значений имеет функция в данной области О. Рассмотрим в плоскости г некоторую цепочку областей О,, Оь ..., Оя с общими участками границ уо!, у!е,, у -!, Пусть области Оо и О! имеют общие части, причем в одних из этих частей значения )о(г) и )!(Е) совпадают, а других — различны.
Мы возьмем листы, соответствующие Оо и О!, и склеим их по линии, соответствующей уо!. Расположим эти листы над Оо + уо! + О, так, чтобы каждый лист лежал над соответствующей областью, и склеим их части, расположенные над Р Хэ теми общими частями Оо и О!, в которых (о(г) н (!(Е) совпадают; склеенные части будем рассматривать как один г .:,,:„"' слой. Над теми же общими частями областей Оо и Он в которых значения )о(г) и Г!(Е) различаются, мы расположим соответствующие части листов друг над другом, так что над такими частями будет лежать по два слоя.
Мы условимся относить значение )о(г) к точке первого листа, расположенной над г, а значение (!(е)— к такой же точке второго листа; тогда функция )о(г) в О,, ) (г) = г (г) = ), ( ) на у н )!(Е) в О, будет о д н о з н а ч н о й на совокупности склееяных нами листов. Точно такис же операции проделаем над листом, соответствующим области Оз*), и т. д. При этом может случиться так, что надлежащая склейка листов невозможна без их пересечения; мы условимся такие пересечения не принимать во внимание (см. рис.
32, где изображена окрестность точки ветвления третьего порядка, склеенная из трех колец 0 -" (г — а) ( лэ с разрезами; мы не принимаем во внимание пересечения, возника!ощне при склейке колец Оз и От). В результате мы получим кусок, вообще говоря, многолистной поверхности, расположенный над областью Оо+уо!+О!+ +у !, +О .Если *) Врв этом могут появиться точки л, наа которыми расположено три слоя ластов, — зто будет в том случае. если Рэ налегает на ту обгиуго часть Рэ и Р!, в которой значения Тэ(а) и й(л) различны, и если там значения йэ(г) отличны и от гэ(г) и от й (г).
Щ 4 З. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ РЯДАМИ 101 мы проделаем описанные операции для всевозможных цепочек областей, определяющих аналитическую функцию ((г), то получим, вообще говоря, многолистную поверхность г(, расположенную над областью )л. Эту поверхность мы и будем называть римановой новерхностью функции 1(г). Существенно отметить, что любую аналитическую функцгио можно рассматривать как однозначную на ее рилгановой аоверхности. Для этого достаточно относить различные значения, принимаемые функцией в какой-либо точке г, к различным листам римановой поверхности, расположенным над этой точкой.
з Например, три значения корня у'г — го в точке г+ г, из окрестности га мы условимся относить к трем точкам поверхности на рис. 32, лежащим над точкой г. Если функция ю = ((г) обратна к однозначной функции г = Чо(ио) (как во всех примерах, которые мы рассматривали в б 3), то она, очевидно, реализует взаимно однозначное отображение своей римановой поверхности на полную плоскость иг или некоторую ее часть.
В общем же случае ю = ((г) отображает одну риманову поверхность на другую. Прнведем несколько примеров простейших римановых поверхностей '1: ч !) Римпноао поверхность корня ш=)' г. В качестве областей Ро возьмем плоскости с вырезанной положительной полуосью: Оо характеризуется неравенствами 2йи ( агег (2((о+!)и (й = = О, ~1, ~2... ). В начальной области Оо возьмем ветвь )о(г), определяемую условием О ( ага г К 2и, и будеы продолжать ее в области Оь Оо... О, -ь В соответствии с й этим заготовим и экземпляров листов, имеюгцих тот же вид, что и Рж и будем склеивать нижний берег разреза области Оо с верхним оуа 4(ж - у берего.о разреза области Оо, нижний берег Л разреза области Ро с верхним берегом разреза зо области Оо и т, д.
Значеиня го(г) и ) ( ) па положительной полуоси (и во всей области Р = Ро) совпадают. Следовательно, мы должчы склеить между собой (не учитывая пересечений, которые при этом возникают) Рис. 33, оставшиеся свободными верхний берег разреза на листе Ро с нижним берегом разреза на 0 о. Значения 1 г в осталь- Г пых областях Ро лишь поеторшот выделенные значения (о, следовательно, построенная нами и-листная поверхность и является рима- новой поверхностью функции ш = Г г.
Над точками г = О и г = оо она имеет алгебраические точки ветвления порядка и (см. рис. ЗЗ, где и = 4). *) Мы рекомендуем склеить модели рассмотренных здесь римановых поверхностей из бумаги н на этих моделях проследить проводимые рассуждения, ГЛ. !. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 102 2) Риманоза поверхность логарифма в = (.п г, Области Тзь те же, что и з предыдущем примере. В с!ь выбирается ветвь в = )п]г] +(зги г, где 0 ( агп ( 2л, и зта ветвь неограниченно продолжается в области л!ь для й = .+-1, чс2, ... Это соответствует тому, что бесчисленное множество экземпляров листов, имеющих тот же вид, что и (зь, соединяются между собой по следующему закону: нижний берег разреза каждого листа )ль склеивается с верхним берегом разреза листа Рк+ь Полученная римаяова поверхность логарифма имеет внд, нзображеииый иа рис.
34. Над г = О и г = ьь она нмест точки ветвления логарифмического типа. 3) Риманови поверхность функции в=а+]л г' — 1, обратной к функции Жуковского. В качестве Рь возьмем плоскости с выброшенным отрезком ] — 1, !], обозначим через )ь(г) и 1,(г) те ветви функции, которые отображают ))ь и ))~ соответственно па внутренность н на внешность единичного Рис. 36. Рис. 34. круга (см. и, 7). Так как )ь(г) отображает на верхнюю полуокружность нижний берег отреза [ — 1, 1], а ),(г) — верхний, то мы должны склеить между собой нижний берег разреза на листе О, и верхний берег разреза на листе 1)ь То же самое нужно сделать с верхним берегом разреза на Пь и нижним на Оь которые отображаются на нижнюю полуокружность.
Полученная двулистная поверхность и есть риианова поверхность нашей функции; она имеет точки ветвления второго порядка над точками г = ~1 (рис, 35) '). Поверхность отличается от поверхности гсг лишь дополнительными дробнолинекныии отображениями; действительно, преобразования г = О+! и ы= ~ — 1 в+1 с переводят функцию в=г+ Г г' — 1 в функцию в=)лсЬ в — 1 (см. п. 3!). 4) Риманова поверхность арксинуса в = Агсз!пг, В п.
9 мы видели, и и что функция г = з!п в отображает полуполосу 1гп в > О, — — ( Ке в (— 2 2 нз верхнюю полуплоскость "*), причем лучи (!) и (4) на нижнем рис. 36 переходят в лучи х ( — 1 и х > 1; из яечетности з)п в следует, что полуполоса 'т и !гп з(0, — -'-( Ке в ( — переходит при атом в нижнюю нолуплоскость, 2 2 причем лучам (2) и (3) соответствуют те же лучи х < — 1 н х > 1 (рис. 36). Таким образом, одна аз ветвей функции в = Агсз)па (мы обозначим ее ') Над г = ь поверхность имеет два аеразветвленных листа. ") Мы переменили роли г и в. Ж! 4 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ |63 через /о(г)) отображает плоскость г с разрезами и (|, оо) (мы обозначии ее Ро) на полосу Ьо.
станем границ, указанным на рис. 36. Так как и Зп вдоль отрезков ( — оо — !) я и — < )(е в < — с соответ- 2 2 5|и(в + и) — 5|п в, то полоса ЬР—, < Ре в < —, 2 2 переходит при отображении //! /4! г = 5|ив в ту же область -г з плоскости г; зту область /г! /Г иы обозначим Вз и через /,(г) обозначим функцию, реализующую обратное отображение. Соответствие тра. пиц Ь, и О, указано иа рнс. 36. Очевидно, ветвь /з(г) является аналитическим продолжением /о(г) в О, и при таком продолжении функция /бз! /б/ "з г /гз! ~ /з./ /4з ") Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть движение точки по поверхности над окружностью )г) = 2. Пусть мы отправляемся из точки листа Ро, лежащей над г = 2, и двигаемся против часовой стрелки.
Как показывает рис. 36, мы сразу попадаем на лист 0|! далее, проходя над г = — 2. попадаем на лист Вз, затем проходя иад г = 2 попадаем на лист Ро и т, д. Отсюда и ясен логарифмический карактер особенности над г = оо, г = ып в остается непре. рывиой на прямой ))е в = Рис. 36. = и/2. В соответствии с этим мы должны склеить крест-накрест берега разрезов листов Р, и РН (4) с (1|) и (3) с (2з). Получается двулистиан поверхность с точкой ветвления второго порядка над г = ! и с разрезом над лучом ( — оо, — !), над ко- торым расположено четыре берега разрезов: во (1), (2), (Зз) и (4з).
В силу периодичности Ез ч; фун«цин г = ып в совокупность полос Ьз н Ьз з до; ' отображается на такую же двулнстиую по- верхность, состоящую из листов Вз и Рз и . имеющую четыре свободных берега разрезов: (1з), (25), (Зз) и (4з). Две построенные по- верхности мы должны соединить, склеивая г крест-накрест свободные берега разрезов на у листах О, и Ои (4,) с (1з) и (3,) с (Зо)— зто соответствует непрерывному продолжению функции г = 5|п оо через прямую Не в = = Зя/2 (рис.
36). При этом над точкой г = , од = — ! появится точка ветвления, соеднняюп|ая листы Вз и Вз. Продолжая такое построение неограниченно вправо и влево от основной полосы Ьо, иы получим бесконечнолистиую рн. манону поверхность арксннуса. Она имеет бесчнсленное множество точек ветвления второго Рис.
37. порядка над г = ~1 и логарнфиическую точ- ку ветвления ") над г = оо (рис. 37). Как показывает наше построение, функция г = ып в осуществляет взанмиооднозначное и непрерывное отображение всей конечной плоскости в на нашу риманову поверхность. Обратная функция в = Агсз)п г ОдИОЗиачна на этой поверхности. 104 гл. ! основные понятия Литература к главе ! [Ц И. И. Привалов, Введение в теорию функций комплексного переменного, Фнзматгиз, 1960. [2] А. И. М а р к уш е ни ч, Теория аналитических функций, т.т. 1, 2, «Наука»„ 1968. [3] А. И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
